Assinale a opção que apresenta a distância entre o ponto P equals open parentheses 4 comma 1 comma 2 close parentheses e a reta r open curly brac...

Vamos calcular a distância entre o ponto P(4, 1, 2) e a reta \( r: \begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = 2 - t \\ z = -1 + 2t \end{cases} \). Para encontrar a distância entre um ponto e uma reta, podemos usar a fórmula da distância mínima entre um ponto e uma reta, que é dada por: \[ d(P, r) = \frac{|(P_0 - P_1) \cdot n|}{|n|} \] Onde: - \( P_0 \) é um ponto na reta - \( P_1 \) é o ponto dado - \( n \) é o vetor diretor da reta Substituindo os valores, temos: - \( P_0 = (3, 2, -1) \) (ponto na reta) - \( P_1 = (4, 1, 2) \) (ponto dado) - \( n = (-2, -1, 2) \) (vetor diretor da reta) Calculando o produto escalar e as normas, obtemos a distância: \[ d(P, r) = \frac{|(P_0 - P_1) \cdot n|}{|n|} = \frac{|(-1, 1, -3) \cdot (-2, -1, 2)|}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|(-1)(-2) + 1(-1) + (-3)(2)|}{\sqrt{9}} = \frac{|2 + (-1) - 6|}{3} = \frac{3}{3} = 1 \] Portanto, a distância entre o ponto P e a reta r é igual a 1. A opção correta é: b. \( d(P, r) = \sqrt{6} \)