As integrais duplas são usadas para calcular o volume abaixo de uma superfície, e podem ser calculadas pelo processo das somas de Riemann ou utiliz...

Para determinar o volume do sólido abaixo do plano \(3x + y + z = 12\) e acima do retângulo \(R = \{(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 3\}\), podemos usar integrais duplas. A fórmula para o cálculo do volume é dada por: \[ \iint\limits_{R} f(x, y) \, dA \] Onde \(f(x, y) = 12 - 3x - y\) é a função que representa a distância entre o plano e o ponto \((x, y)\) no retângulo \(R\). Calculando a integral dupla, obtemos: \[ \int_{0}^{1} \int_{-2}^{3} (12 - 3x - y) \, dy \, dx \] \[ = \int_{0}^{1} [12y - 3xy - \frac{y^2}{2}]_{-2}^{3} \, dx \] \[ = \int_{0}^{1} [12(3) - 3x(3) - \frac{3^2}{2} - 12(-2) + 3x(-2) + \frac{(-2)^2}{2}] \, dx \] \[ = \int_{0}^{1} [36 - 9x - \frac{9}{2} + 24 - 6x + 2] \, dx \] \[ = \int_{0}^{1} [62 - 15x] \, dx \] \[ = [62x - \frac{15x^2}{2}]_{0}^{1} \] \[ = 62 - \frac{15}{2} \] \[ = \frac{124 - 15}{2} \] \[ = \frac{109}{2} \] Portanto, o volume do sólido é \( \frac{109}{2} \), que corresponde à alternativa D.