APOSTILA CALCULOS FINANCEIROS E ESTATISTICOS - JKO

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1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componente Curricular: Cálculos Financeiros e Estatísticos Módulo: 1º 
 
Nº 
 
Competências 
 
Nº 
 
Habilidades 
 
Nº 
 
Bases Tecnológicas 
1 
 
 
2 
 
 
 
 
3 
.Analisar dados relacionados à 
matemática financeira. 
 
.Identificar a relação entre as 
políticas financeiras e a execução 
financeira no processo. 
 
 
. Interpretar resultados estatísticos de 
acordo com cada método estudado. 
1.1 
 
 
 
1.2 
 
2.1 
 
 
 
 
2.2 
 
 
 
2.3 
 
 
3.1 
 
3.2 
 
3.3 
. Efetuar cálculos matemáticos de juros 
simples, juros composto, capital, valor 
presente, valor futuro, descontos, etc. 
 
. Utilizar resultados estatísticos. 
 
. Levantar informações quantitativas e 
financeiras sobre o desempenho do mercado, 
produtos, custos e demais dados; visando 
apoiar o processo de estudos mercadológicos e 
econômicos. 
 
.Organizar informações e comparar dados dos 
estudos com dados reais, preparando base 
para análise pelas funções especializadas da 
empresa. 
 
. Usar técnicas de manuseio de calculadora 
financeira. 
 
. Fazer cálculos e construir tabelas. 
 
. Elaborar gráficos. 
 
. Produzir relatórios sobre os resultados das 
pesquisas de desempenho do mercado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
 
3 
 
4 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
8 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
Regra de três simples e composta 
 
 
. Fases do método estatístico: 
 coleta de dados; 
 apuração dos dados; 
 análise dos resultados. 
 
. População e amostragem 
 
. Dados absolutos e dados relativos. 
 
. Sistemas de crédito e cobrança: 
 juros simples; 
 juros compostos; 
 descontos comercial; 
 juros compostos; 
 empréstimos (sistemas de amortização); 
 montante, capital acumulado e valor futuro (F) 
 
. Matemática Financeira: amortização, depreciação, 
descontos, rendas e câmbio: 
 as porcentagens; 
 índices econômicos; 
 os coeficientes; 
 as taxas 
 
. Gráficos estatísticos: 
 curvas, barras e setores. 
 
. Medidas de posição: 
 média aritmética; 
 a moda; 
 a mediana; 
 desvio padrão 
 
. Estudo da Probabilidade: 
 Média Aritmética 
 
 
Cálculos Financeiros e Estatísticos 
Professor: João Alberto 
TÉCNICO EM LOGÍSTICA 
etec.logistica.tec@gmail.com 
2 
 
REGRAS DE SINAIS 
 
 
 
 
3 
 
 
REGRAS DE APROXIMAÇÃO - ABNT/NBR 5891/1977 (com código secundário 
ABNT/NB 87/1961) dispõe sobre as regras de arredondamento da numeração decimal. 
Primeiramente, escolhe-se a casa decimal em que se quer fazer a aproximação e depois segue-se as seguintes regras: 
Primeira regra: Se o último algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo inferior a cinco : Basta apenas 
retirar os algarismos após o algarismo que queremos conservar. 
Exemplo: Como é o arredondamento para deixar o número 58,93497 com apenas duas casas depois da vírgula? 
 
Segunda regra: Se o último algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo superior a cinco: Aumenta-se 
uma unidade a este último algarismo e retira-se os posteriores. 
Exemplo: Como deixar apenas duas casas depois da vírgula no número 93,58746? 
 
 
Terceira regra: Se o último algarismo a ser conservado for seguido de um algarismo igual a cinco , devemos seguir 
o seguinte procedimento: 
- (a) Se o algarismo a ser conservado for ímpar, soma-se uma unidade ao algarismo a ser conservado e retira-se os 
posteriores. 
4 
 
Exemplo: Como deixar o número 667,4756 com duas casas após a vírgula? 
terceira regra A: último algarismo a ser conservado igual a cinco e ímpar. 
 
 
- (b) Se o algarismo a ser conservado for par e ao algarismo 5 subsequente seguir-se pelo menos um algarismo diferente 
de zero, soma-se uma unidade ao algarismo a ser conservado e retira-se os posteriores. . 
Exemplo: Como deixar o número 667,4856 com duas casas depois da vírgula? 
 
 
-(c) Se o algarismo a ser conservado for par e ao algarismo 5 subsequente seguir-se somente algarismos zero, não haverá 
modificação, somente retira-se os algarismos posteriores. 
Exemplo: Como deixar o número 667,4850 com duas casas depois da vírgula? 
 
 
Cabe ressaltar finalmente, que não se deve fazer arredondamentos sucessivos (ex.: 27,2462 passa a 27,2 e não para 27,25 
e depois para 27,3). Caso se faça necessário um novo arredondamento é recomendado o retorno aos dados originais. 
 
 
 
5 
 
EXERCÍCIOS (resolva as equações e coloque o resultado utilizando regras de aproximação): 
1º deixar duas casas depois da virgula. 
123/0,33 = 
 
13* 0,025 = 
 
1235,85/ 1,34= 3,0950 = 
125/8 = 12,050² = 
 
 = 
 
 
 = = 1,35³ = 
 
 = 
13,0357³ = = ³ = ⁄ 
25678/ = = √ = 
 = 
 
 = 
 
 = = 
33/237 = 13/0,347 = 2345*0,055 = 123,097-102,06 = 
345,99+25,86 = 78,098-60,723 = 
 
 = ⁄ = 
 = 13/0,347* 
 
 = ⁄ = 
 = 
679* 
 
 = 33/ 
 
 = 1987*3% = 67,64/3% = 
 
FRAÇÕES = parte de um todo 
FRAÇÕES EQUIVALENTES 
A garçonete poderia ter dividido a pizza em 4 partes iguais. 
Cada menino comeria uma dessas partes. 
O resultado seria o mesmo! 
 
 
As frações 1 / 3, 2 / 6 e 4 / 12 são equivalentes? 
 
SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES: 
 
2 / 8 e 1 / 4 são frações equivalentes. 
Frações equivalentes são frações que 
representam a mesma parte de um todo. 
 
6 
 
 
 
ADIÇÃO 
Você se lembra de como somar, subtrair, multiplicar ou dividir frações? 
Vamos primeiro relembrar a adição... 
 
Adição com denominadores iguais 
 
 
ADIÇÃO COM DENOMINADORES DIFERENTES 
 
MMC... 
Atenção! 
Nem sempre o MMC dos denominadores é igual ao produto entre eles ( 3*4 = 12) . Veja só... 
3/4 + 5/6 = ? 
O MMC de 4 e 6 é 12. Assim, nossa expressão é equivalente a... 
9/12 + 10/12 = 19/12 
 
7 
 
EXERCÍCIO = Calcular o MMC dos números: 
4, 8 , 9 , 24 = 
15, 3, 35, 21 = 
 
 
MAIS DE DUAS FRAÇÕES 
Se você tiver de somar ou subtrair mais de duas frações, não tem segredo... 
 
MULTIPLICAÇÃO 
Vejamos agora como multiplicar frações... 
 
MAIS DE DUAS FRAÇÕES 
Se você tiver de multiplicar mais de duas frações, não tem segredo... 
 
 
DIVISÃO 
Das quatro operações, só falta vermos a divisão... 
Dividir frações é o mesmo que multiplicá-las por sua inversa. Dessa forma... 
Observe que multiplicamos 
numerador por numerador e 
denominador por denominador. 
Simplifique a fração 
Mesmo procedimento 
8 
 
 
 
FRAÇÕES PRÓPRIAS VERSUS FRAÇÕES IMPRÓPRIAS 
É de se esperar que uma fração possua sempre o numerador menor do que o 
denominador. 
Chamamos essas frações de frações próprias. 
 
Claro! Afinal, como é que vamos distribuir 9 pedaços de uma pizza que foi 
dividida em 8 pedaços apenas? 
Na prática, isso não é possível, a menos que tivéssemos outra pizza. 
Contudo, matematicamente, isso pode acontecer . uma fração pode possuir o 
numerador maior do que o denominador. 
Nesses casos, chamamos a fração de fração imprópria, justamente porque isso 
não é o normal. 
 
FRAÇÃO IMPRÓPRIA 
Quando a fração for imprópria, podemos denotá-la da seguinte forma... 
 
Esses números são chamados de números mistos. 
 
 
9 
 
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 
CONCEITUAÇÃO 
Potenciação e radiciação são operações matemáticas. 
Com certeza, você as conhece, mas talvez não pelos nomes de batismo. 
 
 
RADICIAÇÃO 
Vamos à definição de radiciação... 
 
 
Potenciação acontece quando temos um número elevado a 
outro número natural, que chamamos de potência. 
Radiciação é uma generalização da potenciação... A potência 
pode ser um número racional. 
10 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
 
11 
 
 
 
3) Calcule 85 - (-5)2 + 31 + 40 + 2-1. 
Resposta = 32747,5. 
 
4) Calcule 432 e (43)2. 
Resposta = 4096. 
 
5) Quais os resultados de 713 : 711 e de 2-4 . 2
5? 
 Resposta = 49e 2 
 
6) Calcule . 
Vamos resolver este exercício de duas maneiras distintas. Na primeira vamos passar o expoente 8 para dentro 
do radical e na segunda vamos transformar o radical em uma potência com expoente fracionário. 
Passando o expoente 8 para dentro do radical temos: 
 
Agora vamos utilizar a propriedade da mudança de índice pela sua divisão e do expoente do radicando por 4: 
 
A raiz de índice 1 de um número é igual ao próprio número: 
 
 
 
 
Pela outra forma temos: 
 
Agora multiplicamos os expoentes e resolvemos a potência: 
 
Então: 
. 
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex3
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex4
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex5
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx#anchor_ex6
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx
http://www.matematicadidatica.com.br/PotenciacaoRadiciacaoExercicios.aspx
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PORCENTAGEM 
 É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, 
sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: 
 A gasolina teve um aumento de 15% 
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 
 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. 
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 
 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. 
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 
 
 Razão centesimal 
 Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: 
 
 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 
 
 
 
 As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. 
 Considere o seguinte problema: 
 João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? 
 Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. 
 
 Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. 
 Portanto, chegamos a seguinte definição: 
Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 
 Exemplos: 
 Calcular 10% de 300. 
 
 
 Calcular 25% de 200kg. 
 
 
Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 
 EXERCÍCIOS: 
 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de 
falta esse jogador fez? 
 
 Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 
 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? 
 Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a 
esses R$250,00, resulte nos R$300,00. 
 
 Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. 
 
 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. 
 Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas 
multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, 
e assim por diante. Veja a tabela abaixo: 
16 
 
Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 
10% 1,10 
15% 1,15 
20% 1,20 
47% 1,47 
67% 1,67 
 
 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 
 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) 
 Veja a tabela abaixo: 
Desconto Fator de Multiplicação 
10% 0,90 
25% 0,75 
34% 0,66 
60% 0,40 
90% 0,10 
 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 
 
Exercícios de Porcentagem 
a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? 
 
 
b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? 
 
 
c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores 
ensinam Matemática nessa escola? 
 
 
d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se 
paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? 
 
 
Calcule as porcentagens correspondentes: 
e) 2% de 700 laranjas 
f) 40% de 48 m 
g) 38% de 200 Kg 
h) 6% de 50 telhas 
i) 37,6% de 200 
j) 22,5% de 60 
 
EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR RESOLVIDOS ( TRABALHO) 
1) Quanto é 15% de 80? 
 
2) Quanto é 70% de 30? 
 
3) Quanto é 150% de 45? 
 
4) Quanto é 100% de 40? 
 
5) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem. 
 
6) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. 
Quantas pessoas moram na ilha? 
 
7) Se 4% de um número é igual a 15, quanto é 20% deste número? 
 
8) Do meu salário R$ 1.200,00 tive um desconto total de R$ 240,00. Este desconto equivale a quantos por cento do meu salário? 
 
9) Eu tenho 20 anos. Meu irmão tem 12 anos. A idade dele é quantos por cento da minha? 
 
10) Meu carro alcança uma velocidade máxima de 160 km/h. O carro de meu pai atinge até 200km/h. A velocidade máxima do carro 
do meu pai é quantos por cento da velocidade máxima do meu carro? 
 
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17 
 
11) Por um descuido meu, perdi R$ 336,00 dos R$ 1.200,00 que eu tinha em meu bolso. Quantos por cento eu perdi desta quantia? 
 
12) Dei ao meu irmão 25 das 40 bolinhas de gude que eu possuía. Quantos por cento das minhas bolinhas de gude eu dei a ele? Com 
quantos por cento eu fiquei? 
 
13) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor 
do desconto obtido? 
 
14) Na festa de aniversário do meu sobrinho derrubei uma mesa onde estavam 40 garrafas de refrigerante. Sobraram apenas 15% das 
garrafas sem quebrar. Quantas garrafas sobraram e quantas eu quebrei? 
 
15) Dos 28 bombons que estavam na minha gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam? 
 
16) Comprei 30 peças de roupa para revender. Na primeira saída eu estava com sorte e consegui vender 60%. Quantas peças de roupa 
eu vendi? 
 
17) Em uma cesta eu possuía uma certa quantidade de ovos. As galinhas no meu quintal botaram 10% da quantidade dos ovos que eu 
tinha na cesta e nela os coloquei, mas por um azar meu, um objeto caiu sobre a dita cuja e 10% dos ovos foram quebrados. Eu tenho 
mais ovos agora ou inicialmente? 
 
18) O aumento salarial de uma certa categoria de trabalhadores seria de apenas 6%, mas devido à intervenção do seu sindicato, esta 
mesma categoria conseguiu mais 120% de aumento sobre o percentual original de 6%. Qual foi o percentual de reajuste conseguido? 
 
19) Quanto é 60% de 200% de 80%? 
 
20) Quanto é 45% de 90% de 180? 
 
21) Comprei um frango congelado que pesava 2,4kg. Após o descongelamento e de ter escorrido toda a água, o frango passou a pesar 
apenas 1,44kg. Fui lesado em quantos por cento do peso, por ter levado gelo a preço de frango? 
 
22) Em uma população de 250 ratos, temos que 16% são brancos. Qual é o número de ratos brancos desta população? 
 
23) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas moedas de um real eu possuo em 
meu bolso? 
 
24) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 12,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo? 
 
25) Tempos atrás o rolo de papel higiênico que possuiu por décadas 40 metros de papel, passou a possuir apenas 30 metros. Como o 
preço do rolo não sofreu alteração, tal artimanha provocou de fato um aumento de quantos por cento no preço do metro do papel? 
 
26) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o 
preço de etiqueta. Se a compra tivesse sido à vista, o guarda-roupa teria saído por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto 
obtido?
 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais 
conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 
 
 Passos utilizados numa regra de três simples: 
 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 
 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 3º) Montar a proporção e resolver a equação. 
 
 Exemplos: 
 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar 
consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia 
produzida? 
 Solução: montando a tabela: 
 
 Identificação do tipo de relação: 
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18 
 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 
 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? 
Solução: montando a tabela: 
 
 Identificação do tipo de relação: 
 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. 
 Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª 
coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 
 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo 
tipo e preço? 
 Solução: montando a tabela: 
19 
 
 
 Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. 
 Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 
 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o 
número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? 
 Solução: montando a tabela: 
 
 Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. 
 Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são 
inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1) A 60km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual o tempo estimado para 
percorrer este trajeto? 
 
2) Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o tempo necessário para 
enche-lo? 
 
3) Um tecelão levou 12 horas para produzir um tapete, à razão de 6 metros por hora. Se ele trabalhasse à razão 
de 9m/h, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete? 
 
4) Um certo volume de medicação demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por 
minuto. Se o número de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicação desta 
mesma medicação? 
 
5) Utilizando copos descartáveis de 175ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, 
quantas pessoas eu conseguirei servir com este mesmo volume de bebida? 
 
6) Com o dinheiro que possuo, eu posso comprar 21 passagens de lotação ao custo unitário de R$ 1,80. Eu 
soube, porém que o valor da passagem está para aumentar para R$ 2,10. No novo valor, quantas passagens eu 
poderei comprar com a mesma quantia que eu tenho? 
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20 
 
 Regra de três composta 
A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
 Exemplos: 
 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m
3
 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m
3
? 
 Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem: 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 x 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. 
 Observe que: 
 Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação éinversamente 
proporcional (seta para cima na 1ª coluna). 
 Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para 
baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 
 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 
 Solução: montando a tabela: 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Observe que: 
 Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional(não precisamos 
inverter a razão). 
 Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não 
precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos. 
 
 3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual 
será o tempo necessário para completar esse muro? 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as 
grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo: 
 
Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias. 
 
 Exercícios complementares 
 Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios: 
 
1. Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas. 
 
21 
 
2. Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos 
dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias. 
 
3. Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 
16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias. 
 
4. Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por 
dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia. 
 
5. Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de 
tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros. 
 
EXERCÍCIOS PARA ENTREGAR ( TRABALHO) 
 
1) Para esvaziar um compartimento com 700m
3
 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o 
compartimento tivesse 500m
3
 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos quantas horas seriam necessárias para 
esvaziá-lo? 
 
2) Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 costureiras trabalharem por 
5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para produzirem 25 vestidos? 
 
3) Seis galinhas botam 30 ovos em 5 dias. 20 galinhas botarão quantos ovos em 10 dias? 
 
4) Uma família com 2 duas pessoas consome 12m
3
 de água a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os 
mesmos hábitos de consumo se juntar a ela, quantos metros cúbicos de água eles consumirão em uma semana? 
 
5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 
trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas? 
 
6) À média de 90km/h faço um trajeto em três horas. Para que eu faça este percurso em apenas duas horas, 
qual deve ser a minha velocidade média? 
 
7) Preciso empilhar uma certa quantidade de caixas em forma de cubo. Se eu fizer a pilha com 4 caixas na 
base, irei empilhar 6 fileiras de caixas, uma sobre a outra. Seu eu fizer a base com 3 caixas, quantas fileiras irei 
precisar? 
 
 
 
ESTATÍSTICA 
 
Introdução 
O mundo dos negócios, em qualquer que seja a área, de Recursos Humanos a Marketing, não 
pode mais embasar as tomadas de decisões e assumir risco simplesmente no feeling e no bom-senso 
dos executivos e gerentes organizacionais. A complexidade da sociedade e dos mercados apresentada 
atualmente exige que estes agentes se utilizem de recursos precisos e poderosos de forma a minimizar 
os potenciais riscos da atividade econômica. Neste contexto pode-se destacar a crescente utilização da 
informática, do método e dos recursos de estatística nas organizações que almejamdestacar-se como 
agentes econômicos de ponta. 
 
Definições 
Estatística é uma ciência exata que visa fornecer subsídios ao analista para coletar, organizar, 
resumir, analisar e apresentar dados. Trata de parâmetros extraídos da população, tais como média ou 
desvio padrão. 
 
Enfim, quando se fala de estatística, fala-se de uma ciência presente em todos os eventos 
mensuráveis do cotidiano. Muitas vezes ela está tão presente nas atividades rotineiras que não se dá 
conta de que a mesma encontra-se ali. Por exemplo, em um jogo de futebol, tomando-se o goleiro e seu 
espaço vizinho, tem-se uma distribuição normal. Sim, afinal ao longo do jogo, os chutes a gol, tendem à 
área delimitada e defendida pelo goleiro. Ao final do jogo se houvesse uma quantificação dos chutes a 
gol, ter-se-ia a normalidade dos chutes (provavelmente entre 68% a 99% dos chutes para a linha de 
fundo concentrar-se-iam neste espaço). Este é apenas um dos inúmeros exemplos que fazem com a 
estatística seja mais familiar do que se imagina. 
 
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Populaçao e amostra 
 Qualquer estudo científico enfrenta o dilema de estudo da população ou da amostra. Obviamente 
tería-se uma precisão muito superior se fosse analisado o grupo inteiro, a população, do que uma 
pequena parcela representativa, denominada amostra. Observa-se que é impraticável na grande 
maioria dos casos, estudar-se a população em virtude de distâncias, custo, tempo, logística, entre 
outros motivos. 
 A alternativa praticada nestes casos é o trabalho com uma amostra confiável. Se a amostra é 
confiável e proporciona inferir sobre a população, chamamos de inferência estatística. Para que a 
inferência seja válida, é necessária uma boa amostragem, livre de erros, tais como falta de 
determinação correta da população, falta de aleatoriedade e erro no dimensionamento da amostra. 
 
 
 
 
 
COLETA DE DADOS 
Após cuidadoso planejamento e a devida determinação das características mensuráveis do 
fenômeno coletivamente típico que se quer pesquisar, damos início à coleta dos dados 
numéricos necessários à sua descrição. 
A coleta dos dados poderá ser feita de diversas formas. A ideal é aquela que maximiza os 
recursos disponíveis, dados os objetivos e a precisão previamente estipulados. 
No seu planejamento, deve-se considerar o tipo de dado a ser coletado, o local onde este se 
manifestará, a frequência de sua ocorrência, e outras particularidades julgadas importantes. 
Quando os dados se referirem ou estiverem em poder de pessoas, sua coleta poderá ser 
realizada mediante respostas a questionários previamente elaborados. Esses questionários 
podem ser enviados aos entrevistados para devolução posterior ou podem ser aplicados pelos 
próprios pesquisadores ou por entrevistadores externos ou contratados, devidamente 
treinados. 
Os dados ou informações representativas dos fenômenos ou problema em estudo podem ser 
obtidos de duas formas: por via direta ou por via indireta. 
Por via direta - quando feita sobre elementos informativos de registro obrigatório (p. ex.: 
nascimentos, casamentos, óbitos, matrículas de alunos etc.) ou, ainda, quando os dados sãocoletados pelo próprio pesquisador através de entrevistas ou questionários. 
 
A coleta direta de dados, com relação ao fator tempo, pode ser classificada em: 
 
23 
 
a) contínua, também denominada registro, é feita continuamente, tal como a de 
nascimentos, óbitos, etc.; 
 
b) periódica, quando feita em intervalos constantes de tempo, como os censos(de 10 em 10 
anos), os balanços de uma empresa comercial, etc.; 
 
c) ocasional, quando feita extemporaneamente, a fim de atender a uma conjuntura ou a uma 
emergência, como no caso de epidemias que assolam ou dizimam seres humanos 
 
Por via indireta - quando é inferida de elementos conhecidos (coleta direta) e/ou conhecimento de 
outros fenômenos relacionados com o fenômeno estudado. Como exemplo, podemos citar a pesquisa 
sobre a mortalidade infantil, que é feita através de dados colhidos via coleta direta. 
 
CRÍTICA DOS DADOS 
Os dados colhidos por qualquer via ou forma e não previamente organizados são chamados de dados 
brutos. Esses dados brutos, antes de serem submetidos ao processamento estatístico propriamente 
dito, devem ser "criticados", visando eliminar valores impróprios e erros grosseiros que possam 
interferir nos resultados finais do estudo. 
 
A crítica é externa quando visa às causas dos erros por parte do informante, por distração ou má 
interpretação das perguntas que lhe foram feitas; é interna quando se observa o material constituído 
pelos dados coletados. É o caso, por exemplo, da verificação de somas de valores anotados. 
 
APURAÇÃO OU PROCESSAMENTO DOS DADOS 
Uma vez assegurado que os dados brutos são consistentes, devemos submetê-los ao processamento 
adequado aos fins pretendidos. A apuração ou processamento dos dados pode ser manual ou 
eletrônica. Os processos e métodos estatísticos a que um conjunto de dados pode ser submetido serão 
nosso objeto de estudo nas seções seguintes. 
 
EXPOSIÇÃO OU APRESENTAÇÃO DOS DADOS 
Por mais diversa que seja a finalidade que se tenha em vista, os dados devem ser 
apresentados sob forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil o exame daquilo 
que está sendo objeto de tratamento estatístico e ulterior obtenção de medidas típicas. 
No caso particular da estatística descritiva, o objetivo do estudo se limita, na maioria dos casos, 
à simples apresentação dos dados, assim entendida a exposição organizada e resumida das 
informações coletadas através de tabelas ou quadros, bem como dos gráficos resultantes. 
 
ANÁLISE DOS RESULTADOS 
Como já dissemos, o objetivo último da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) 
a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo (amostra). 
Assim, realizadas as fases anteriores (Estatística descritiva), fazemos uma análise dos 
resultados obtidos, através dos métodos da Estatística Inferencial, que tem por base a 
indução ou inferência, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.. 
 
Tabelas 
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem 
assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa ou dessas variáveis. 
Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. 
No Brasil as regras para construção de tabelas e gráficos são regidas pelo IBGE. 
Uma tabela é constituída de título, cabeçalho, corpo, coluna indicadora e rodapé. 
No cabeçalho devemos ter as informações sobre o que está apresentado na tabela (o que, 
onde e quando...). No corpo da tabela temos as células, onde estarão os dados representativos 
do fenômeno estudado. No rodapé, recomendasse que se coloque a fonte das informações. 
Consta ainda da norma específica que as tabelas não sejam fechadas nas extremidades 
(esquerda e direita). 
 
24 
 
 
 
Séries estatísticas 
Denominamos série estatística toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de 
dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. 
 Daí, podemos inferir que numa série estatística observamos a existência de três elementos 
ou fatores: o tempo, o espaço e a espécie. 
 Conforme varie um dos elementos, podemos classificá-las em histórica, geográfica e 
específica. 
 
Séries históricas, cronológicas, temporais ou marchas 
 
 
 
Séries específicas ou categóricas 
 
 
 
Séries conjugadas – Tabela de dupla entrada 
 Muitas vezes temo necessidade de apresentar, em uma única tabela, a variação de valores 
de mais de uma variável, isto é, fazer uma conjugação de duas ou mais séries. 
 Conjugando duas séries em uma única tabela, obtemos uma tabela de dupla entrada. Em uma 
tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificação: uma horizontal (linha) e uma 
vertical (coluna). 
 Exemplo: 
 
Ligações telefônicas – por regiões –período 1991 a 1993 
25 
 
 
 
 A conjugação, no exemplo, foi série geográfica-série histórica, que dá origem à série 
geográfico-histórica ou geográfico-temporal. 
 Podem existir, se bem que mais raramente, pela dificuldade de representação, séries 
compostas de três ou mais entradas. 
 
Distribuição de frequência 
 
 
DADOS ABSOLUTOS E DADOS RELATIVOS 
Os dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a 
contagem ou medida, são chamados dados absolutos. 
 
Dados relativos são o resultado de comparações por quociente (razões) que se estabelecem 
entre dados absolutos e têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre 
quantidades. 
 
 Traduzem-se os dados relativos por meio de percentagens, índices, coeficientes e taxas. 
 
As percentagens 
Consideremos a série abaixo, e calculemos as percentagens dos alunos de cada nível de ensino. 
 
Com esses dados, podemos formar uma nova coluna na série em estudo, como segue: 
 
Distribuição da amostra ou 
população por “classes ou 
intervalos – ESTARURAS”, e 
por “frequência – Nº DE 
ALUNOS” que aparecem 
por classes ou intervalos. 
Os valores dessa nova coluna nos dizem que, de cada 100 alunos da 
cidade A, 91 estão matriculados no Ensino Fundamental, 8, 
aproximadamente, no Ensino Médio, e 1 no Ensino Superior. O 
emprego da percentagem é de grande valia quando é nosso intuito 
destacar participação da parte no todo. 
26 
 
 
Os índices 
Índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclua a outra. 
 
 
 
 
 
 
Os coeficientes 
Os coeficientes são razões entre o número de ocorrências e o número total (número de 
ocorrências e número de não-ocorrências). 
 
 
 
As taxas 
As taxas são os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1000, etc...) para 
tornar o resultado mais inteligível. 
 
 
 
 
Exercícios: 
1)Complete a tabela abaixo na base 1 e na base 100. (Exemplo A= (175/1781)x1= 0,0981781) 
27 
 
 
 
2) O Estado A apresentou 733.986 matrículas na 1ªsérie, no início do ano de 2012, e 683.816 no fim do 
ano. O Estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matrículas. Qual estado que 
apresentou maior evasão escolar? 
 
3) Calcule a taxa de aprovação de um professor de uma classe de 45 alunos, sabendo queobtiveram 
aprovação de 36 alunos . 
 
 
 
 
 
TRABALHO – ENTREGAR PRÓXIMA AULA 
28 
 
GRÁFICOS ESTATÍSTICOS 
Representação gráfica de dados estatísticos 
 Os dados de uma pesquisa podem ser apresentados de várias maneiras. Os meios de comunicação utilizam, em 
geral, gráficos e tabelas para apresentar esses dados. Isso ocorre porque esses recursos possibilitam uma apresentação dos 
resultados de uma pesquisa. As tabelas, por exemplo, são utilizadas para organizar os dados e apresentá-los de maneira mais 
simples ao leitor. Já os gráficos permitem uma melhor visualização e também uma análise mais detalhada dos dados 
apresentados. 
Existem diversos tipos de gráficos, sendo que a escolha do mais apropriado para cada situação depende de vários 
fatores, como o objetivo da pesquisa ou até mesmo as particularidades das informações a serem apresentadas. Neste