solução dos exercícios - série 1

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Controle de Qualidade
Prof.: Tarcísio Faustini
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EXERCÍCIOS – SÉRIE 1 
ASSUNTO: PROBABILIDADES APLICADAS AO CONTROLE DE QUALIDADE
Controle de Qualidade
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I. Aplicações numéricas:
1.	A função de distribuição acumulada (ou função de repartição) de uma variável aleatória discreta X é F(x) tal que F(7) = 0,2; F(8) = 0,2 e F(9) = 0,7. Obtenha as seguintes probabilidades:
	1.1	P{X > 7}
	1.2	P{X = 8}
	1.3	P{X = 9}
	1.4	P{X < 9}
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Função de distribuição acumulada
Sendo X uma variável aleatória e a um número real, tem-se:
F(a) = P{X  a}
X
a
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I. Aplicações numéricas:
1.	A função de distribuição acumulada (ou função de repartição) de uma variável aleatória discreta X é F(x) tal que F(7) = 0,2; F(8) = 0,2 e F(9) = 0,7. Obtenha as seguintes probabilidades:
	1.1	P{X > 7}
	1.2	P{X = 8}
	1.3	P{X = 9}
	1.4	P{X < 9}
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I. Aplicações numéricas:
2.	X é uma variável aleatória normalmente distribuída cuja média é m e cujo desvio-padrão é s. Obtenha as seguintes probabilidades:
	2.1	P{X < m}
	2.2	P{m - s < X < m + s}
	2.3	P{m – 1,96s < X < m + 1,96s}
	2.4	P{m – 3s < X < m + 3s}
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Variável aleatória normal
X é uma variável aleatória normal, com parâmetros m e s2, se sua função densidade de probabilidade é dada por:
Expectância:
Variância:
Desvio-padrão:
x
f(x)
m
m-3s
m+3s
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3.23 Variável aleatória normal
z =
s
µ-3s
µ-2s
µ-s
µ
µ+s
µ+2s
µ+3s
µ+4s
N(µ, s2)
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x - µ
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3.23 Variável aleatória normal
Uso de tabelas:
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3.23 Variável aleatória normal
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3.23 Variável aleatória normal
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I. Aplicações numéricas:
2.	X é uma variável aleatória normalmente distribuída cuja média é m e cujo desvio-padrão é s. Obtenha as seguintes probabilidades:
	2.1	P{X < m}
	2.2	P{m - s < X < m + s}
	2.3	P{m – 1,96s < X < m + 1,96s}
	2.4	P{m – 3s < X < m + 3s}
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I. Aplicações numéricas:
2.	X é uma variável aleatória normalmente distribuída cuja média é m e cujo desvio-padrão é s. Obtenha as seguintes probabilidades:
	2.1	P{X < m}
	2.2	P{m - s < X < m + s}
	2.3	P{m – 1,96s < X < m + 1,96s}
	2.4	P{m – 3s < X < m + 3s}
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I. Aplicações numéricas:
2.	X é uma variável aleatória normalmente distribuída cuja média é m e cujo desvio-padrão é s. Obtenha as seguintes probabilidades:
	2.1	P{X < m}
	2.2	P{m - s < X < m + s}
	2.3	P{m – 1,96s < X < m + 1,96s}
	2.4	P{m – 3s < X < m + 3s}
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
x
f(x)
99,73%
95,45%
68,27%
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.1 Obtenção de, no máximo, duas peças defeituosas em uma amostra aleatória de dez peças extraídas da produção de uma máquina cuja fração defeituosa média é 0,08.
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3.18 Variável aleatória binomial
Função massa de probabilidade
n
x
(
)
P{X = x} = px qn-x
x = 0, 1, ..., n
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3.18 Variável aleatória binomial
Expectância: E[X] = np
Variância: V[X] = s2 = npq
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.1 Obtenção de, no máximo, duas peças defeituosas em uma amostra aleatória de dez peças extraídas da produção de uma máquina cuja fração defeituosa média é 0,08.
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.1 Obtenção de, no máximo, duas peças defeituosas em uma amostra aleatória de dez peças extraídas da produção de uma máquina cuja fração defeituosa média é 0,08.
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.2	Obtenção de, no máximo, duas peças defeituosas em uma amostra aleatória de dez peças extraídas, sem reposição, de um lote no qual existem 8 peças defeituosas e 92 perfeitas.
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3.17 Variável aleatória hipergeométrica
N-r
n-k
(
P{X = k} =
)
(
)
N
n
k = 0, 1, ..., n
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3.17 Variável aleatória hipergeométrica
Expectância: E[X] = np p = r/N
Variância: V[X] = s2 = np(1-p)
N - n
N - 1
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.2	Obtenção de, no máximo, duas peças defeituosas em uma amostra aleatória de dez peças extraídas, sem reposição, de um lote no qual existem 8 peças defeituosas e 92 perfeitas.
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.2	Obtenção de, no máximo, duas peças defeituosas em uma amostra aleatória de dez peças extraídas, sem reposição, de um lote no qual existem 8 peças defeituosas e 92 perfeitas.
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.3	Ocorrência do evento descrito no item 3.1, usando a aproximação de Poisson, ou seja, considerando que a variável aleatória tenha distribuição de Poisson, com média igual àquela que foi usada no item 3.1.
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l e
k
-l
k!
Variável aleatória de Poisson
k = 0, 1, ...
Função massa de probabilidade
 P {X = k} =
Expectância: E[X] = l 
Variância: V[X] = l
Observação: E[X] = V[X]
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3.14 Variável aleatória binomial
Função massa de probabilidade
Expectância: E[X] = np 
Variância: V[X] = s2 = npq
Observação:
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Aproximação de Poisson para a distribuição binomial:
Condições:
n grande
p pequeno
Muitas condições de ocorrência e baixa probabilidade
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.1 Obtenção de, no máximo, duas peças defeituosas em uma amostra aleatória de dez peças extraídas da produção de uma máquina cuja fração defeituosa média é 0,08.
3.3	Ocorrência do evento descrito no item 3.1, usando a aproximação de Poisson, ou seja, considerando que a variável aleatória tenha distribuição de Poisson, com média igual àquela que foi usada no item 3.1.
Controle de Qualidade
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.1 Obtenção de, no máximo, duas peças defeituosas em uma amostra aleatória de dez peças extraídas da produção de uma máquina cuja fração defeituosa média é 0,08.
3.3	Ocorrência do evento descrito no item 3.1, usando a aproximação de Poisson, ou seja, considerando que a variável aleatória tenha distribuição de Poisson, com média igual àquela que foi usada no item 3.1.
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades de:
3.4	Ocorrência de valores, no intervalo limitado pela média menos o desvio-padrão e pela média mais o desvio-padrão (ou seja, no intervalo média mais ou menos o desvio-padrão), para a vida útil de uma peça cuja distribuição é exponencial.
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3.17 Variável aleatória exponencial
X é uma variável aleatória exponencial, com parâmetro l, se sua função densidade de probabilidade é dada por:
		f(x) = le-x , x  0,
	 = 0, x < 0 
Expectância: E[X] = 1/l
Variância: V[X] = 1/l2
Aplicações:
duração de eventos, vida útil, análise de confiabilidade.
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I. Aplicações numéricas:
3.	Calcule as probabilidades
de:
3.4	Ocorrência de valores, no intervalo limitado pela média menos o desvio-padrão e pela média mais o desvio-padrão (ou seja, no intervalo média mais ou menos o desvio-padrão), para a vida útil de uma peça cuja distribuição é exponencial.
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I. Aplicações numéricas:
Observação – propriedade da distribuição exponencial
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I. Aplicações numéricas:
4.	Uma certa máquina produz artigos que apresentam a fração defeituosa média igual a 0,03. Entre todos os 300 artigos produzidos em cada hora, um inspetor de Controle da Qualidade escolhe uma amostra de 10 artigos e, se encontrar dois ou mais defeituosos, interrompe o funcionamento da máquina para manutenção.
4.1	Calcule a probabilidade da máquina sofrer manutenção em uma determinada hora, usando a distribuição aproximada que melhor se adapta à situação descrita.
4.2	Qual é a probabilidade do inspetor acusar necessidade de manutenção somente na oitava hora de funcionamento da máquina?
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I. Aplicações numéricas:
5. Uma variável aleatória tem distribuição normal, com variância igual a 14,0625. Se a probabilidade é 0,9961 de que essa variável aleatória tenha um valor menor que 145,6, qual é a probabilidade dela ter um valor compreendido entre 125,8 e 129,0?
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I. Aplicações numéricas:
5. Uma variável aleatória tem distribuição normal, com variância igual a 14,0625. Se a probabilidade é 0,9961 de que essa variável aleatória tenha um valor menor que 145,6, qual é a probabilidade dela ter um valor compreendido entre 125,8 e 129,0?
Controle de Qualidade
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I. Aplicações numéricas:
6.	Em cada dia de operação, duas máquinas A e B produzem 500 e 800 itens, com frações defeituosas iguais a 0,02 e 0,06, respectivamente. Da produção de um dia, selecionou-se aleatoriamente um item, verificando-se então que ele é defeituoso. Obtenha a probabilidade desse item defeituoso ter sido produzido pela máquina A.
A
B
D
D
D
D
500/1.300
800/1.300
0,02
0,98
0,06
0,94
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I. Aplicações numéricas:
7.	Uma variável aleatória contínua X tem distribuição de probabilidades simétrica em torno da média E[X] = 0 e sua função de repartição F(x) é tal que F(-1) = 0,1587. Calcule as seguintes probabilidades:
8.1	P{X < 1}
8.2	P{-1 < X < 1}
0,1587
0,1587
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I. Aplicações numéricas:
8.	Cinco relês que funcionam independentemente estão ligados em série, compondo um circuito. Em um certo instante, todos eles estão abertos e a probabilidade de cada relê fechar é 0,2. Calcule a probabilidade de não haver corrente entre os terminais do circuito nesse instante.
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I. Aplicações numéricas:
9.	Dois eventos A e B são independentes e suas probabilidades são respectivamente iguais a 0,4 e 0,3. Calcule:
	P(A È B)
	
	P(A çB)
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I. Aplicações numéricas:
10.	O Controle da Qualidade de uma peça é feito medindo-se duas dimensões, X e Y, que devem valer 8,000 e 10,000 cm, respectivamente. A tolerância para cada dimensão é ±0,02 cm. Sabe-se que a média da dimensão X é 8,003 cm e a da dimensão Y é 10,005 cm. O desvio-padrão é 0,008 cm para a dimensão X e 0,01 cm para a dimensão y. Considere que as medidas das duas dimensões sejam variáveis aleatórias normais independentes e obtenha o percentual de não-conformidades, ou seja, de peças produzidas fora da tolerância especificada:
	
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I. Aplicações numéricas:
C = número de defeitos de construção
A = número de defeitos de acabamento
11.	Os números de defeitos de construção e de acabamento em cada unidade habitacional construída por uma empresa são variáveis aleatórias de Poisson, com médias respectivamente iguais a 1,2 e 0,8. Calcule a probabilidade de que uma unidade habitacional qualquer construída por essa empresa:
	11.1 Tenha algum defeito.
	11.2 Tenha, no máximo, um defeito de cada tipo.
	
...
...
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I. Aplicações numéricas:
C = número de defeitos de construção
A = número de defeitos de acabamento
11.	Os números de defeitos de construção e de acabamento em cada unidade habitacional construída por uma empresa são variáveis aleatórias de Poisson, com médias respectivamente iguais a 1,2 e 0,8. Calcule a probabilidade de que uma unidade habitacional qualquer construída por essa empresa:
	11.1 Tenha algum defeito.
	11.2 Tenha, no máximo, um defeito de cada tipo.
	
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I. Aplicações numéricas:
C = número de defeitos de construção
A = número de defeitos de acabamento
11.	Os números de defeitos de construção e de acabamento em cada unidade habitacional construída por uma empresa são variáveis aleatórias de Poisson, com médias respectivamente iguais a 1,2 e 0,8. Calcule a probabilidade de que uma unidade habitacional qualquer construída por essa empresa:
	11.1 Tenha algum defeito.
	11.2 Tenha, no máximo, um defeito de cada tipo. 
	11.3 Tenha, no máximo, um defeito.
	
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II.	Verificação de Conceitos:
12.	A probabilidade de uma variável aleatória contínua X assumir um valor igual à sua média é:
A.	0,5, se ela for simétrica
B.	0,5, mesmo que ela não seja simétrica
C.	0,5, se ela for normal
D.	dada pela integral de sua função densidade de probabilidade no intervalo entre zero e a média
E.	zero
 
12.	A probabilidade de uma variável aleatória contínua X assumir um valor igual à sua média é:
A.	0,5, se ela for simétrica
B.	0,5, mesmo que ela não seja simétrica
C.	0,5, se ela for normal
D.	dada pela integral de sua função densidade de probabilidade no intervalo entre zero e a média
E.	zero
 
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II.	Verificação de Conceitos:
13.	Assinale a alternativa correta
A.	Se dois eventos são independentes, a probabilidade da sua união é a soma das suas probabilidades
B.	Se dois eventos são excludentes, a probabilidade da sua interseção é o produto das suas probabilidades
C.	Se dois eventos são independentes, a probabilidade da sua união é igual à soma das suas probabilidades, menos o produto das suas probabilidades
D.	Se dois eventos são excludentes, a probabilidade da sua união é menor que a soma das suas probabilidades
E.	Se dois eventos são independentes, a probabilidade da sua interseção é zero
 
13.	Assinale a alternativa correta
A.	Se dois eventos são independentes, a probabilidade da sua união é a soma das suas probabilidades
B.	Se dois eventos são excludentes, a probabilidade da sua interseção é o produto das suas probabilidades
C.	Se dois eventos são independentes, a probabilidade da sua união é igual à soma das suas probabilidades, menos o produto das suas probabilidades
D.	Se dois eventos são excludentes, a probabilidade da sua união é menor que a soma das suas probabilidades
E.	Se dois eventos são independentes, a probabilidade da sua interseção é zero
 
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II.	Verificação de Conceitos:
14.	Assinale a alternativa correta:
A.	O valor da qualidade sempre aumenta, independentemente do comportamento dos consumidores
B.	O custo e o valor da qualidade guardam entre si uma relação estável, independente de quaisquer características do mercado
C.	Os custos referentes aos programas de melhoria da qualidade devem ser classificados como “Custos de Avaliação”, em vez de “Custos de Prevenção”
D.	Geralmente, junto com aumentos nos custos de avaliação e prevenção, ocorrem aumentos nos custos de falhas
E.	Nem todos os custos de falhas externas podem ser facilmente avaliados de maneira quantitativa
14.	Assinale a alternativa correta:
A.	O valor da qualidade sempre aumenta, independentemente do comportamento dos consumidores
B.	O custo e o valor da qualidade
guardam entre si uma relação estável, independente de quaisquer características do mercado
C.	Os custos referentes aos programas de melhoria da qualidade devem ser classificados como “Custos de Avaliação”, em vez de “Custos de Prevenção”
D.	Geralmente, junto com aumentos nos custos de avaliação e prevenção, ocorrem aumentos nos custos de falhas
E.	Nem todos os custos de falhas externas podem ser facilmente avaliados de maneira quantitativa
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II.	Verificação de Conceitos:
15.	Entre as distribuições de probabilidade indicadas a seguir, marque qual delas você escolheria como hipótese para representar a vida útil de um equipamento:
A.	Binomial
B.	Poisson
C.	Geométrica
D.	Exponencial
E.	Hipergeométrica
15.	Entre as distribuições de probabilidade indicadas a seguir, marque qual delas você escolheria como hipótese para representar a vida útil de um equipamento:
A.	Binomial
B.	Poisson
C.	Geométrica
D.	Exponencial
E.	Hipergeométrica
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II.	Verificação de Conceitos:
16.	O “Ciclo PDCA de Controle” é um:
A.	Sistema de avaliação da qualidade de um produto ou serviço
B.	Método para avaliação da produtividade de uma empresa
C.	Objetivo a ser alcançado
D.	Método gerencial
E.	Sistema de análise do processo e proposição de padrões
16.	O “Ciclo PDCA de Controle” é um:
A.	Sistema de avaliação da qualidade de um produto ou serviço
B.	Método para avaliação da produtividade de uma empresa
C.	Objetivo a ser alcançado
D.	Método gerencial
E.	Sistema de análise do processo e proposição de padrões
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II.	Verificação de Conceitos:
17.	Assinale a alternativa certa:
A.	É importante para o consumidor saber se a má qualidade de um produto refere-se à qualidade do projeto ou à qualidade de conformação
B.	A boa qualidade de conformação é obtida quando se pode fazer uma boa pesquisa de mercado
C.	Para se ter garantia da qualidade, basta implantar um bom sistema de Controle Estatístico da Qualidade
D.	A única maneira de aumentar a produtividade é reduzindo custos
E.	Nas empresas do tipo “serrote”, ocorrem perdas das melhorias obtidas, devido a falta de sistematização dos processos
17.	Assinale a alternativa certa:
A.	É importante para o consumidor saber se a má qualidade de um produto refere-se à qualidade do projeto ou à qualidade de conformação
B.	A boa qualidade de conformação é obtida quando se pode fazer uma boa pesquisa de mercado
C.	Para se ter garantia da qualidade, basta implantar um bom sistema de Controle Estatístico da Qualidade
D.	A única maneira de aumentar a produtividade é reduzindo custos
E.	Nas empresas do tipo “serrote”, ocorrem perdas das melhorias obtidas, devido a falta de sistematização dos processos
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II.	Verificação de Conceitos:
18.	Quanto à Qualidade de Conformação, é errado afirmar:
A.	A qualidade de conformação refere-se à fidelidade da execução ao projeto
B.	As causas da qualidade de conformação são as variáveis do processo produtivo (qualidade da mão-de-obra, supervisão, máquinas e ferramentas) e a infra-estrutura industrial
C.	Interessa ao produtor se a causa de uma possível má qualidade do produto deve-se à má qualidade do projeto ou à de conformação
D.	Um produto de boa qualidade de conformação permite o atendimento das necessidades do consumidor
E.	A boa qualidade de um projeto não implica em boa qualidade de conformação
18.	Quanto à Qualidade de Conformação, é errado afirmar:
A.	A qualidade de conformação refere-se à fidelidade da execução ao projeto
B.	As causas da qualidade de conformação são as variáveis do processo produtivo (qualidade da mão-de-obra, supervisão, máquinas e ferramentas) e a infra-estrutura industrial
C.	Interessa ao produtor se a causa de uma possível má qualidade do produto deve-se à má qualidade do projeto ou à de conformação
D.	Um produto de boa qualidade de conformação permite o atendimento das necessidades do consumidor
E.	A boa qualidade de um projeto não implica em boa qualidade de conformação
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II.	Verificação de Conceitos:
19.	Quanto ao custo e ao valor da qualidade, assinale a afirmativa errada:
A.	O valor da qualidade depende do comportamento dos consumidores
B.	O valor da qualidade tende para um limite inferior, com o aumento da qualidade
C.	O custo da perfeição pode ser proibitivo
D.	O custo da qualidade cresce à medida que aumenta o nível da qualidade
E.	O lucro máximo não implica, obrigatoriamente, em maior nível da qualidade
19.	Quanto ao custo e ao valor da qualidade, assinale a afirmativa errada:
A.	O valor da qualidade depende do comportamento dos consumidores
B.	O valor da qualidade tende para um limite inferior, com o aumento da qualidade
C.	O custo da perfeição pode ser proibitivo
D.	O custo da qualidade cresce à medida que aumenta o nível da qualidade
E.	O lucro máximo não implica, obrigatoriamente, em maior nível da qualidade
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