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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas • Encontre a solução geral da equação diferencial .3x² - y³ + 2y - 3xy² y' = 0( ) Resolução: Primeiro, vamos verificar se a EDO é exata, temos que colocar a EDO no formato gernérico; M x, y dx + N x, y dy = 0( ) ( ) Assim, vamos manipular a EDO para colocá-la no formato acima: 3x² - y³ + 2y - 3xy² y' = 0 3x² - y³ + 2y - 3xy² = 0 3x² - y³ dx + 2y - 3xy² dy = 0( ) → ( ) dy dx → ( ) ( ) Com isso : M x, y = 3x² - y³ e N x, y = 2y - 3xy²( ) ( ) Para a EDO ser exata devemos ter =→ 𝜕M x, y 𝜕y ( ) 𝜕N x, y 𝜕x ( ) Vamos, então, encontrar as derivadas parciais; = - 3y e = - 3y , logo, = para a EDO em questão, 𝜕M x, y 𝜕y ( ) 2 𝜕N x, y 𝜕x ( ) 2 𝜕M x, y 𝜕y ( ) 𝜕N x, y 𝜕x ( ) assim, temos uma EDO exata. Agora, podemos definir o deguinte sistema; = M x, y = 3x² - y³ 𝜕F 𝜕x ( ) = N x, y = 2y - 3xy² 𝜕F 𝜕y ( ) Vamos integrar pacialmente em x a primeira equação e chegar em F x, y ;( ) F x, y = 3x² - y³ dx = - y³x +∅ y = x - y³x +∅ y( ) ∫( ) 3x 3 3 ( ) 3 ( ) Perceba que a constante resultante dessa integral está em função de y, com isso, devemos determiná - la para chegar a solução final da EDO, para isso, vamos derivar F x, y parcialmente( ) em relação a y; = 0 - 3y x +∅' y = - 3xy +∅' y 𝜕F x, y 𝜕y ( ) 2 ( ) 2 ( ) A segunda condição dada pelo sistema acima foi : = N x, y = 2y - 3xy² 𝜕F 𝜕y ( ) Ou seja, = N x, y , com isso, temos a igualdade; 𝜕F x, y 𝜕y ( ) ( ) 2y - 3xy² = -3xy +∅' y , isolando ∅' y , fica;2 ( ) ( ) -3xy +∅' y = 2y - 3xy² ∅' y = 2y - 3xy² + 3xy ∅' y = 2y2 ( ) → ( ) 2 → ( ) Para achar ∅ y , basta integrar ∅' y ;( ) ( ) ∅ y = ∅' y dy = 2ydy = = y( ) ∫ ( ) ∫ 2y 2 2 2 Como a EDO é exata, então, necessáriamente : F x, y = c( ) encontramos que F x, y = x - y³x + y , logo :( ) 3 2 x - y³x+ y = c 3 2 (Resposta - Solução geral da EDO)
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