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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas / WhatsAPP: 51 991875503 Visite meu perfil e/ou meu grupo no site Passei Direto, confira mais questões ou deixe alguma no grupo para ser resolvida: Perfil - https://www.passeidireto.com/perfil/tiago-pimenta/ Grupo - https://www.passeidireto.com/grupos/109427150/publicacoes Determine uma base para o espaço vetorial e sua dimensão: H H = x, y, z ∈ R : 3x + y - z = 0( ) 3 Resolução: Primeiro, vamos isolar o na lei de formação do espaço ;y H 3x + y - z = 0 y = -3x + z→ Com isso, um vetor no espaço vetorial pode ser dado por;H x, y, z = x, -3x + z, z( ) ( ) Usando propriedades vetoriais, podemos reescrever o resultado de 1 como; x, y, y - x = x, -3x, 0 + 0, z, z( ) ( ) ( ) Colocando e em evidência no resultado do segundo membro de 2, temos que;x z x, -3x, 0 + 0, z, z = x 1, -3, 0 + z 0, 1, 1( ) ( ) ( ) ( ) Veja que no segundo membro resultado de 3 (acima) formamos 2 vetores: 1, -3, 0 e 0, 1, 1( ) ( ) Esses vetores são linearmente independentes (L.I.), já que não há escalar que faça um 𝜆 dos vetores ser escrito como combinação linear do outro; 𝜆 1, -3, 0 = 0, 1, 1 1𝜆, -3𝜆, 0𝜆 = 0, 1, 1( ) ( ) → ( ) ( ) (1) (2) (3) Então, temos o seguinte sistema; 1𝜆 = 0 -3𝜆 = 1 0𝜆 = 1 Veja que na terceira equação do sistema a igualdade é impossível, já que não existe 𝜆 ∈ R que satisfaça tal condição, assim, podemos concluir que o conjunto formado pelos 2 vetores é L.I., com isso, esses vetores podem formar uma base para o espaço vetorial ;H B = 1, -3, 0 , 0, 1, 1 de dimensão 2H {( ) ( )} (4) (Resposta)