Encontre Encontre a solução da seguinte equação diferencial linear, utilizando o integrante x2y′+2xy=1 Escolha uma opção: a. b. c. d. e. a ...

Vamos resolver a equação diferencial dada: \(x^2y' + 2xy = 1\) Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos usar o fato de que a forma padrão de uma equação diferencial linear é \(y' + P(x)y = Q(x)\), onde \(P(x)\) e \(Q(x)\) são funções de \(x\). Dividindo toda a equação por \(x^2\), obtemos: \(y' + \frac{2}{x}y = \frac{1}{x^2}\) Agora, identificamos \(P(x) = \frac{2}{x}\) e \(Q(x) = \frac{1}{x^2}\). Para resolver a equação diferencial, podemos usar o fator integrante \(e^{\int P(x)dx}\). Neste caso, o fator integrante é \(e^{\int \frac{2}{x}dx} = e^{2\ln|x|} = x^2\). Multiplicando a equação diferencial por \(x^2\), obtemos: \(x^2y' + 2xy = x^2\) Agora, podemos reescrever a equação como a derivada do produto \(xy^2\): \((x^2y)' = x^2\) Integrando ambos os lados em relação a \(x\), obtemos: \(x^2y = \frac{x^3}{3} + C\) Portanto, a solução da equação diferencial é: \(y = \frac{x}{3} + \frac{C}{x^2}\) Espero que isso ajude!