Se \(f(x) = \tan(x) - x\), qual é o valor de \(f'(\frac{\pi}{4})\)? a) \(f'(\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}\) b) \(f'(\frac{\pi}{4}) = 0\) c) \(f'(\...

Para encontrar \(f'(\frac{\pi}{4})\), primeiro precisamos encontrar a derivada de \(f(x) = \tan(x) - x\). A derivada da tangente é \(\sec^2(x)\). Portanto, a derivada de \(f(x)\) é \(f'(x) = \sec^2(x) - 1\). Substituindo \(x = \frac{\pi}{4}\) na derivada, obtemos \(f'(\frac{\pi}{4}) = \sec^2(\frac{\pi}{4}) - 1\). Sabemos que \(\sec(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\), então \(\sec^2(\frac{\pi}{4}) = 2\). Portanto, \(f'(\frac{\pi}{4}) = 2 - 1 = 1\). Assim, a alternativa correta é: b) \(f'(\frac{\pi}{4}) = 0\)