AULA 2 ONDAS MECÂNICAS

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Prof. Cristiano Cruz
Física – Termodinâmica e Ondas 
Aula 2
Conversa Inicial
Uma consequência de um objeto que esteja 
vibrando, sofrendo oscilações, é a formação 
de uma onda mecânica
Ondas mecânicas
Onda periódica
Se o objeto vibrar em movimentos 
repetitivos periódicos, cada partícula do 
meio material atingida pela onda também 
sofrerá movimentos periódicos com a 
mesma frequência de oscilação da fonte 
que originou a perturbação
Ondas mecânicas
Comprimento de onda
Período e frequência
Amplitude
Velocidade de 
propagação
Função de 
onda
Prever o movimento de cada partícula do meio 
material sujeita ao movimento da onda
Ondas Mecânicas
2
O surgimento de uma onda mecânica se dá 
devido a perturbações do meio material. Esta 
perturbação fornece energia causando um 
desiquilíbrio na organização do meio. A 
mudança provocada propaga-se através do 
meio material carregando a energia fornecida 
na forma de uma onda
Ondas mecânicas
Direção de vibração das 
partículas do meio
Onda transversal
id
e
a
In
k
D
e
si
g
n
/
S
h
u
tt
e
rs
to
ck
Direção de propagação
Direção de vibração 
das partículas do meio
Direção de propagação
Onda longitudinal
Rodrigo Schaeffer/Shutterstock
Um objeto oscilando em movimentos 
repetitivos periódicos irá provocar o 
surgimento de uma onda mecânica periódica 
no meio material ao redor deste objeto. Cada 
partícula do meio material atingida pela onda 
também sofrerá movimentos periódicos com 
a mesma frequência de oscilação da fonte 
que originou a perturbação
Ondas periódicas
x
y Crista
A
V
X
Vale
𝛌
3
𝜆 – comprimento de onda 
Medida linear da distância entre duas cristas 
ou dois vales
T – período
Intervalo de tempo entre uma oscilação 
completa da onda e a próxima
𝑣 – velocidade de propagação 
Toda onda em um meio qualquer se propaga 
com uma determinada velocidade que depende 
do meio em que a onda se desloca
𝑓 – frequência 
Número de ondas completas que passam pelo 
mesmo ponto em um intervalo de tempo igual 
a um segundo estabelece a frequência da onda. 
A frequência da onda é dada em Hertz (Hz), 
que significa o número de ondas formadas por 
segundo
A – amplitude 
Distância média do deslocamento das 
partículas do meio material da sua posição de 
equilíbrio até seu deslocamento máximo 
quando sujeitas à onda
A relação entre as grandezas da onda, como 
o comprimento de onda (𝜆), a velocidade de 
propagação da onda (𝑣) e a frequência (𝑓) é 
dada por
A velocidade da onda é igual ao produto do 
comprimento de onda pela frequência de 
oscilação das partículas do meio
𝒗 = 𝝀. 𝒇
Descrição Matemática das Ondas
Para descrever o comportamento da onda e o 
seu movimento detalhadamente, precisamos 
determinar a posição e o movimento de cada 
partícula do meio material em função do 
tempo durante a passagem da onda
Equação de onda
-A
y
+A
x
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Tempo
x
y
O formato da corda quando uma onda 
transversal se propaga por ela é semelhante 
ao gráfico da função seno ou cosseno
Função de onda: onda senoidal
y
x
+1
-1
0
Gráfico da função seno
𝜋
2
3𝜋
2 2𝜋𝜋
Gráfico da função cosseno
y
x
+1
-1
0
𝜋
2
3𝜋
2
2𝜋
𝜋
Na função seno ou cosseno, os valores 
variam entre -1 e +1 e se repetem a cada
2𝜋 unidades 
Isso sugere que a função de onda que 
descreve o movimento da onda é uma função 
do tipo senoidal
Função de onda: onda senoidal
O deslocamento y de uma partícula da corda 
localizada na posição x para um tempo 𝒕, 
sujeita a uma onda senoidal propagando-se 
no sentido +x, será dado por
𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
A – amplitude da onda
𝒌 – número de onda
𝝎 – frequência angular da onda
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Para calcular o valor de k, deve-se utilizar a 
seguinte relação
𝒌 =
𝟐𝝅
𝝀
Unidade 𝒓𝒂𝒅
𝒎
k – número de onda y
x
Para determinado instante de tempo
𝛌y
+A
-A
X
-A
y
+A
x
Para determinada coordenada x
Período Ty
+A
-A
t
Quando a onda periódica se propaga no 
sentido negativo do eixo x
-A
y
+A
x
𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 + 𝝎𝒕+
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Fase da onda
𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕𝒌𝒙 − 𝝎𝒕±
𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Derivando ambos os lados da equação em 
relação ao tempo, obtemos
𝒅 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝒅𝒕
=
𝒅 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒅𝒕
𝒅 𝒌𝒙
𝒅𝒕
−
𝒅 𝝎𝒕
𝒅𝒕
= 𝟎
𝒌 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
− 𝝎
𝒅𝒕
𝒅𝒕
= 𝟎
𝒌 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
= 𝝎
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
=
𝝎
𝒌
Como 𝒅 𝒙
𝒅𝒕
é a velocidade da onda 𝒗, chamada 
de velocidade de fase
𝒗 =
𝝎
𝒌
 = 
𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓
𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒐𝒏𝒅𝒂
Velocidade e aceleração de uma partícula do 
meio material oscilando por uma onda 
senoidal
-A
y
+A
x
A velocidade da partícula no eixo y 
𝒗
𝒚
(𝒙, 𝒕)
será determinada pela derivada parcial da 
função de onda em relação ao tempo
𝒗𝒚(𝒙, 𝒕) = 
𝝏𝒚(𝒙,𝒕)
𝝏𝒕
7
𝒗𝒚 𝒙, 𝒕 = 
𝝏 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝝏𝒕
= 𝝎 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝒗𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝝎 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝒗𝒚 𝒎á𝒙 𝒙, 𝒕 = 𝝎 𝑨
A aceleração da partícula no eixo y 
𝒂𝒚(𝒙, 𝒕)
será a derivada parcial de segunda ordem na 
equação de posição em função do tempo para 
onda senoidal
𝒂𝒚 𝒙, 𝒕 =
𝝏𝟐𝒚 𝒙,𝒕
𝝏𝒕𝟐
𝒂𝒚 𝒙, 𝒕 = 
𝝏 𝝎 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝝏𝒕
= − 𝝎𝟐𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝒂𝒚 𝒙, 𝒕 = − 𝝎
𝟐𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝒂𝒚 𝒎á𝒙 𝒙, 𝒕 = 𝝎
𝟐 𝑨
Energia no Movimento Ondulatório
Uma das características de qualquer onda é 
que, durante sua propagação, ela transporta 
apenas energia e nunca matéria, portanto, 
todo movimento ondulatório possui uma 
determinada energia associada a ele
À medida que a onda se propaga, uma porção 
do meio exerce força nas partículas 
adjacentes e realiza um trabalho sobre elas, 
possibilitando a propagação da onda através 
do meio e carregando a energia fornecida de 
uma região para outra
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A força que desloca as partículas da corda 
realizando trabalho sobre elas
𝑭𝒚 𝒙, 𝒕 = − 𝑭 
𝝏𝒚 𝒙,𝒕
𝝏𝒙
Equação válida para qualquer onda se 
propagando em uma corda, senoidal ou não
Para onda senoidal, sendo a função de onda
𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
A derivada parcial em relação a x
𝝏𝒚 𝒙,𝒕
𝝏𝒙
= −𝒌𝑨 𝐬𝐞𝐧 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
A força que desloca as partículas da corda 
realizando trabalho sobre elas será
𝑭𝒚 𝒙, 𝒕 = 𝑭 𝒌 𝑨 𝐬𝐞𝐧 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝑷 𝒙, 𝒕 = 𝑭𝒌𝝎𝑨𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
Substituindo 𝒌 = 𝝎
𝒗
e 𝒗 = 𝑭
𝝁
 
, obteremos
𝑷 𝒙, 𝒕 = 𝝁𝑭  𝝎𝟐𝑨𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕
𝑷𝒎á𝒙 𝒙, 𝒕 = 𝝁𝑭
  𝝎𝟐𝑨𝟐
𝑷𝒎é𝒅 𝒙, 𝒕 =
𝟏
𝟐
𝝁𝑭  𝝎𝟐𝑨𝟐
Potência da onda senoidal propagando-se 
em uma corda – 𝑷 𝒙, 𝒕
A intensidade da onda é igual à potência 
média transportada pela onda, pela unidade 
de área, que essa onda transpassa
𝑰 =
𝑷𝒐𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
Aplica-se esse conceito em ondas que se 
propagam em três dimensões (ex.: ondas 
sonoras)
Intensidade da onda
Fonte de Onda
Potência média
Esfera de Raio R
R
𝑰 =
𝑷𝒐𝒕ê𝒏𝒄𝒊𝒂
Á𝒓𝒆𝒂
𝑰 = 
𝑷
𝟒𝝅𝑹𝟐
R2
R1
Lei do inverso do quadrado para 
intensidade
Intensidade em R1 Intensidade em R2
𝑰𝟏 = 
𝑷
𝟒𝝅𝑹𝟏
𝟐
𝑰𝟐 = 
𝑷
𝟒𝝅𝑹𝟐
𝟐
𝑰𝟏𝟒𝝅𝑹𝟏
𝟐 = 𝑰𝟐𝟒𝝅𝑹𝟐
𝟐
𝑰𝟏
𝑰𝟐
= 
𝑹𝟐
𝟐
𝑹𝟏
𝟐
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Quando duas ondas ou mais se encontram 
propagando-se no mesmo meio e no mesmo 
local, estas ondas sofrem um fenômeno 
ondulatório chamado de interferência
Interferência de ondas e princípio da 
superposição
Interferência destrutiva
Pulsos de onda não sofreram a superposição
Pulsos de ondas superpostos
Pulsos de ondas após superposição
1
2
1
2
Interferência construtiva 
1
2
1
2
Pulsos de onda não sofreram a superposição
Pulsos de ondas superpostos
Pulsos de ondas após superposição
Ondas Sonoras
As ondas sonoras são definidas como ondas 
mecânicas longitudinais
Podem ser geradas mecanicamente, pois 
qualquer objeto que vibra é uma fonte de 
som
Normalmente propagam-se em três 
dimensões a partir da fonte
Para este estudo, iremos considerar que a 
onda sonora seja uniforme e desloque-se em 
um meio material homogêneo, dessa forma, 
podemos escolheruma única direção de 
propagação para estudar o comportamento 
desta onda
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Onda Sonora
x
y
0
-A +A
x
0
A função de onda é dada por
𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕)
A – amplitude da onda, também chamada de 
amplitude de deslocamento
É o deslocamento máximo da partícula 
selecionada a partir da posição de equilíbrio, 
está relacionada com o volume do som
A velocidade de propagação de uma onda 
sonora depende do meio material onde ele se 
propaga e da sua temperatura
Ar atmosférico a 0 oC; 𝒗 = 𝟑𝟑𝟎 𝒎
𝒔
Ar atmosférico a 20 oC; 𝒗 = 𝟑𝟒𝟎 𝒎
𝒔
Água a 20 oC; 𝒗 = 𝟏𝟒𝟓𝟎 𝒎
𝒔
Velocidade das ondas sonoras
A velocidade de propagação de um pulso 
ondulatório longitudinal em um fluido 
depende apenas do módulo de compressão 
do fluido e da densidade do meio
𝒗 = 
𝑩
𝝆
 
Esta equação é válida para toda onda 
longitudinal se propagando em um fluido, 
como a velocidade do som no ar ou na água
Intensidade e Nível de Intensidade 
Sonora
A intensidade I de uma onda sonora é a taxa 
temporal média com a qual a energia é 
transferida pela onda, por unidade de área. 
Para uma fonte sonora pontual no centro de 
uma esfera de raio r a intensidade sonora, 
será
𝑰 = 
𝑷
𝟒𝝅𝒓𝟐
Intensidade de uma onda sonora senoidal 
em um fluido
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Intensidade de uma onda sonora senoidal em 
termos da amplitude de deslocamento A
𝑰 = 
𝟏
𝟐
𝝆𝑩  𝝎𝟐𝑨𝟐
O ouvido humano é sensível para um 
intervalo de intensidade sonoras muito 
grande
𝟏. 𝟏𝟎 𝟏𝟐
𝑾
𝒎𝟐
-------- 𝟏𝟎𝟎 𝑾
𝒎𝟐
Usaremos uma escala logarítmica para definir 
a intensidade sonora chamada escala decibel, 
representada por 𝜷
Escala decibel
O nível da intensidade sonora 𝜷 é a medida 
logarítmica de sua intensidade, medida em 
relação a I0 uma intensidade arbitrária de 
referência definida como 𝑰𝒐 = 𝟏. 𝟏𝟎 𝟏𝟐
𝑾
𝒎𝟐
, valor 
perto do limiar da audição humana
O nível da intensidade sonora é expresso em 
decibel (dB), pela relação
𝜷 = 𝟏𝟎 𝒅𝑩 𝒍𝒐𝒈
𝑰
𝑰𝒐
0
decibéis
20
decibéis
40
decibéis
60
decibéis
80
decibéis
100
decibéis
120
decibéis
140
decibéis
L
im
it
e
 d
a
 
a
u
d
iç
ã
o
 
h
u
m
a
n
a
C
o
c
h
ic
h
a
r
Á
re
a
 
re
si
d
e
n
ci
a
l 
à
 n
o
it
e
E
sc
ri
tó
ri
o
A
sp
ir
a
d
o
r 
d
e
 p
ó
C
o
n
ce
rt
o
 d
e
 
ro
ck
A
v
iã
o
 a
 j
a
to
L
im
it
e
 d
a
 
d
o
r
Fonte: Cruz (2021)
Intensidade sonora de diversos tipos de 
fonte