Prona N2 Calculo Varias Variáveis - 10 de 10

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Usuário JEFFERSON GOMES LIRA
Curso GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS GR0551211 - 202110.ead-
14901.01
Teste 20211 - PROVA N2 (A5)
Iniciado 07/04/21 18:04
Enviado 07/04/21 18:53
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 48 minutos
Instruções
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Pergunta 1
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da resposta:
A derivada de uma função também é uma função. A derivada é vista como uma taxa de
variação. Por exemplo, a derivada da função posição é a função velocidade, pois a função
velocidade indica quanto do percurso foi percorrido em um intervalo de tempo. Nesse
sentido, assinale a alternativa que apresenta a função velocidade, sabendo que a função
posição é  .
Resposta correta. A alternativa está correta. A função velocidade   é obtida a partir da
derivação da função posição  , ou seja,  . Ao aplicar as regras de derivação
adequadas à função posição  , temos que a função velocidade é  .
Pergunta 2
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Comentário
da resposta:
O centro de massa de uma lâmina na forma de uma semicircunferência localizada no
primeiro quadrante é dado pelo par  , onde   e  . Nesse caso, em
coordenadas polares, temos  , 
  e  , onde   é uma constante.
Considere uma lâmina na forma de uma semicircunferência de equação   com 
 . Assinale a alternativa que corresponde ao centro de massa da lâmina quando 
 :
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a região de integração é dada por
. Dado  , temos que: 
 
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Logo,   e  , ou seja,  .
Pergunta 3
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Comentário
da resposta:
No método de frações parciais para integrar funções racionais  , considere que os
fatores de   são todos lineares e alguns são repetidos, isto é, suponha que o fator 
  se repetia   vezes. Ao corresponder a esse fator que se repete, haverá a soma
de   frações parciais:  . Diante do exposto, assinale a
alternativa que apresenta o cálculo da integral  .
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando o método de frações parciais, temos
que        ,   e  . Desse modo,
, em
que   é a constante de integração.
Pergunta 4
Analise a figura a seguir:
 
    
 
Figura: Semicircunferência no primeiro quadrante.
Fonte: Elaborada pela autora.
 
A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do plano
cartesiano. Essa pode ser expressa em coordenadas polares como  , com 
. Supondo uma lâmina com o formato da região acima, a medida da densidade de
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Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
massa por unidade de área em qualquer ponto é proporcional à medida de sua distância
até a origem, isto é,  , onde   é uma constante. Assinale a alternativa que
corresponde à massa da lâmina descrita acima considerando   e   e sabendo que
 .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, dados   e  , temos que
 e  . Então, a região de integração é
 e a massa corresponde à integral 
.
Pergunta 5
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a ele e um
ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à curva de nível
  que passa por um P, para determinar a equação de um plano tangente à função
  no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente da função nesse ponto. Dessa
forma, a equação do plano tangente pode ser escrita como
 . 
 A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do plano
tangente à função   no ponto P(1,-1).
 
   
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função   são:
 e  .  Calculando o valor da função e suas derivadas parciais no
ponto P(1,-1) temos:  ,   e  . Assim, trocando essas
informações na equação do plano 
 obtemos 
 .
Pergunta 6
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
Para calcular a área de uma região limitada por duas funções, é possível se utilizar da
teoria de integrais. Com ela, a área entre duas funções   e   limitada em um
intervalo   pode ser definida como  , desde que 
  para todo  . Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a área da região
limitada pelas funções   e   no intervalo  .
.
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Comentário
da resposta:
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que   para todo  .
Assim, a área da região desejada é calculada por  . Aplicando as
regras de integrações adequadas, temos que
.
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Analise as figuras a seguir:
 
 
 
Fonte: Stewart (2016, p. 897).
 
 
Além de regiões retangulares, podemos usar a integração dupla para integrar uma função
  sobre uma região   de forma mais geral. Essa região pode ser classificada em
diferentes tipos. “Uma região plana   é dita do tipo I se for a região entre o gráfico de duas
funções contínuas de  , ou seja,  , onde   e   são
contínuas em [a,b]”. 
 
 STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 896. 
 
 Assinale a alternativa que corresponde ao valor da integral dupla  ,
onde   é a região do tipo I limitada pelas parábolas   e  .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois as parábolas se interceptam quando
. Nesse intervalo de  , temos que  . Assim, a
região , do tipo I, pode ser expressa como  .
Resolvendo a integral, obtemos
.
Pergunta 8
Suponha uma distribuição contínua de massa ocupando uma região   do plano  ,
suponha, também, que a medida da densidade de área dessa distribuição no ponto 
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Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
  seja medida em  , onde   é contínua em  . O momento de inércia em torno
do eixo  , denotado por  , dessa distribuição de massa será determinado por
 . Assinale a alternativa que corresponde ao momento de inércia 
 da região limitada pelas curvas  ,   e   no primeiro quadrante e com
densidade  :
Resposta correta. A alternativa está correta, pois temos que 
. Como   e os parâmetros de   dependem
da variável  , trocando todas as informações na integral de   temos que primeiro efetuar
a integração na variável   e, em seguida, integrar na variável  . Assim,
.
Pergunta 9
Resposta Selecionada:  
Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Uma função é considerada solução de uma equação diferencial se, ao trocarmos a função
e suas derivadas na equação, o resultado obtido for uma igualdade verdadeira. Uma
equação diferencial possui uma infinidade de funções como solução, caso nenhuma
condição seja especificada. Por outro lado, dada uma condição, obtém-se uma solução
particular para a equação diferencial.
 
Considere a equação diferencial  . Analise as afirmativas a seguir e
assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
 I. ( ) Para   temos que   é solução da equação diferencial dada.
 II. ( ) Para   temos que   é solução da equação diferencial dada.
 III. ( ) Para  , temos que   é solução da equação diferencial dada.
 IV. ( ) Para  , temos que   é solução da equação diferencial dada.
 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
   
   
V, V, V, F.
V, V, V, F.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial, temos que
sua solução geral é:
.
Assim: 
Afirmativa I: Verdadeira. Para  , temos que  .
Portanto,   é solução da equação diferencial dada. 
 
Afirmativa II: Verdadeira. Para  , temos que  .
Portanto,   é solução da equação diferencial dada. 
 
Afirmativa III: Verdadeira. Para   temos que
. Portanto,   é solução da
equação diferencial dada.
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Pergunta 10
Resposta Selecionada:Resposta Correta:  
Comentário
da resposta:
Podemos calcular integrais duplas para regiões de formas mais gerais. Essas regiões
podem ser classificadas em regiões do tipo I e do tipo II. Uma região do tipo I fornece como
parâmetros para a variável   funções de  , isto é,  .
Já regiões do tipo II fornecem como parâmetros para a variável   funções de  , isto é,
 . Assinale a alternativa que corresponde ao valor da
integral  , onde   é a região limitada pelas curvas   e  :
36.
36.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a região   pode ser vista tanto como uma
região do tipo I como do tipo II. No entanto, ao considerá-la como uma região do tipo II,
temos uma resolução menos trabalhosa. Assim,
. Calculando a integral, obtemos:
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