Lista 8- Revisão 4 prova

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1 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍ-UESPI 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA-CCN 
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I -2014.1 
CARGA HORÁRIA: 90 HORAS 
PROFESSOR: AFONSO NORBERTO DA SILVA 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 8-REVISÃO1 
1) Qual o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz 
1 0 1
2 1 0
0 1 1
 
 
 
 
 
 ? 
 
2) Considere as matrizes 
3 0
A ,
0 1
 
  
 
 
0 3
B ,
8 0
 
  
 
 
x
X
y
 
  
 
 e 
2
2
x
Y .
y
 
  
  
 Se x e y são as soluções 
não nulas da equação 
0
A Y B X ,
0
 
     
 
 então quanto vale ? 
 
3) A matriz 
a
b
c
 
 
 
  
 é a solução da equação matricial AX M em que: 
1 2 5
A 0 1 4
0 0 3
 
 
  
  
 e 
28
M 15 .
9
 
 
  
  
 Então 2 2 2a b c  vale: 
 
 
4) Considere a matriz 
a 2a 1
A
a 1 a 1
 
  
  
 em que a é um número real. Sabendo que A admite 
inversa 1A cuja primeira coluna é 
2a 1
1
 
 
 
, qual a soma dos elementos da diagonal principal de 
1A ? 
 
2 1
A
5 3
 
  
 
 e  B 8 5 . Determinar o produto dos elementos da matriz X . 
 
 
5) Sejam A, B e C matrizes quadradas de ordem 2, tais que A . B = I , em que I é a matriz 
identidade. Determine a matriz X tal que A . X . A = C. 
 
6) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se A
t
 = -A. Nessas condições se a matriz A 
abaxio é uma matriz antissimétrica, então quanto vale x + y + z? 














zyzy
xyx
A
217313
701
332
2
2
 
 
 
 
 
x y
2 
 
7) Calcule os determinantes seguintes: 
a) 
2
1
1
 
5
0
3
1
2
2
 b) 
1 2 1 1 5
2 1 4 3 10
3 0 0 2 5
4 3 2 5 4
1 2 3 1 5


 
c) 
0
0
1
2
 
0
1
3
0
 
0
2
0
0
 
1
0
0
0
 d) 
8
4
2
1
 
27
9
3
1
125
25
5
1
 
343
49
7
1
 
8) Sendo A uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 4, qual o valor de x na 
equação det(2AA
t
) = 4x? 
9) Considere as matriz A = 















4000
1300
4220
3151
 e B = 
1 0 0 0
3 4 0 0
.
1 2 1 0
2 1 3 2
 
 
 
 
 
  
Qual o valor do determinante de 2B.A
-1
.
 
10) Se A = 



















1111
1111
1111
1111
2
1
nx
x
x





é uma matriz quadrada de ordem n, então qual o 
valor de detA? 
11) Considerando-se log 2 = 0,3, qual o valor do determinante abaixo? 
     
2 2 2
1 1 1
log4 log16 log400
log2 log4 log20
 
12) Resolva e classifique os sistemas seguintes: 
a) 








22
2
12
zyx
zyx
zyx
 b) 








022
232
12
tzyx
tyx
zyx
 c) 








10435
4453
223
zyx
zyx
zyx
 
d) 








11464573221342134
670213457322134
7866213421345732
zyx
zyx
zyx
 
3 
 
13) Determine para que valores de m e n o sistema 
2 3 1
2 4
3
x y z
x y z
x y mz n
  

  
   
 seja: 
a) indeterminado b) impossível 
14) Para se produzir 40 toneladas de concreto gasta-se o total de R$ 2.040,00 com areia, brita e 
cimento. Sabe-se que 15% da massa final do concreto é constituída de água e que o custo, por 
tonelada, de areia, é R$ 60,00, de brita, é R$ 30,00 e de cimento, é R$ 150,00. Qual é a razão 
entre as quantidades, em toneladas, de cimento e brita utilizadas na produção desse concreto? 
 
15(FATEC) Pelo fato de estar com o peso acima do recomendado, uma pessoa está fazendo o 
controle das calorias dos alimentos que ingere. Sabe-se que 3 colheres de sopa de arroz, 2 
almôndegas e uma porção de brócolis têm 274 calorias. Já 2 colheres de sopa de arroz, 3 
almôndegas e uma porção de brócolis têm 290 calorias. Por outro lado, 2 colheres de sopa de 
arroz, 2 almôndegas e 2 porções de brócolis têm 252 calorias. Se ontem seu almoço consistiu 
em uma colher de sopa de arroz, duas almôndegas e uma porção de brócolis, quantas calorias 
teve essa refeição? 
 
16) Determine p para que o sistema 








0
0
02
zypx
zpyx
zyx
 admita solução diferente de (0,0,0) se e 
somente se: 
 
 
17) Faça a discussão do sistema de equações 








322
122
2
zyx
zyax
bzyax
,onde a e b são números reais. 
18) O curso de Álgebra, no semestre passado, teve três provas. As questões valiam um ponto 
cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Pedro, que acertou 4 questões na primeira 
prova, 5 na segunda e 3 na terceira, obteve no final um total de 15 pontos. Joana acertou 3 na 
primeira, 4 na segunda e 4 na terceira prova, totalizando também 15 pontos. Por sua vez, 
Leandro acertou 5 na primeira, 5 na segunda e 2 na terceira prova, atingindo a soma de 14 
pontos no final. Já Fernando fez 4 questões certas na primeira prova, 6 na segunda e 3 na 
terceira. Qual foi o total de pontos de Fernando? 
 
19) Simplifique o número complexo 
25
1
.
1
i
i
 
 
 
 
20) Determine: 
a) 
3333i b) 1 + i +i2+i3+...+i1789. 
21) Determine os complexos z tais que 
1
1z
z
  . 
22) Considere o sistema: 
2 2 4 12
2 4
w z i
z w i
   

  
 , ,z w C , calcule o valor de z + w. 
4 
 
 
23) Dividindo-se um polinômio P(x) por x – 5 e x – 3 obtém-se 8 e 6, respectivamente, como 
resto, Qual o resto da divisão de P(x) pelo produto (x-5)(x-3)? 
24) O polinômio p(x) = x
3
 - 2x
2
 - 5x + d, é divisível por (x - 2). 
a) Determine d. 
b) Calcule as raízes de p(x) = 10. 
25) Considere os polinômios: 
2 5 3 3( ) ( 9) 2 4 e ( ) 3 2 4P x k x kx x Q x x x         . 
a) Determine o polinômio P(x) + Q (x). 
b) Discuta em função de k os possíveis valores do grau do polinômio P(x) + Q(x). 
26) Dividindo o polinômio E(x) pelo polinômio D(x) = 2x
2
 – 1, obtemos o quociente 
Q(x) = 2x
2
 – 1 e o resto R(x) = x + 2. Determine E(x). 
27) Considere o polinômio p(x) = x
4
 + 2x
3
 + 3x
2
 + 2x + 2. 
a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x). 
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x). 
28) Duas raízes da equação polinomial x
4
 – 5x
3
 + 9x
2
 – 7x + 2 = 0 são o número 1 e o número 2. 
Determine as outras raízes dessa equação. 
29) Dado equação polinomial (x – 4)
5
(x – 6)
2
(x – 9) = 0, determine: 
a) o conjunto solução. 
b) a multiplicidade de cada raiz. 
c) o grau. 
30) Resolva as equações em C: 
a) x
4
 – x
3
 – x
2
 – x – 2 = 0 
b) x
4
 – x
3
 – 2x – 4 = 0 
c) x
5
 + 3x
4
 + x
3
 – 5x
2
 – 6x – 2 = 0 
d) 6x
4
 + 35x
3
 + 62x
2
 + 35x + 6 = 0 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
GABARITO 
 
1) 
2
3
 2) 8 3) a
2
 + b
2
 + c
2
 = 7
2
 + 3
2
 + 3
2
 = 67. 
 
4) 5 5) . .X B C B 6) -6 
7.a)-9 b)0 c)12 d)240 (use Vandermonde) 
8) 32 9) 
3
16
 10) 
1 2... 11) 0,42nx x x 
12.a) SPD (-11, -6, -3) b) SPI (-12-13, -11-11, , 5+5) c) Impossível d) 
SPD(1,-1,2) 
13.a) m = 3 e n = 11/2 b) m = 3 e n ≠ 11/2 13) 1/3 14) 186 
16) p = 0 ou p = -1 17) : 2; : 2 2, 3, : 2, 3SPD a SPI b SI a b     
18) 16 19) -1 20.a)-i b)1 + i 21) 
1 3
 22) z + w = 2 - 2i
2 2
i

 
23) r = x + 3 24.a) d = 10 
) 0, 1 6b x x  
 
25.a)(k
2
-9)x
5
+(k-3)x
3
+4x+8 b) 3k   , gr(P+Q)=5; k=-3, gr(P+Q)=3 e k=3, gr(P+Q)=1 
26)E(x)=4x
4
-4x
2
+x+3 27.a) i é raiz da equação b) i, -i, -1 – i, -1 + i 
28) outras raízes:1 e 1 
29.a) S = {4,6,9} b)As raízes 4,6 e 9 tem multiplicidade 5,2 e 1 respectivamente. c) 8º 
grau 
12.a) S = {-1,2,i,-i} b)S =  1,2, 2i  
12.c) S =  1, 2, 2  12.d) S = {-1/2,-2,-1/3,-3}