Considerando os pontos A(12, 1, 1), B(0, 3, 2) e C(4, 3, 1), obtenha um sistema de equações paramétricas do plano α que passa pelos pontos dado...

Para obter um sistema de equações paramétricas do plano α que passa pelos pontos A(12, 1, 1), B(0, 3, 2) e C(4, 3, 1), podemos usar os vetores \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}\) e \(\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC}\). Calculando \(\overrightarrow{u}\): \[ \overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 12, 3 - 1, 2 - 1) = (-12, 2, 1) \] Calculando \(\overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{v} = \overrightarrow{AC} = C - A = (4 - 12, 3 - 1, 1 - 1) = (-8, 2, 0) \] Agora, podemos encontrar o vetor normal ao plano α calculando o produto vetorial entre \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -12 & 2 & 1 \\ -8 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (-2, 8, 16) \] Assim, a equação do plano α é dada por: \[ -2(x - 12) + 8(y - 1) + 16(z - 1) = 0 \] Simplificando, obtemos: \[ -2x + 24 + 8y - 8 + 16z - 16 = 0 \] Que pode ser reescrita como: \[ -2x + 8y + 16z = -24 \] Portanto, um sistema de equações paramétricas do plano α que passa pelos pontos dados é: \[ \begin{cases} x = -12 + 8t \\ y = 1 + 2t \\ z = 1 + 4t \end{cases} \]