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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR BELO HORIZONTE / MG GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 2 SUMÁRIO 1 SISTEMA LINEAR ...................................................................................... 6 1.1 Equação linear ..................................................................................... 6 1.2 Sistema linear ....................................................................................... 6 1.2.1 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ............................... 6 1.2.2 MATRIZ ASSOCIADA A UM SISTEMA LINEAR ............................ 7 2 ESPAÇOS VETORIAIS............................................................................... 7 2.1 Propriedades ...................................................................................... 13 2.1.1 PROPOSIÇÃO 1 .......................................................................... 13 3 SUBESPAÇOS VETORIAIS ..................................................................... 14 3.1 Interseção e Soma de Subespaços .................................................... 16 3.1.1 PROPOSIÇÃO 2 .......................................................................... 16 3.1.2 PROPOSIÇÃO 3 .......................................................................... 16 3.1.3 PROPOSIÇÃO 4 .......................................................................... 17 3.1.4 PROPOSIÇÃO 5 .......................................................................... 17 Observação 5: É obvio que ..................................................................... 19 3.1.5 Proposição 6: ............................................................................... 19 4 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ......................................................... 20 4.1 DEFINIÇÃO 1 ..................................................................................... 20 4.1.1 Teorema 1 .................................................................................... 21 4.1.2 Teorema 2 .................................................................................... 22 4.1.3 Teorema 3 .................................................................................... 23 4.1.4 Teorema 4 .................................................................................... 23 4.1.5 Teorema 5 .................................................................................... 24 4.2 DEFINIÇÃO 2 ..................................................................................... 24 4.2.1 PROPOSIÇÃO 1 .......................................................................... 25 4.2.2 Teorema de Baire 1 ...................................................................... 25 5 TRANSFORMAÇÕES LINEARES ............................................................ 25 5.1 Introdução .......................................................................................... 25 5.1.1 DEFINIÇÃO 1 ............................................................................... 26 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 3 5.1.2 PROPOSIÇÃO 1 .......................................................................... 28 5.2 O Espaço Vetorial ........................................................ 28 5.2.1 PROPOSIÇÃO 2 .......................................................................... 29 5.3 Teorema 1 .......................................................................................... 29 5.3.2 PROPOSIÇÃO 3 .......................................................................... 32 5.3.3 PROPOSIÇÃO 4 .......................................................................... 32 5.3.4 PROPOSIÇÃO 5 .......................................................................... 32 5.3.5 PROPOSIÇÃO 6 .......................................................................... 33 5.3.6 PROPOSIÇÃO 7 .......................................................................... 33 5.3.7 PROPOSIÇÃO 8 .......................................................................... 34 5.3.8 PROPOSIÇÃO 9 .......................................................................... 34 5.3.9 PROPOSIÇÃO 10 ........................................................................ 34 6 MATRIZES ................................................................................................ 35 6.1 Tipos de matrizes ............................................................................... 36 6.1.1 MATRIZ COLUNA ........................................................................ 36 6.1.2 MATRIZ LINHA ............................................................................ 37 6.1.3 MATRIZ NULA – 0 ....................................................................... 37 6.1.4 MATRIZ QUADRADA ................................................................... 37 6.1.5 MATRIZ DIAGONAL..................................................................... 38 6.1.6 MATRIZ IDENTIDADE - 𝐼 ............................................................. 38 6.1.7 MATRIZ TRANSPOSTA - 𝐴t , 𝐴′................................................... 38 6.1.8 MATRIZ SIMÉTRICA.................................................................... 38 6.1.9 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA ......................................................... 39 6.1.10 MATRIZ TRIANGULAR .............................................................. 39 6.1.11 SUBMATRIZES .......................................................................... 39 6.2 Operações com matrizes .................................................................... 40 6.2.1 SOMA ........................................................................................... 40 6.2.2 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR .............................................. 41 6.2.3 Multiplicação entre matrizes ......................................................... 41 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR ...................................... 43 8 CONCEITOS PRIMITIVOS ....................................................................... 45 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 4 8.1 Postulados sobre pontos e retas ........................................................ 47 8.2 Postulados sobre o plano e o espaço................................................. 48 9 SEGMENTO DE RETA ............................................................................. 48 9.1 Postulado de Euclides ou das retas paralelas .................................... 49 9.1.1 Determinação de um plano .......................................................... 50 9.2 Perpendicularismo entre reta e plano ................................................. 52 9.3 Perpendicularismo entre planos ......................................................... 54 9.3.1 Projeção ortogonal ....................................................................... 54 9.3.2 Distâncias ..................................................................................... 55 10 PRODUTO VETORIAL, MISTO E ESCALAR ........................................ 56 10.1 Produto vetorial ............................................................................... 56 10.2 Produto misto .................................................................................. 59 10.3 Produto escalar ............................................................................... 62 10.4 Propriedades do produto escalar .................................................... 62 10.5 Ângulo entre dois vetores................................................................ 62 10.6 Vetores ortogonais .......................................................................... 63 11 COMBINAÇÕES LINEARES ................................................................. 63 12 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ..................................... 65 12.1 Linearmente Independentes............................................................ 65 13 BASES EDIMENSÃO ........................................................................... 67 13.1 Base ................................................................................................ 67 13.2 Dimensão ........................................................................................ 67 13.3 Base e Dimensão ............................................................................ 68 13.4 Processo Prático: Base ................................................................... 68 13.5 Teorema da Dimensão .................................................................... 69 14 CÓNICAS .............................................................................................. 69 14.1 Elipse .............................................................................................. 70 14.2 Parábola .......................................................................................... 71 14.3 Hipérbole ......................................................................................... 72 15 REFERENCIA BIBLIOGRAFIA BÁSICA ................................................ 74 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 5 16 REFERENCIA BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR ............................... 74 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 6 1 SISTEMA LINEAR Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas lineares, como quiser chama- los. 1.1 Equação linear Antes disso, porém, vamos entender o que é uma equação linear para depois estudarmos e entendermos sistemas lineares. Uma equação linear é qualquer equação da forma: a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn = b onde a1, a2, a3, …, an são números reais e b é um termo independente. Caso b = 0, a equação é chamada de linear homogênea. 1.2 Sistema linear Um sistema linear tem a seguinte forma: Cuja solução pertence aos números reais e o conjunto solução do sistema é solução de todas as equações lineares do sistema. 1.2.1 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES Os sistemas lineares são classificados de acordo com o número de soluções apresentados pelos mesmos. Assim, os sistemas lineares podem ser classificados como: SPD – Sistema Possível e Determinado – possui uma única solução. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 7 SPI – Sistema Possível e Indeterminado – possui infinitas soluções. SI – Sistema Impossível – não possui solução. 1.2.2 MATRIZ ASSOCIADA A UM SISTEMA LINEAR Podemos associar a um sistema linear algumas matrizes, onde os seus coeficientes ocuparão linhas e colunas da matriz. Seja o sistema: Matriz incompleta: formada apenas pelos coeficientes do sistema. Matriz completa: formada pelos coeficientes do sistema, mas os temos independentes. EQUAÇÃO MATRICIAL DOS SISTEMAS LINEARES A partir dessa equação matricial pode se resolver o sistema1. 2 ESPAÇOS VETORIAIS Neste capítulo introduziremos o conceito de espaço vetorial que ser usado em todo o decorrer do curso. Porém, antes de apresentarmos a definição de espaço vetorial, passemos a analisar em paralelo dois objetos: o conjunto formado pelas funções f: ℝ → ℝ, 1 Texto extraído de: www.matematicabasica.net.com GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 8 denotado por Ϝ(ℝ; ℝ) e o conjunto das matrizes quadradas de ordem 𝓃 com coeficientes reais que denotaremos por ℳn(ℝ), ou simplesmente, por ℳn. A soma de duas funções 𝑓 𝑒 𝑔 de Ϝ(ℝ; ℝ) é definida como sendo a função 𝑓 + 𝑔 ∈ Ϝ(ℝ; ℝ) dada por (𝑓 + 𝑔) (𝑥) + 𝑔(𝑥). Note também que se λ ∈ ℝ podemos multiplicar a função 𝑓 pelo escalar λ, da seguinte forma (𝜆𝑓)(𝑥) = 𝜆(𝑓(𝑥)), resultando num elemento de Ϝ(ℝ). Com relação a ℳn podemos somar duas matrizes quadradas de ordem 𝓃, 𝐴 =(𝑎ij)n×n e 𝐵 =(𝑏ij)n×n, colocando 𝐴 + 𝐵 =(𝑎ij + 𝑏ij)n×n, que é um elemento de ℳn. Com a relação à multiplicação de 𝐴 =(𝑎ij)n×n por um escalar 𝜆 ∈ ℝ, é natural e definimos 𝜆𝐴 = (𝜆𝑎ij)n×n , o qual também pertence a ℳn. O que estes dois conjuntos acima, com estas estruturas de adição de seus elementos e multiplicação de seus elementos por escalares, têm comum? Vejamos: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 9 Podemos ver que tanto os conjuntos das funções definidas na reta a valores reais como o das matrizes quadradas quando munidos de somas e multiplicação por escalares adequadas apresentam propriedades algébricas comuns. Na verdade, muitos outros conjuntos munidos de operações apropriadas apresentam propriedades semelhantes às acima. É por isso que ao invés de estudarmos cada um separadamente estudaremos um conjunto arbitrário e não vazio, 𝑽; sobre o qual supomos estar definidas uma operação de adição, isto é, para cada 𝒖; 𝒗 ∈ 𝑽 existe um único elemento de 𝑽 associado, chamado a soma entre 𝑢 e 𝑣 e denotado por 𝑢 + 𝑣; e uma multiplicação por escalar, isto é, para cada 𝒖 ∈ 𝑽 e 𝝀 ∈ ℝ existe um único elemento de 𝑽 associado, chamado de produto de 𝒖 pelo escalar 𝝀 e denotado por 𝝀𝒖: Um conjunto 𝑽 como acima munido de uma adição e de uma multiplicação por escalar é e um espaço vetorial se para quaisquer 𝒖, 𝒗 𝑒 𝒘 𝑒𝑚 𝑽 e para todo 𝝀, 𝒖 ∈ ℝ são validas as seguintes propriedades: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 10 É comum chamarmos os elementos de um espaço vetorial de vetores, independentemente da natureza dos mesmos. Também chamamos de escalares os números reais quando estes desempenham o seu papel na ação de multiplicar um vetor. O elemento 0 na propriedade ev3 é único, pois qualquer outro 𝟎′ ∈ 𝑽 satisfazendo a mesma propriedade ev3 então, pelas propriedades ev3 e ev1 teríamos 𝟎′ = 𝟎 + 𝟎′ = 𝟎′ + 𝟎 = 𝟎, isto é, 𝟎 = 𝟎′. Em um espaço vetorial, pela propriedade ev4, para cada 𝒖 ∈ 𝑽 existe 𝒗 ∈ 𝑽 tal que 𝒖 + 𝒗 = 𝟎. Na verdade, para cada 𝒖 ∈ 𝑽 existe somente um elemento 𝒗 ∈ 𝑽 com essa propriedade. De fato, dado 𝒖 ∈ 𝑽 se 𝒗 𝒆 𝒗′ em 𝑽 são tais que 𝒖 + 𝒗 = 𝟎 e 𝑢 + 𝑣′ = 0 então, combinando estas equações com as propriedades ev1,ev2 e ev3, obtemos 𝒗 = 𝒗 + 𝟎 = 𝒗 + (𝒖 + 𝒗′) = (𝒗 + 𝒖) + 𝒗′ = (𝒖 + 𝒗) + 𝒗′ = 𝒗′ , isto é 𝒗 = 𝒗′. Denotaremos 𝒗 por −𝒖 e 𝒖 − 𝒗 por 𝒖 + (−𝒗). As quatro primeiras propriedades referem-se apenas à operação de adição e são conhecidas, respectivamente, por propriedade comutativa, propriedade associatividade, existência do elemento neutro e existência do elemento inverso. A quinta e a oitava propriedades são exclusivas da multiplicação por escalar e também podem ser chamadas de associatividade e elemento neutro da multiplicação, respectivamente. A sexta e a sétima propriedades relacionam as duas operações e são ambas conhecidas por distributividade. A rigor, a definição de espaço vetorial que demos acima se refere a espaços vetoriais reais visto que estamos permitindo que os escalares sejam apenas números GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 11 reais. A noção de espaço vetorial complexo pode ser feita naturalmente a partir da definição acima com as devidas mudanças. Mais precisamente, pedimos que seja satisfeitas as propriedades ev1 a ev4 e ev8 enquanto que as propriedades ev5 a ev7 devem valer para todo λ, µ ∈ ℂ. No entanto, embora importante, não usaremos o conceito de espaço vetorial complexo. Talvez o exemplo mais simples de espaço vetorial seja o conjunto dos números reais com a adição e multiplicação usuais. Mais geralmente, para cada 𝒏 ∈ ℕ, podemos transformar o conjunto das 𝑛-uplas ordenadas de números reais, ℝn , em um espaço vetorial definindo a adição de duas 𝑛 -uplas ordenadas,𝒙 = (𝒙1,...,𝒙n) e 𝒚 = (𝒚1, … , 𝒚n), adicionando-se coordenada a coordenada, isto é, 𝒙 + 𝒚 = (𝒙1 +𝒚1,...,𝒙n + 𝒚n) e produto de uma 𝒏-upla 𝒙 = (𝒙1 ,..., 𝒙n) por um escalar 𝝀 ∈ ℝ por 𝝀𝒙 = (𝝀𝒙1,..., 𝝀𝒙n ). E uma rotina bem simples verificar que desse modo ℝn é um espaço vetorial. Deixamos como exercício esta tarefa. Verifique também que os seguintes exemplos são espaços vetoriais. 1° Exemplo: Sejam 𝒏 ∈ ℕ 𝐞 𝐕 = 𝓟n(ℝ) o conjunto formado pelo polinômio nulo e por todos os polinômios de grau menor ou igual a 𝒏 com coeficientes reais. Definimos a adição e a multiplicação por escalar da seguinte maneira: 2° Exemplo: Sejam 𝑨⊂ ℝ e 𝔉(𝑨; ℝ) o conjunto de todas as funções 𝒇: 𝑨 → ℝ . Se 𝒇, 𝒈 ∈ 𝕱(𝑨;ℝ) e 𝝀 ∈ ℝ defina 𝒇 + 𝒈: 𝑨 → ℝ por (𝒇 + 𝒈)(𝒙) = GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 12 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) e (𝝀𝒇)(𝒙) = 𝝀𝒇(𝒙), 𝒙 ∈ 𝑨. Então, 𝕱(𝑨;ℝ) com esta adição e produto por escalar é um espaço vetorial. 3° Exemplo: O conjunto das funções contínuas definidas num intervalo 𝐈 ⊂ ℝ munido das operações de adição e multiplicação usuais (como aquelas definidas em 𝕱(𝑰;ℝ)). Notação: 𝐂(𝑰;ℝ). 4° Exemplo: O conjunto das funções com derivadas contínuas até ordem 𝐊 ∈ ℕ, (𝐊 é fixo) definidas num intervalo aberto 𝐈 ⊂ ℝ munido das operações de adição e multiplicação usuais (como aquelas definidas em 𝕱(𝑰;ℝ)). Notação: CK(𝑰; ℝ). 5° Exemplo: O conjunto das funções com todas as derivadas contínuas definidas num intervalo aberto 𝐈 ⊂ ℝ munido das operações de adição e multiplicação usuais (como aquelas definidas em 𝕱(𝑰;ℝ)). Notação: C ∞ (𝑰; ℝ). 6° Exemplo: O conjunto das matrizes 𝑚 por 𝑛com coeficientes reais: 𝑴m×n(ℝ) munido de operações análogas àquelas definidas em 𝑴n(ℝ). Os espaços vetoriais acima envolvem operações com as quais você já deve estar familiarizado. O próximo exemplo é um pouco mais sofisticado do que os anteriores e por isso mostraremos as oito propriedades. Como conjunto tomaremos 𝑽 = 𝟎 ∞ , o semieixo positivo da reta real. Este conjunto quando munido às operações usuais de soma e multiplicação não é um espaço vetorial, visto que não possui elemento neutro para a adição. No entanto, se para 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑽 𝐞 𝝀 ∈ ℝ, definirmos a soma entre 𝒙 e 𝒚 por 𝒙 ⊞ 𝒚 = 𝒙𝒚, (o produto usual entre 𝒙 e 𝒚) e o produto de 𝒙 pelo escalar λ como λ𝒙 = 𝒙𝛌, então 𝑽 se torna um espaço vetorial. De fato, verifiquemos uma a uma as oito propriedades. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 13 2 2.1 Propriedades Das oito propriedades que definem um espaço vetorial podemos concluir várias outras. Listaremos algumas destas propriedades na seguinte 2.1.1 PROPOSIÇÃO 1 Seja um espaço vetorial. Temos GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 14 Prova: 3 SUBESPAÇOS VETORIAIS Muitas vezes nos depararemos com certos subconjuntos de um espaço vetorial que possuem a propriedade de que a soma de dois de seus elementos é um elemento do próprio subconjunto bem como quando multiplicamos um elemento do subconjunto por um escalar, o resultado continua pertencendo ao subconjunto. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 15 Seja 𝑉 um espaço vetorial. Dizemos que 𝑊 ⊂ 𝑉 é um subespaço vetorial de 𝑉 se forem satisfeitas as seguintes condições: Observação 1: Note que todo subespaço vetorial 𝑊 de um espaço vetorial 𝑉 é ele próprio um espaço vetorial. As propriedades comutativa, associativa, distributivas e ev8 são herdadas do próprio espaço vetorial 𝑉 . O elemento neutro da adição é um elemento de 𝑊 por sv1. Finalmente, se 𝑢 ∈ 𝑊 então −𝑢 = (−1)𝑢 ∈ 𝑊 pelo item 4 da proposição 1 e por sv3. Observação 2: Obviamente {0} e 𝑉 são subespaços vetoriais do espaço vetorial V. São chamados de subespaços vetoriais triviais. Observação 3: Note que 𝑊 é subespaço vetorial de 𝑉 se e somente se são válidas as seguintes condições: Vejamos um exemplo: Exemplo 1: Exemplo 2: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 16 3.1 Interseção e Soma de Subespaços 3.1.1 PROPOSIÇÃO 2 (Interseção de subespaços) Sejam 𝑈 e 𝑊 subespa- cos vetoriais de 𝑉. Então 𝑈 ∩ 𝑊 é subespaço vetorial de 𝑉. Prova: Questão: Com a notação da proposição acima, podemos armar que 𝑈 ∪ 𝑊 é subespaço vetorial de 𝑉? Resposta: Não. Basta considerar 𝑉 = ℝ2, 𝑈 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ;𝑥 + 𝑦 = 0} e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 ; 𝑥 − 𝑦 = 0}. Note que (1, −1) ∈ 𝑈 ⊂ 𝑈 ∪ 𝑊 e (1, 1) ∈ 𝑊 ⊂ 𝑈 ∪ 𝑊 mas (1, −1) + (1, 1) = (2, 0) ∉ 𝑈 ∪ 𝑊 . Se 𝑈 e 𝑊 são subespaços vetoriais de um espaço vetorial 𝑉 e 𝑉′ é um subespaço de 𝑉 que contenha 𝑈 e 𝑊 , isto é, 𝑈 ∪ 𝑊 ⊂ 𝑉′ então 𝑉′ terá que conter todos os vetores da forma 𝑢 + 𝑤, 𝑢 ∈ 𝑈 e 𝑤 ∈ 𝑊. Isto motiva a seguinte Definição: Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Definimos a soma de e como . 3.1.2 PROPOSIÇÃO 3 (Soma de subespaços) sejam , e como na definição acima. Então + é um subespaço vetorial de . Além do mais, . Prova: Verifiquemos que é subespaço vetorial de . GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 17 Ainda usando a notação acima, suponha que seja um subespaço de que contenha e . Neste caso, para todo e todo temos , ou seja, + . Esta observação nos permite registrar a seguinte 3.1.3 PROPOSIÇÃO 4 Sejam um espaço vetorial e e subespaços vetoriais de . Então + é o menor subespaço vetorial de que contém . Em outras palavras, se é um subespaço vetorial de que contém então . Definição: Sejam e subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Dizemos que é a soma direta de e se . Neste caso usaremos a notação para representar . Observação 4: Note que trivialmente se e são subespaços vetoriais. 3.1.4 PROPOSIÇÃO 5 (Soma direta de subespaços vetoriais) Sejam 𝑈 e 𝑊 subespaços vetoriais de um espaço vetorial 𝑉. Temos 𝑉 = 𝑈 ⨁ 𝑊 se e somente se para cada 𝑣 ∈ 𝑉 existirem um único 𝑢 ∈ 𝑈 e um único 𝑤 ∈ 𝑊 satisfazendo 𝑣 = 𝑢 + 𝑤. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 18 Exemplo 1: Verifique que ℝ3 é a soma direta de 𝑈 = {𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3;𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} e 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3; 𝑥 = 𝑦 = 0}. Resta agora mostra que 𝑈 ∩ 𝑊 = {0}. Seja (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑈 ∩ 𝑊. Temos { 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 𝑥 = 0 𝑦 = 0 ≼===≫ (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0). GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 19 Definição: Sejam 𝑼1, . . . ,𝑼n subespaços vetoriais de um espaço vetorial 𝑽. 𝑨 soma de 𝑼1 a 𝑼n é definida por Definição: Sejam 𝑼1, . . . , 𝑼n subespaços vetoriais de um espaço vetorial 𝑽. Dizemos que a soma de 𝑼1 a 𝑼n é uma soma direta se em que o termo deve ser omitido da soma. Neste caso usaremos a notação 1 n para denotar a soma de 1 a n. Observação 5: É obvio que se 1, . . . , n são subespaços vetoriais. 3.1.5 Proposição 6: Sejam 1, . . . , n subespaços vetoriais de um espaço vetorial . Então 1 · · · n se e somente se para cada existe, para cada GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 20 , um único j tal que 1+· · ·+ n. Prova: A prova é análoga à da proposição 5. Exemplo 2: Mostre que 2 é soma direta dos seguintes subespaços vetoriais 1 = { 0; 0 }, 2 = { 1 ; 1 } e 3 = { 2 2 ; 2 }. 4 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial 𝑽 , um subconjunto 𝐁 ⊂ 𝑽 , tal que qualquer vetor de 𝑽 seja uma combinação linear de elementos de 𝐁. Em outras palavras, queremos determinar um conjunto de vetores que gere 𝑽 e tal que todos elementos sejam realmente necessários para gerar 𝐕. Se pudermosencontrar tais vetores, teremos os alicerces de nosso espaço, com estes vetores fazendo o papel de 𝒊, 𝒋, 𝒌 na Geometria Analítica no Espaço. Denominares um conjunto de vetores desse tipo de base, mais precisamente: 4.1 DEFINIÇÃO 1 Seja 𝐕 um espaço vetorial sobre um corpo 𝕂. Dizemos que um subconjunto 𝐁 de 𝐕 é uma base de 𝐕 se (𝑖)ℬ for um conjunto gerador de 𝑉 ; e (𝑖𝑖)ℬ for linearmente independente. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 21 Fonte: istockphoto.com 4.1.1 Teorema 1 Seja {0} 6= 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂. Então 𝑉 possui pelo menos uma base. http://www.istockphoto.com/ http://www.istockphoto.com/ http://www.istockphoto.com/ GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 22 então β = 0, caso contrário teríamos contradizendo o fato de 𝑤 ∉ [𝐵] . Portanto igualdade a torna-se Consequentemente pois 𝐵 é I. 𝑖. E como consequência temos que , mas isto é um absurdo, visto que este fato contradiz a maximalidade 𝐵. Assim [𝐵] = 𝑉. O teorema abaixo apresenta duas caracterizações de base. 4.1.2 Teorema 2 Sejam 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂 e ℬ um subconjunto de 𝑉 . As seguintes afirmações são equivalentes: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 23 4.1.3 Teorema 3 Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂. Demonstração. Para provar (𝑖), aplicamos o Lema de Zorn a família de conjuntos munida da ordem parcial de inclusão. Concluímos que 𝐹 tem um elemento maximal 𝐵 . Se existir algum elemento 𝑢 ∈ 𝑇[𝐵], então 𝐵 ∪ {𝑢} é l.i. contradizendo a maximalidade de 𝐵 . Logo, 𝑇 ⊂ [𝐵] e, consequentemente, [𝑇] ⊂ [𝐵]. Segue que 𝑉 = [𝐵], e, portanto, [𝐵] é base de 𝑉. Partes (𝑖𝑖) e (𝑖𝑖𝑖) seguem de (𝑖). 4.1.4 Teorema 4 Sejam 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂 e 𝐵 e 𝐶 bases de 𝑉. Então, cada elemento de 𝐵 pode ser substituído por algum elemento de 𝐶 de modo que o conjunto resultante ainda é uma base de 𝑉. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 24 completando a prova. No teorema a seguir, utilizamos a noção de cardinalidade. Lembremos que dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 tem a mesma cardinalidade quando existe uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 bijetora. 4.1.5 Teorema 5 Sejam 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂 e 𝐵, 𝐶 bases de 𝑉. Então 𝐵 e 𝐶 tem a mesma cardinalidade. O teorema 5 consolida a seguinte definição. 4.2 DEFINIÇÃO 2 Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre 𝕂. A dimensão de 𝑉 sobre 𝕂, denotada por dim 𝕂 𝑉 ou simplesmente por dim 𝑉, é a cardinalidade de qualquer base de 𝑉 sobre 𝕂. Começamos nossa discussão sobre espaços vetoriais indagando sobre a existência de um certo tipo de subconjunto 𝐵 de 𝑉 , que tivesse as seguintes propriedades; 𝐵 linearmente independente e [𝐵] = 𝑉. Para este tipo de subconjunto de 𝑉 demos o nome de base algébrica. Agora estamos interessados em saber algo sobre a cardinalidade do conjunto 𝐵, mas particularmente quando 𝑑𝑖𝑚𝕂𝑉 = ∞, gostaríamos de saber se 𝐵 é enumerável. O próximo resultado nos fornece um método que nos permite decidir se alguns espaços vetoriais têm base enumerável. Mais precisamente: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 25 4.2.1 PROPOSIÇÃO 1 A proposição 1 é consequência do: 4.2.2 Teorema de Baire 1 Seja ( 𝑀, 𝑑 ) um espaço métrico completo e (Fn)n∈N uma sequência de subconjuntos fechados de 5 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 5.1 Introdução Até agora foi estudado os espaços vetoriais e seus subespaços, introduzimos os conceitos como dependência e independência linear e, a partir disto, pudemos descrevê-los de maneira mais simples usando para isto geradores e, mais especificamente, bases. De certa forma já temos em mãos tudo o que precisamos para trabalhar com espaços vetoriais. Fonte: ifs.edu.br É necessário estar familiarizado com o conceito de funções, principalmente com aquelas que estão definidas em um subconjunto da reta e tomam seus valores GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 26 também no conjunto dos números reais. Nosso próximo passo é estudar funções que têm como domínio um espaço vetorial e que tomam seus valores em um outro espaço vetorial. Note que os valores tomados são, na verdade, vetores. No entanto, deve-se restringir a apenas alguns tipos especiais dentre estas funções. Pois o maior interesse é em funções que preservem as operações existentes no espaço vetorial que atua como o seu domínio e aquelas do espaço vetorial que age como contradomínio. Por exemplo, por preservar a adição de vetores entendemos que ao tomar dois vetores no domínio da função o valor que esta deve ter para a soma destes dois vetores é a soma dos valores que ela possui para cada um dos vetores. De maneira semelhante a função deve preservar o produto por escalar. Funções com estas propriedades são chamadas de transformações lineares. Mais precisamente, temos. 5.1.1 DEFINIÇÃO 1 Sejam 𝑈 e 𝑉 espaços vetoriais. Dizemos que uma função 𝑇 ∶ 𝑈 → 𝑉 é uma transformação linear se forem verificadas as seguintes condições: Observação 1 : Note que 𝑇 ∶ 𝑈 → 𝑉 é uma transformação linear se e somente se 𝑇(𝜆𝑢 + 𝜇𝑣) = 𝜆𝑇(𝑢) + 𝜇𝑇(𝑣), para todo 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑈, 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ. Observação 2: Note que pela propriedade 2 temos Ou seja, toda transformação linear de 𝑈 em 𝑉 leva o elemento neutro de 𝑈 no elemento neutro de 𝑉. A seguir listamos alguns exemplos de transformações lineares definidas em vários espaços vetoriais que já tratamos no decorrer do curso. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 27 Os exemplos abaixo são de funções entre espaços vetoriais que não são transformações lineares. para toda função 𝑓 ∈ 𝐶([0, 1]; ℝ). Se 𝑇 fosse linear deveria ter por 2, 𝑇(−𝑓) = −𝑇(𝑓) para toda função 𝑓 ∈ 𝐶([0, 1]; ℝ). Para ver que isto não ocorre, basta tomar f como sendo a função constante igual a 1. Temos neste caso que 𝑇(−1) = 1 = 𝑇(1). GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 28 5.1.2 PROPOSIÇÃO 1 Seja 𝑈 um espaço vetorial com base 𝑢1, . . . , 𝑢n. Toda transformação linear 𝑇 ∶ 𝑈 → 𝑉 fica determinada por 𝑇(𝑢1), . . . , 𝑇(𝑢n), ou seja, conhecidos estes vetores, conhece-se 𝑇(𝑢) para qualquer 𝑢 ∈ 𝑈. Prova: Já que 𝑢1, . . . , 𝑢n formam uma base de 𝑈, dado 𝑢 ∈ 𝑈 existem α1, . . . , 𝛼1 ∈ ℝ tais que 𝑢 = 𝛼1𝑢1 + · · · + 𝛼n𝑢n. Deste modo, Verifica-se facilmente que a transformação 𝑇 definida como acima é linear e satisfaz as condições pedidas. 5.2 O Espaço Vetorial Sejam 𝑈 e 𝑉 espaços vetoriais. O conjunto de todas as transformações lineares 𝑇 ∶ 𝑈 → 𝑉 é denotad o por (𝑈, 𝑉). Quando 𝑈 = 𝑉 usamos a notação (𝑈) ≐ (𝑈, 𝑈). É um simples exercício de verificação o fato de definidas acima ser um espaço vetorial. Note que o elemento neutro da adição é a transformação nula, isto é, definida por . ( 𝑈 , 𝑉 ) com as operações GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 29 Registraremos isto na seguinte 5.2.1 PROPOSIÇÃO 2 com as operações acima é um espaço vetorial. 5.2.1.1 DEFINIÇÃO 1 Se é um espaço vetorial, definimos o espaço dual de como sendo , isto é, é formado pelas transformações lineares . Estas transformações lineares também são chamadas de funcionais lineares definidos em . 5.3 Teorema 1 Se é um espaço vetorial de dimensão e é um espaço vetorial de dimensão então tem dimensão . Prova: Fixemos duas bases, uma formada por vetores 1, . . . , n de e outra formada por 1, . . . , m, vetores de . GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 30 e como 𝑣1, . . . , 𝑣m são linearmente independentes, segue-se que 𝛼k1 = · · · =𝛼km = 0. Portanto 𝑇11, . . . , 𝑇nm são linearmente independentes. Seja 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) . Se 𝑢 ∈ 𝑈 então 𝑢 = 𝑥1 𝑥1 + · · · + 𝑥n 𝑢n, para certos números reais 𝑥1, . . . , 𝑥n. Como 𝑇 é linear COROLÁRIO: Se 𝑉 é um espaço de dimensão 𝑛 então o seu dual também tem dimensão 𝑛. Pelo corolário, se 𝑈 tem dimensão 𝑛 então o seu dual, 𝑈′ , tem a mesma dimensão. Seguindo os passos da demonstração do teorema 1, se 𝑢1, . . . , 𝑢n formam uma base 𝐵 de 𝑈 então os funcionais lineares 𝑓1, . . . , 𝑓n : 𝑈 → ℝ dados por 𝑓j(𝑢) = 𝑓j(𝑥1 𝑢1 + · · · + 𝑥n 𝑥n) = 𝑥j , 𝑗 = 1, . . . , 𝑛, formam uma base de 𝑈′ . Esta base é chamada de base dual da base 𝐵. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 31 5.3.1.1 DEFINIÇÃO 2 Sejam 𝑈, 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais. Se 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) e 𝑆 ∈ (𝑉, 𝑊) definimos a composta 𝑆 ∘ 𝑇: 𝑈 → 𝑊 por 𝑆 ∘ 𝑇(𝑢) = 𝑆(𝑇(𝑢)), 𝑢 ∈ 𝑈. Exemplo: Considere 𝑇, 𝑆 ∈ (ℝ 2) dadas por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 0) e 𝑆(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 2𝑦). Encontre 𝑇 ∘ 𝑆 e 𝑆 ∘ 𝑇. 5.3.1.2 DEFINIÇÃO 3 Se 𝑇 ∈ (𝑈), definimos 𝑇1 = 𝑇 e 𝑇n = 𝑇 ∘ 𝑇n−1 para 𝑛 ≥ 2. 5.3.1.3 DEFINIÇÃO 4 𝑇 ∈ (𝑈) é chamada de nilpotente se existir algum inteiro positivo 𝑛 tal que 𝑇n = 0, a transformação nula. Obviamente a transformação nula é um exemplo de uma transformação nilpotente. Exemplo: Mostre que 𝑇 : ℝ2 → ℝ2 dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (0, 𝑥)é um operador nilpotente. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 32 5.3.2 PROPOSIÇÃO 3 Sejam 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) e 𝑆 ∈ (𝑉, 𝑊). Então 𝑆 ∘ 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑊). Prova: Dados 𝑢,𝑣 ∈ 𝑈 e λ, µ ∈ ℝ temos 5.3.3 PROPOSIÇÃO 4 Sejam 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) e 𝑆 ∈ (𝑉, 𝑊) e ℝ ∈ (𝑊, 𝑋), onde 𝑈, 𝑉, 𝑊 e 𝑋 são espaços vetoriais. Então (𝑅 ∘ 𝑆) ∘ 𝑇 = 𝑅 ∘ (𝑆 ∘ 𝑇). 5.3.4 PROPOSIÇÃO 5 Se 𝑆, 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉), 𝑅 ∈ (𝑉, 𝑊) então 𝑅 ∘ (𝑆 + 𝑇) = 𝑅 ∘ 𝑆 + 𝑅 ∘ 𝑇 . GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 33 5.3.5 PROPOSIÇÃO 6 Se 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) e 𝐼V ∈ (𝑉) é a identidade em 𝑉 , isto é, 𝐼(𝑣) = 𝑣, 𝑣 ∈ 𝑉, e 𝐼U ∈ 5.3.5.1 DEFINIÇÃO 5 Diremos que 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) possui inversa se existir 𝑆 ∶ 𝑉→ 𝑈 tal que 𝑆 ∘ 𝑇(𝑢) = 𝑢 para todo 𝑢 ∈ 𝑈 e 𝑇 ∘ 𝑆(𝑣) = 𝑣 para todo 𝑣 ∈ 𝑉. Em outras palavras, 𝑇 ∘ 𝑆 = 𝐼V e 𝑆 ∘ 𝑇 = 𝐼U, onde 𝐼U : 𝑈 → 𝑈 é a identidade em 𝑈 e 𝐼V : 𝑉 → 𝑉 é a identidade em 𝑉. 5.3.6 PROPOSIÇÃO 7 Se 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) possui uma inversa então está inversa é única. 5.3.6.1 DEFINIÇÃO 6 Uma transformação linear 𝑇: 𝑈 → 𝑉 é ( 𝑈 ) é a identidade em 𝑈 , então 𝐼 V ◦ 𝑇 = 𝑇 e 𝑇 ◦ 𝐼 U = 𝑇 . GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 34 5.3.7 PROPOSIÇÃO 8 Uma transformação linear 𝑇: 𝑈 → 𝑉 é injetora se e somente se 𝑇(𝑢) = 0: implicar em 𝑢 = 0. 5.3.8 PROPOSIÇÃO 9 A fim de que 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) possua inversa é necessário e suficiente que 𝑇 seja bijetora. 5.3.9 PROPOSIÇÃO 10 Se 𝑇 ∈ (𝑈, 𝑉) possui inversa 𝑇−1 : 𝑉 → 𝑈 então 𝑇−1 ∈ (𝑉, 𝑈). GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 35 6 MATRIZES O estudo das matrizes possibilita o tratamento de dados de forma simplificada, permitindo, dentre outras coisas, a fácil visualização da informação. A manipulação de matrizes está presente em todas as áreas de conhecimento, seja nas áreas que lidam com a Matemática diretamente como também em áreas de Humanas e Saúde, por exemplo. Uma matriz é um conjunto de dados dispostos em uma tabela onde cada dado é referenciado por linhas e colunas. A arrumação dos dados dessa forma permite não apenas sua organização, mas também possibilita novas maneiras de manipular esses dados. As matrizes podem ser compostas de qualquer tipo de números (reais ou complexos), de funções e até de submatrizes. Para identificar uma matriz, nós precisamos conhecer algumas informações: representação, ordem e termo geral. REPRESENTAÇÃO: A forma para representarmos uma matriz será utilizando parênteses ou colchetes: ORDEM: A ordem da matriz informa sobre o seu tamanho e faz menção à quantidade de linhas e colunas que ela contém. 𝑚 𝑥 𝑛 → 𝑚 linhas e n colunas Quando uma matriz apresenta o mesmo número de linhas e colunas diz que a matriz tem ordem 𝑛 (𝑛 = número de linhas = número de colunas). TERMO GERAL: Algumas matrizes possuem certa relação entre seus elementos. Quando for possível escrever todos os elementos de uma matriz através de uma regra, então a matriz possui um termo geral ( 𝑎ij), onde i indica a linha e 𝑗, a coluna. Exemplo: Sabendo que a matriz 𝐵 tem ordem 2x3 e que seu termo geral é dado por 𝑏ij=𝑖+2𝑗, encontre 𝐵. Como o número de linhas é igual a 2, e o número de colunas GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 36 igual a 3, então sabemos que o índice 𝑖 varia de 1 até 2 e o índice 𝑗 de 1 até 3. Logo, a matriz terá a forma: 6.1 Tipos de matrizes Existem algumas matrizes que possuem características especiais e estas podem facilitar alguns cálculos ou análises em determinadas situações. Vamos conhecê-las. 6.1.1 MATRIZ COLUNA Matriz formada por apenas uma coluna. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 37 6.1.2 MATRIZ LINHA Matriz formada por apenas uma linha. 6.1.3 MATRIZ NULA – 0 Matriz onde todos os seus elementos são zero, ou seja, seu termo geral é sempre zero qualquer que seja 𝑖 𝑒 𝑗. 6.1.4 MATRIZ QUADRADA Matriz onde a quantidade de linhas é igual à quantidade de colunas. Considerando as matrizes quadradas, denominam-se como elementos da diagonal principal os elementos que apresentam 𝑖 = 𝑗(𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, ... 𝑎nn). GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 38 6.1.5 MATRIZ DIAGONAL Matriz onde os elementos da diagonal principal são não nulos e os fora da diagonal principal são nulos. 6.1.6 MATRIZ IDENTIDADE - 𝐼 Matriz onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os fora da diagonal principal são nulos. 6.1.7 MATRIZ TRANSPOSTA - 𝐴t , 𝐴′ A matriz transposta é obtida a partir de qualquer matriz se trocando as linhas pelas colunas. 6.1.8 MATRIZ SIMÉTRICA Uma matriz é simétrica se ela for igual a sua transposta. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 39 6.1.9 MATRIZ ANTISSIMÉTRICA Uma matriz é antissimétrica se ela for igual a menos sua transposta. 6.1.10 MATRIZ TRIANGULAR Superior: Uma matriz é triangular superior quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. Inferior: Uma matriz é triangular inferior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos. 6.1.11 SUBMATRIZES Uma matriz também pode ser composta por matrizes, quando isso ocorre chamamos de submatrizes. Como exemplo, mostro uma matriz A composta por submatrizes B, C, D e E. Note que as submatrizes não podem ter qualquer dimensão, pois isso implicaria em uma desordem. Se A tem dimensão 𝑚𝑥𝑛, então o número de linhas de B mais o número de linhas de D deve ser igual a m e o número de colunas de B mais o número de colunas de C deve ser igual a n. Além disso, o número de linhas de B deve ser GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 40 igual ao número de linhas de C, assim como as linhas de D e E, o mesmo para as colunas de B, C, D e E. Um exemplo para as matrizes B, C, D e E poderia ser: B3×3 , C3×2 , D2×3 e E2×2 , resultando em A5×5 . 6.2 Operações com matrizes 6.2.1 SOMA Para que seja possível somar duas ou mais matrizes, é necessário que todas as matrizes envolvidas tenham a mesma ordem, ordem esta que também será compartilhada com a matriz resultante. Supondo a soma de matrizes: Cm×n = Am×n + Bm×n O termo geral da matriz resultante C é: cij=aij+ bij Onde aij e bij são os termos das matrizes A e B. Exemplo: 6.2.1.1 Propriedades da soma Considerando as matrizes A, B C e 0: A + B = B + A (Comutativa) A + ( B + C) = ( A + B ) + C (Associativa) GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 41 A + 0 = A (Elemento nulo) Obs.: essa propriedade também é válida para a subtração. 6.2.2 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Para multiplicar um escalar por uma matriz, basta multiplicar cada elemento da matriz por esse escalar. 6.2.2.1 Propriedades da multiplicação por escalar Considerando as matrizes 𝐴mxn, 𝐵mxn matrizes e 𝑘1 e 𝑘2 escalares: 𝑘1 ( 𝐴 + 𝐵 ) = 𝑘1 𝐴 + 𝑘1 𝐵 ( 𝑘1 + 𝑘2 ) 𝐴 = 𝑘1 𝐴 + 𝑘2 𝐴 0.𝐴 = 0 (0 – escalar e 0 – matriz nula) 𝑘1 ( 𝑘2 𝐴 ) = ( 𝑘1 𝑘2 ) 𝐴 6.2.3 Multiplicação entre matrizes Para que seja possível multiplicar duas matrizes, é necessário observar a ordem das matrizes envolvidas. Sejam 𝐴mxn e 𝐵pxq, a multiplicação 𝐴. 𝐵 apenas será possível se 𝑛 = 𝑝, já a multiplicação 𝐵. 𝐴 apenas será possível se 𝑞 = 𝑚. Sendo 𝐶 = 𝐴: 𝐵 e os termos gerais de 𝐴 e 𝐵, respectivamente, 𝑎ij e 𝑏ij, o termo geral de 𝐶 é dado por: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 42 Onde 𝑝 é o número de colunas de 𝐴 que deve ser o mesmo número de linhas de 𝐵. Exemplo: Conhecendo as matrizes 𝐻 e 𝐺, é possível a multiplicação 𝐻.𝐺? E 𝐺:𝐻? Para multiplicarmos 𝐻.𝐺 é necessário que o número de colunas da primeira matriz (𝐻) seja igual ao número de linhas da segunda matriz (𝐺). Nesse caso, 𝐻2x2 e 𝐺3x2, a multiplicação não pode ser feita, já que 𝐻 tem 2 colunas e 𝐺 tem 3 linhas. Para analisar a multiplicação 𝐺. 𝐻 procederemos da mesma forma, o número de colunas da primeira matriz (𝐺) é igual a 2 e o número de linhas da segunda matriz (𝐻) é igual a 2, portanto a multiplicação 𝐺. 𝐻 pode ser feita: 6.2.3.1 Propriedades gerais Considerando as matrizes 𝐴, 𝐵, 𝐶, a matriz nula 0, o escalar 𝐾, a matriz identidade 𝐼 e que as operações sejam possíveis. • 𝐴 𝐼 = 𝐼 𝐴 = 𝐴 • 𝐴 ( 𝐵 + 𝐶 ) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 • ( 𝐴 + 𝐵 ) . 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 • 𝐴 ( 𝐴𝐶) = ( 𝐴𝐵 ) 𝐶 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 43 𝐴 0 = 0 𝐴 = 0 • 𝐴 é simétrica se 𝐴 = 𝐴t • ( 𝐴 + 𝐵 )t = 𝐴t + 𝐵t • ( 𝐴t )t = 𝐴 • ( 𝐾 𝐴)t = 𝐾 𝐴t • ( 𝐴 𝐵 )t = 𝐵t 𝐴2 7 MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Nesta seção, veremos que se 𝑉 e 𝑊 são espaços vetoriais de dimensão finita, com bases fixadas, então uma transformação linear 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 pode ser representada por uma matriz. A vantagem de uma tal representação é que muitos problemas associados às transformações lineares entre espaços de dimensão finita podem ser resolvidos com a teoria das matrizes, como veremos na próxima seção e nos capítulos a seguir. Seja 𝑇 ∶ 𝑉 → 𝑊 uma transformação linear, em que dim 𝑉 = 𝑛 e dim 𝑊 = 𝑛. Sejam 𝛼 = {𝑣 1, 𝑣 2, . . . , 𝑣 n} e 𝛽 = {𝑤 1, 𝑤 2, . . . , 𝑤 m} bases de 𝑉 e 𝑊 , respectivamente. Como 𝛽 é uma base de 𝑊, podemos determinar de modo único números reais 𝑎ij , com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, tais que 2 Texto extraído de: www.sedis.ufrn.br GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 44 Exemplo: Sejam 𝛼 = {(1, 1),(0, 2)} e 𝛽 = {(1, 0, 1),(0, 1, 0),(1, 2, 0)}, bases de ℝ2 e ℝ3 , respectivamente. Calculemos [𝑇] 𝛼 𝛽 , onde 𝑇 : ℝ2 → ℝ3 é dada por 𝑇 (𝑥, 𝑦) = (2𝑥, 𝑥 − 𝑦, 2𝑦). GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 45 8 CONCEITOS PRIMITIVOS A chamada Geometria Plana Elementar Euclidiana consiste num sistema axiomático, que se fundamenta em alguns conceitos iniciais referentes a um conjunto de objetos denominados figuras geométricas, e às relações entre eles. 5 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 46 As primeiras afirmações do sistema são aceitas sem demonstração: são chamados axiomas ou postulados. O número de afirmações desse tipo deve ser o menor possível. A partir dos conceitos iniciais aceitos sem definições dos axiomas, são feitas novas afirmações, que então, sim, devem ser demonstradas. As afirmações que necessitam de prova são denominadas teoremas ou preposições. À medida que o estudo do sistema vai sendo desenvolvido, são feitas novas definições e apresentados novos axiomas, quando isso for estritamente necessário. Consideramos conceitos primitivos (e, portanto, aceitos sem definição) na Geometria Espacial os conceitos de ponto, reta e plano. No nosso dia-a-dia temos uma ideia do que essas palavras significam e isso nos basta. Em nosso estudo de Geometria vamos representar os pontos com letras latinas maiúsculas (A, B, C, ...), retas com letras latinas minúsculas (r, s, t, ...) e planos com letras gregas minúsculas. Quando estudamos Geometria fazemos desenhos representando as figuras e as relações entre elas. Esses desenhos podem ser feitos à mão livre apenas para nos ajudar a pensar em determinados problemas, mas eles podem ser feitos também com régua e compasso, e o próprio desenho, feito com precisão, pode ser a solução do problema que estamos resolvendo. Habitualmente, usamos a seguinte notação: Pontos: letras maiúsculas do nosso alfabeto A Retas: letras minúsculas do nosso alfabeto Planos: letras minúsculas do alfabeto grego Observação: Espaço é o conjunto de todos os pontos. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 47 Por exemplo: Em relação à figura abaixo, podemos escrever: Axiomas, ou postulados (P), são proposições aceitas como verdadeiras sem demonstração e que servem de base para o desenvolvimento de uma teoria. Temos como axioma fundamental: existem infinitos pontos, retas e planos. 8.1 Postulados sobre pontos e retas P1) A reta é infinita, ou seja, contém infinitos pontos. P2) Por um ponto podem ser traçadas infinitas retas. P3) Por dois pontos distintos passa uma única reta. P4) Um ponto qualquer de uma reta divide-a em duas semi-retas. Axiomas A GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 48 8.2 Postulados sobre o plano e o espaço P5) Por três pontos não-colineares passa um único plano. P6) O plano é infinito, isto é, ilimitado. P7) Por uma reta pode ser traçada uma infinidade de planos. P8) Toda reta pertencente a um plano divide-o em duas regiões chamadas semiplanos. P9) Qualquer plano divide o espaço em duas regiões chamadas semi espaços. 9 SEGMENTO DE RETA Posições relativas de duas retas no espaço, duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 49 Temos que considerar dois casos particulares: 1º) Retas perpendiculares: 2º) Retas ortogonais: 9.1 Postulado de Euclides ou das retas paralelas GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 50 9.1.1 Determinação de um plano Lembrando que, pelo postulado 5, que estudamos na aula passada, um único plano passa por três pontos não-colineares, um plano também pode ser determinado por: Uma reta e um ponto não pertencente a essa reta: Duas retas distintas concorrentes: Duas retas paralelas distintas: Posições relativas de reta e plano Vamos considerar as seguintes situações: a) reta contida no plano Se uma reta r tem dois pontos distintos num plano α, então r está contida nesse plano: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 51 b) reta concorrente ou incidente ao plano Dizemos que a reta r “fura” o plano α ou que r e α são concorrentes em P quando r ∩ α = {P}: Observação:A reta r é reversa a todas as retas do plano que não passam pelo ponto P. c) reta paralela ao plano Se uma reta r e um plano α não tem um ponto em comum, então a reta r é paralela a uma reta t contida no plano α, portanto, r // α r // t e t α => r // α Em α existem infinitas retas paralelas, reversas ou ortogonais a r. P11) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua intersecção é dada por uma única reta que passa por esse ponto. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 52 9.2 Perpendicularismo entre reta e plano Uma reta r é perpendicular a um plano α se, e somente se, r é perpendicular a todas as retas de α que passam pelo ponto de intersecção de r e α. Note que: Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então ela é perpendicular ou ortogonal a toda reta de α. Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta ser perpendicular a duas retas concorrentes, contidas em α: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 53 Observe, na figura abaixo, por que não basta que r seja perpendicular a uma única reta t de α para que seja perpendicular ao plano: Posições relativas de dois planos Consideramos as seguintes situações: a) planos coincidentes ou iguais b) planos concorrentes ou secantes Dois planos, α e β, são concorrentes quando sua intersecção é uma única reta: c) planos paralelos Dois planos, α e β, são paralelos quando sua intersecção é vazia: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 54 9.3 Perpendicularismo entre planos Dois planos, α e β, são perpendiculares se, e somente se, existe uma reta de um deles que é perpendicular ao outro: Observação: Existem infinitos planos perpendiculares a um plano dado; esses planos podem ser paralelos entre si ou secantes. 9.3.1 Projeção ortogonal A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 55 A projeção ortogonal de uma figura geométrica F (qualquer conjunto de pontos) sobre um plano α é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre α: 9.3.2 Distâncias A distância entre um ponto e um plano é a medida do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano: A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano: A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 56 A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta: 10 PRODUTO VETORIAL, MISTO E ESCALAR 10.1 Produto vetorial A introdução do produto vetorial é motivada pelo fato de que, para a solução de vários problemas em Geometria, é necessário encontrar um vetor ortogonal a dois outros vetores não colineares u e v dados. Como achar, então, um terceiro vetor w ortogonal a ambos? A resposta a essa pergunta, do ponto de vista geométrico, é bem simples, pois basta tomar o plano determinado pelas duas retas que contêm os vetores u e v, em seguida, considerar uma terceira reta perpendicular a esse plano. Agora, basta escolher um vetor w sobre essa reta com a mesma origem de u e v. Veja a ilustração na figura a seguir. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 57 Do ponto de vista algébrico, a pergunta anterior é dada nos cálculos a seguir. Você vai observar que os cálculos são extensos, mas são meras repetições de contas simples, tais como multiplicar uma equação por um número e somar ou subtrair duas equações membro a membro. Senão vejamos, para que w seja ortogonal a u e v, (Produto escalar), devemos ter os produtos escalares de w por u e v nulos, ou seja, GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 58 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 59 10.2 Produto misto Para vetores v e w no espaço, sabemos que seu produto vetorial v u w ainda é um vetor no espaço. Desse modo, dado um terceiro vetor u, também no espaço, podese fazer o produto escalar de u por v u w, obtendo-se um número real. Esse produto é dito o produto misto dos vetores u, v, e w, que é representado por 𝑢 ∙ (𝑣 × 𝑤). GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 60 Mostraremos agora que o valor absoluto do produto misto, a saber|𝑢 ∙ (𝑣 × 𝑤)|, tem uma interpretação geométrica bastante interessante. Esse valor absoluto representa o volume do paralelepípedo determinado por 𝑢, 𝑣 e 𝑤, descrito na figura a seguir. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 61 Para confirmar esse fato, lembremos que o volume de um paralelepípedo é dado multiplicando a área da base pela sua altura. No nosso caso, sabemos que a área da base é a área do paralelogramo determinado por 𝑣 e 𝑤, a qual é ||𝑣 × 𝑤||, como mostrado no parágrafo anterior. Para determinação da altura ℎ desse paralelepípedo, chamamos de 𝜑 ângulo entre os vetores 𝑢 𝑒 𝑣 × 𝑤.Observe que ℎ = ||𝑢|| cos𝜑. Veja isso na figura seguinte. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 62 10.3 Produto escalar Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por: u.v = a.c + b.d Exemplos: O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 10.4 Propriedades do produto escalar Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar: v.w = w.v v.v = |v| |v| = |v|2 u.(v+w) = u.v + u.w (kv).w = v.(kw) = k(v.w) |kv| = |k| |v| |u.v| <= |u| |v| (desigualdade de Schwarz) |u+v| <= |u| + |v| (desigualdade triangular) Obs: <= significa menor ou igual 10.5 Ângulo entre dois vetores O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: u.v = |u| |v| cos(x), onde x é o ângulo formado entre u e v GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 63 Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como: desde que nenhum deles seja nulo. 10.6 Vetores ortogonais Dois vetores u e v são ortogonais se: u.v = 0 11 COMBINAÇÕES LINEARES Seja V um espaço vetorial Real ou Complexo. Um vetor v é uma Combinação Linear de m vetores u1, u2, ..., um se existem escalares k1, k2 , ..., km , tais que: v = k1u1 + k2u2 + ... + kmum Ou seja: quando a equação vetorial v = x1u1 + x2u2 + ... + xmum tem solução para os xi escalares. Os escalares solução são chamados de coeficientes de v na combinação linear. Exemplo : Em R³ , u1 = ( 1 , -1/5 , 3 ) e u2 = ( 0 , 𝜋 , 6/7 ) Então: v = -5 u1 + 3 u2 é uma Combinação Linear, com coeficientes -5 e 3 . Exemplo: Dado o sistema não homogêneo de m equações com n incógnitas: + ... + + ... + . . . . GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 64 . . . . + ... + Este sistema é equivalente à equação vetorial: 𝑥1 ( 𝑎1,1 𝑎2,1 ⋮ 𝑎𝑚,1 ) + 𝑥2 ( 𝑎1,2 𝑎2,2 ⋮ 𝑎𝑚,2 ) + ⋯ + 𝑥𝑛 ( 𝑎1,𝑛 𝑎2,𝑛 ⋮ 𝑎𝑚,𝑛 ) = ( 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏𝑚 ) Portanto, o vetor coluna v cujas coordenadas são (b1, b2, ... ,bm) é uma Combinação Linear dos vetores colunas u i , quando o sistema tem solução. Ou seja : x1u + x2u2 + ... + xnun = v , onde ui e v são vetores coluna. Se o sistema tem solução, então v é uma combinação linear dos vetores ui com coeficientes x1 , ... , xn que são a solução do sistema. Exemplo: Sejam = ( 3 , 1 , 4 ) ; = ( 2 , 1 , 3 ) ; = ( 4 , 2 , -2 ) ; v = ( 1 , 2 , 3 ) A equação vetorial 𝑥1( 3 1 4 ) + 𝑥2 ( 2 1 3 ) + 𝑥3 ( 4 2 −2 ) = ( 1 2 3 ) tem solução, isto é: x1 = -3, x2 = 5, x3 = 0. Portanto, v é uma combinação linear dos vetores u1, u2, u3, com os coeficientes -3 , 5 e 0. ( 1 , 2 , 3 ) = -3u1 + 5u2 + 0u3 Exemplo: No espaço Vetorial das matrizes m x n , se A 1 , A 2 , ... , A k são k matrizes, a1A1 + a2A2+ ... + akAk com a1, a2 , ... , ak escalares é uma combinação Linear . Se m = 2 e n = 3, sejam: 𝐴1 = [√3 0 −1 0 𝜋 6 ] 𝐴2 = [ 1 3 −5 −1 2 √2 6 ] 𝐴3 = 1 2 𝐴1 + 𝐴2 GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 65 é uma Combinação Linear de e com coeficientes 1/2 e 2. 12 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR Os vetores de um espaço vetorial são Linearmente Dependentes se existem escalares não simultaneamente nulos, tais que : Isto é, a equação vetorial + ... + tem solução não trivial, onde os são escalares. Caso a equação vetorial tenha como solução todos os = 0 ,então os vetores são ditos 12.1 Linearmente Independentes Dado um sistema homogêneo de m equações com n incógnitas: + ... + + ... + . . . . . . . . + ... + Este sistema é equivalente à equação vetorial: 𝑥1 ( 𝑎1,1 𝑎2,1 ⋮ 𝑎𝑚,1 ) + 𝑥2 ( 𝑎1,2 𝑎2,2 ⋮ 𝑎𝑚,2 ) + ⋯ + 𝑥𝑛 ( 𝑎1,𝑛 𝑎2,𝑛 ⋮ 𝑎𝑚,𝑛 ) = ( 0 0 0 ) Ou seja : x1u1 + x2u2 + ... + xnun = 0 são vetores coluna . + ... + GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 66 Se o sistema homogêneo tem solução não trivial, os vetores u1, u2, ... , un são Linearmente Dependentes. Porém, se a equação tem somente a solução trivial (zero), então os vetores são Linearmente Independentes Dada uma matriz ( m x n ), onde cada linha representa um vetor linha: Se o posto da matriz for m , então os vetores linha são L.I. . Caso a matriz seja quadrada (n = m) , então o determinante será diferente de 0 (det ¹ 0) . Se o posto da matriz for menor do que m , então os vetores linha são L.D. Caso a matriz seja quadrada ( n = m ), então o determinante será igual a zero (det = 0) . Exemplos : 1) Sejam os vetores = ( 1 , 1 , 1 ) , = ( 1 , 1 , 0 ) , = ( 1 , 0 , 0 ). Para verificar a independência linear dos vetores devemos considerar a combinação linear nula: 𝑥 ( 1 1 1 ) + 𝑦 ( 1 1 0 ) + 𝑧 ( 1 0 0 ) = ( 0 0 0 ) que equivale a: A solução do sistema é a trivial, ou seja : x = y = z = 0 . Logo, os vetores são L.I. 𝐴 = [ 1 1 1 1 1 0 1 0 0 ] Rank(A) Det(A) Conclusão: O posto de A é 3 e é igual a m. A matriz A é quadrada (3 x 3) e seu determinante é igual a -1. Portanto, os vetores linha que formam A são L.I. Espaço para teste https://www.dm.ufscar.br/profs/yolanda/cursos/al1/maple/comb4.html https://www.dm.ufscar.br/profs/yolanda/cursos/al1/maple/comb4.html https://www.dm.ufscar.br/profs/yolanda/cursos/al1/maple/comb4.html GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 67 𝑥 ( 1 1 1 ) + 𝑦 ( 2 −1 3 ) + 𝑧 ( 1 −5 3 ) = ( 0 0 0 ) Equivale a: A solução do sistema é : x = 3; y = - 2; z = 1. Logo, os vetores = ( 1 , 1 , 1 ) , = ( 2 ,-1, 3 ) e = ( 1 , -5 , 3 ) são L.D. . 𝐴 = [ 1 1 1 2 −1 3 1 −5 3 ] rank(A); det(A); 13 BASES E DIMENSÃO 13.1 Base Teorema: Seja 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} ⊂ 𝑉 sistema de geradores do espaço vetorial V. Então dentre os vetores de existe uma base para V. Teorema: Seja V um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores 𝑆 = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛} ⊂ 𝑉 . Então qualquer conjunto com mais do que n vetores é necessariamente linearmente dependente (L.D.). 13.2 Dimensão Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 68 Definição: Dado um espaço vetorial finitamente gerado, denominamos dimensão de V ao número de vetores de uma base de V. 13.3 Base e Dimensão Teorema: Qualquer conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a se tornar uma base para V. Corolário: Se dim(V) = n, qualquer conjunto com n vetores L.I. formam uma base de V . Dimensão – Exemplos: 13.4 Processo Prático: Base • A permuta de dois vetores, dentre os geradores, não altera o subespaço gerado. • A substituição de um vetor por uma combinação linear dele com outros do conjunto, não altera o subespaço gerado. • Vetores geradores na forma escalonada formam um conjunto L.I. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 69 13.5 Teorema da Dimensão Teorema: Sejam U e W dois subespaços vetoriais de um dado espaço vetorial com dimensão finita, então: dim(U) ≤ dim(V) dim(W) ≤ dim(V) dim(U + W) = dim(U) + dim(W) – dim(U ∩ W) Proposição: Se W é um subespaço vetorial de 〈𝑉, +, . 〉 14 CÓNICAS As cónicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular recto com um plano. Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse. Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola. Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole. Equação Geral das Cónicas (eq. de 2° grau em x e y): GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 70 Se B2 − 4AC < 0, (1) é a equação de uma elipse. Se B2 − 4AC = 0, (1) é a equação de uma parábola. Se B2 − 4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole. 14.1 Elipse Elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre eles. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 71 14.2 Parábola Parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma recta (directriz), que não contém o ponto. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 72 14.3 Hipérbole Hipérbole é o conjunto dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e menor que a distância entre eles. GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 73 7 7 Texto extraído de: www.mat.uc.pt.com.br GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 74 15 REFERENCIA BIBLIOGRAFIA BÁSICA BOULOS, P., Geometria analítica: Um Tratamento Vetorial. 3ª ed. Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2005. STEINBRUCH, A. E.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1987. BOLDRINI, J.L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L. Álgebra Linear, 3ª ed., São Paulo: Harbra, 1980. 16 REFERENCIA BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR SILVA, V. E.; REIS, G. L. Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 1985. STEINBRUCH, A. Álgebra Linear e Geometria Analítica. São Paulo: Editora Mc Graw-Hill do Brasil. 1975. KOLMAN, B. Álgebra Linear. Rio de Janeiro: Editora Guanabara, 1998. ANTON, H. Álgebra Linear, Editora Campus Ltda. 3ªed. Rio de Janeiro:1982. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear, 2ª ed., São Paulo: Makron, 1987.