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Vamos analisar as opções: a) \( y = \ln(x+y) + C \) b) \( y = \ln(x-y) + C \) c) \( y = -\ln(x+y) + C \) Para resolver a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+y} \), podemos fazer a substituição \( v = x + y \). Assim, \( \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx} \). Substituindo na equação original, temos: \( \frac{dv}{dx} = 1 + \frac{1}{v} \) \( \frac{dv}{dx} = \frac{v+1}{v} \) \( v\frac{dv}{dx} = v + 1 \) \( vdv = (v + 1)dx \) \( \int v dv = \int (v + 1)dx \) \( \frac{v^2}{2} = vx + x + C \) \( v^2 = 2vx + 2x + C \) \( (x + y)^2 = 2x(x + y) + 2x + C \) \( x^2 + 2xy + y^2 = 2x^2 + 2xy + 2x + C \) \( y^2 = x^2 + 2x + C \) \( y = \pm \sqrt{x^2 + 2x + C} \) Portanto, a opção correta não está presente nas alternativas fornecidas.
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...
