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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas • Seja base de R³, verifique se a base R³ dada é b = 1, 1, 1 ; 0, 1, 1 ; 0, 0, 1{( ) ( ) ( )} ortogonal. se não for, obtenha de b uma base b' que seja ortogonal. Resolução: Os vetores que compem uma base de R³ serão ortogonais quando o produto escalar entre todos os vetores são iguais a zero, ou seja, sejam 3 vetores que formam uma ( , ,v1 v2 v3) base do R³, estes vetores serão orgonais quando; ⋅ = 0, ⋅ = 0 e ⋅ = 0v1 v2 v1 v3 v2 v3 Caso os 3 três vetores não sejam ortogonais, é possível cirar uma base ortogonal, a partir dos vetores , sendo este conjunto dado pelos vetores , com;( , ,v1 v2 v3) ( , ,w1 w2 w3) = ; = - ⋅ e = - ⋅ - ⋅w1 v1 w2 v2 ⋅ ⋅ v2 w1 w1 w1 w1 w3 v3 ⋅ ⋅ v3 w2 w2 w2 w2 ⋅ ⋅ v3 w1 w1 w1 w1 Assim, primeiro, vamos verificar se os vetores que formam a base b são ortogonais: 1, 1, 1 ⋅ 0, 1, 1 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 0 + 1 + 1 = 2( ) ( ) ( ) 1, 1, 1 ⋅ 0, 0, 1 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1( ) ( ) ( ) ( ) 0, 1, 1 ⋅ 0, 0, 1 = 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1( ) ( ) ( ) ( ) Pelo resultado obtido acima, podemos concluir que os vetores não são ortogonais! Para achar 3 vetores que sejam base de R³ e sejam também ortogonais advindos da base b, ou seja, uma base b' tal que , devemos aplicar as propriedades mostradas b' ⊥ R3 anteriormente e achar os 3 vetores , como visto na sequência;( , ,w1 w2 w3) Sendo : = 1, 1, 1 ; = 0, 1, 1 e = 0, 0, 1v1 ( ) v2 ( ) v3 ( ) = = 1, 1, 1w1 v1 ( ) = - ⋅ = 0, 1, 1 - ⋅ 1, 1, 1w2 v2 ⋅ ⋅ v2 w1 w1 w1 w1 ( ) 0, 1, 1 ⋅ 1, 1, 1 1, 1, 1 ⋅ 1, 1, 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0, 1, 1 - ⋅ 1, 1, 1 = 0, 1, 1 - ⋅ 1, 1, 1( ) 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ( ) ( ) ( ) 0 + 1 + 1 1 + 1 + 1 ( ) = 0, 1, 1 - ⋅ 1, 1, 1 = 0, 1, 1 - ⋅ 1, ⋅ 1, ⋅ 1 = 0, 1, 1 - , ,w2 ( ) 2 3 ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 ( ) 2 3 2 3 2 3 = 0 - , 1 - , 1 - = , , = - , ,w2 2 3 2 3 2 3 0 - 2 3 3 - 2 3 3 - 2 3 2 3 1 3 1 3 = - ⋅ - ⋅w3 v3 ⋅ ⋅ v3 w2 w2 w2 w2 ⋅ ⋅ v3 w1 w1 w1 w1 = 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, 1, 1( ) 0, 0, 1 ⋅ - , , - , , ⋅ - , , ( ) 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 0, 0, 1 ⋅ 1, 1, 1 1, 1, 1 ⋅ 1, 1, 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, 1, 1w3 ( ) 0 ⋅ - + 0 ⋅ + 1 ⋅ - ⋅ - + ⋅ + ⋅ ( ) 2 3 ( ) 1 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ( ) = 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, 1, 1w3 ( ) 0 + 0 + + + 1 3 4 9 1 9 1 9 2 3 1 3 1 3 0 + 0 + 1 1 + 1 + 1 ( ) = 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, 1, 1 = 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, ⋅ 1, ⋅ 1w3 ( ) 1 3 4+1+1 9 2 3 1 3 1 3 1 3 ( ) ( ) 1 3 6 9 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 = 0, 0, 1 - ⋅ ⋅ - , , - , , = - ⋅ - , , - , , + 0, 0, 1w3 ( ) 1 3 3 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 ( ) = - ⋅ - , - ⋅ , - ⋅ + - + 0, - + 0, - + 1w3 1 2 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 3 1 3 = , - , - + - , - , = - , - - , - +w3 1 3 1 6 1 6 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 6 1 3 1 6 2 3 = 0, , = 0, - , = 0, - ,w3 -1 - 2 6 -1 + 4 6 3 6 3 6 1 2 1 2 Com isso, uma base ortogonal b' extraida da base b é: b' = 1, 1, 1 ; - , , ; 0, - , ( ) 2 3 1 3 1 3 1 2 1 2 (Resposta )