Questão resolvida - Mostre, usando o teorema do valor intermediário, que a equação 3x²-2x-2=0 tem 2 raízes no intervalo [-1,2] - Teorema do valor intermediário - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Mostre, usando o teorema do valor intermediário, que a equação 3x²- 2x - 2 = 0
tem 2 raízes no intervalo .-1, 2[ ]
 
Resolução:
 
 O teorema do valor intermediário diz que se uma função tiver valores opostos em um f x( )
intervalo , com contínua no intervalo, então, está função tem pelo menos uma raiz a, b[ ] f x( )
real pertencente a esse intervalo;
 
Dessa forma, vamos testar os extremos do intervalo para verificar se atende a esse teorema 
do valor intermediário, sendo , famos achar e ;f x = 3x²- 2x - 2 = 0( ) f -1( ) f 2( )
 
f -1 = 3 -1 ²- 2 -1 - 2 f -1 = 3 ⋅ 1 + 2- 2 f -1 = 3( ) ( ) ( ) → ( ) → ( )
 
 
f 2 = 3 2 ²- 2 2 - 2 f 2 = 3 ⋅ 4- 4- 2 f 2 = 12- 6 f 2 = 6( ) ( ) ( ) → ( ) → ( ) → ( )
 
Os 2 valores deram possítivo, vamos, então, testar valores inteiros ( e ) x = 0 x = 1
pertencentes ao intervalo;
 
x = 0 f 0 = 3 0 ²- 2 ⋅ 0- 2 f 0 = 3 ⋅ 0 + 0- 2 f 0 = 0- 2 f 0 = - 2→ ( ) ( ) → ( ) → ( ) → ( )
 
x = 1 f 1 = 3 1 ²- 2 ⋅ 1- 2 f 1 = 3 ⋅ 1- 2- 2 f 1 = 3- 4 f 1 = - 1→ ( ) ( ) → ( ) → ( ) → ( )
 
Quando e a função é negativa, ou seja, em a função está acima do x = 0 x = 1 f x( ) x = -1
 
 
f b( )
b
f a( )
a
x
y
eixo x, quando a função é negativa e está abaixo do eixo x, quando , a função é x = 0 x = 1
negativa e continua abaixo do eixo x, quando , a função volta a ficar positiva e acima x = 1
do eixo x, como visto esquematicamente na sequência;
Perceba que a função passa 2 vezes pelo eixo x, ou seja, , segundo o teorema do f x( )
valor intermediário, tem que possuir 2 raíses, logo, 2 valores para .f x = y = 0( )
 
 
-4 -2 2 4 6 8 10 120
-2
2
4
6
8