MATEMÁTICA - FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

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FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de
distâncias envolvendo triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o
conhecimento adquirido em trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia,
determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do
sistema solar. Atualmente a trigonometria também é bastante utilizada e para
compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos.
Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos.
A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo
reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os
ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são
essas relações.
O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a
hipotenusa.
𝑠𝑒𝑛 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e
a hipotenusa.
cos =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o seno e o cosseno,
ou o cateto oposto e o cateto adjacente.
𝑡𝑔 =
𝑠𝑒𝑛
𝑐𝑜𝑠
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o
triângulo retângulo abaixo:
PARA O ÂNGULO  : 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑎
𝑐
cos 𝛼 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑐
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑎
𝑏
PARA O ÂNGULO :
𝑠𝑒𝑛 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑏
𝑐
cos  =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑎
𝑐
𝑡𝑔 =
𝑠𝑒𝑛
cos 
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
=
𝑏
𝑎
AS RELAÇÕES INVERSAS:
COSSECANTE – cossec: É o inverso do seno.
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 =
1
𝑠𝑒𝑛
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
SECANTE – sec: É o inverso do cosseno.
𝑠𝑒𝑐 =
1
𝑐𝑜𝑠
=
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
COTANGENTE – cotg: É o inverso da tangente.
𝑐𝑜𝑡𝑔 =
1
𝑡𝑔
=
𝑐𝑜𝑠
𝑠𝑒𝑛
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS.
Os problemas envolvendo trigonometria são resolvidos através da comparação com
triângulos retângulos. Mas no cotidiano geralmente não encontramos tamanha
facilidade, algumas situações envolvem triângulos acutângulos ou triângulos
obtusângulos. Nesses casos necessitamos do auxílio da lei dos senos ou dos
cossenos.
A) LEI DOS SENOS.
A lei dos senos estabelece relações entre as medidas dos lados com os senos dos
ângulos opostos aos lados. Observe:
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛𝐶
B) LEI DOS COSSENOS
Nos casos em que não podemos aplicar a lei dos senos, temos o recurso da lei dos
cossenos. Ela nos permite trabalhar com a medida de dois segmentos e a medida de
um ângulo. Dessa forma, se dado um triângulo ABC de lados medindo a, b e c, temos:
a² = b² + c² - 2 * b * c * cos A
b² = a² + c² - 2 * a * c * cos B
c² = a² + b² - 2 * a * b * cos C
TABELA DAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO.
A medida de um arco no círculo trigonométrico pode ser dada em grau (°) ou radiano (rad).
• 1° corresponde a 1/360 da circunferência. A circunferência é dividida em 360 partes iguais ligadas
ao centro, sendo que cada uma delas apresenta um ângulo que corresponde a 1°.
• 1 radiano corresponde à medida de um arco da circunferência, cujo comprimento é igual ao raio da
circunferência do arco que será medido.
Para auxiliar nas medidas, existem algumas relações entre graus e radianos que são
necessárias saber:
• 2π rad = 360°
• π rad = 180°
• π/2 rad = 90°
• π/3 rad = 60°
• π/4 rad = 45°
• π/6 rad = 30°
• 0 rad = 0o
No círculo trigonométrico, todos os ângulos estão no 1º quadrante (0o a 90o) e os
valores de sen, cos e tg, são listados apenas para eles, pois cada ângulo do 1º
quadrante, possui seu correspondente nos outros três quadrantes, veja a relação
entre os ângulos fundamentais em cada um dos quadrantes:
A) 0o, 90o, 180o, 270o e 360o.
0o (0 rad) e 360o (2π rad):
sen 360 = sen 0
cos 360 = cos 0
tg 360 = tg 0
0o (0 rad) e 180o (π rad):
sen 180 = sen 0
cos 180 = - cos 0
tg 180 = - tg 0
90o (π/2 rad) e 2700 (3π/2 rad):
sen 270 = - sen 90
cos 270 = cos 90
tg 270 = tg 90
B) DEMAIS ÂNGULOS NOTÁVEIS:
Os valores em módulo são iguais, modificam apenas o sinal.
VALORES DOS ÂNGULOS NOTÁVEIS: