Vol 01 - Exercícios 01 (2)

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EXERCÍCIOS - Material Vol.01 Números Naturais e Inteiros
Introdução ao Cálculo – Matemática-UFPA
Números Naturais e Inteiros
Aluno: Wanderson Matheus Silva de Miranda
Turma: Matemática 2023.2
1. Efetue o cálculo das seguintes expressões, respeitando as regras de hierarquia e as
propriedades das operações de soma e multiplicação.
a) seguimos a regra efetuando as multiplicações e depois as somas,4 + 5 * 6 + 7 * 2
da esquerda para a direita. 4 + 30 + 14 = 48
b) Resolvemos primeiro as operações de dentro dos(3 + 2)3 𝑥 (2 + 32) − (2 + 4)2
parênteses , em seguida resolvemos as potências.53 𝑥 11 − 62
125 𝑥 11 − 36 = 1339
c) Seguimos a regra de parênteses,
resolvendo do mais interno para o menos. . Aqui podemos usar a2 𝑥 − 66 + 13 𝑥 2
fatoração, .2𝑥(13 − 66) = − 106
d) . Seguimos as regras dos− 3 𝑥(1 + (3 − 2 𝑥 3)4 + (1 + 2 𝑥 2)3) 𝑥 (3 + (7 − 5 𝑥 2)2)
parênteses e potências. − 3𝑥207 𝑥 12 = − 7452
2. Quais das seguintes afirmativas são verdadeiras? De uma justificativa
para cada uma das suas respostas.
a. 21 é múltiplo de 4 .
Não, pois . Não há número inteiro que multiplicado por 4 seja igual a 21.21
4 = 5, 25
b. 21 é divisível por −7 .
Sim, pois , resultado inteiro, logo, temos que -7 é divisor de 21.21
−7 =− 3
c. todo número inteiro é múltiplo de 0 .
Não, pois zero não é divisor de inteiro algum, por definição, um divisor de inteiro deve ser
diferente de zero.
d. qualquer que seja o inteiro n, vale: n ÷ n = 1 .
Sim, pois como propriedade básica da divisão, temos que qualquer número inteiro dividido
por ele mesmo resultará em 1.
e. a soma de dois números ımpares é par.
Algebricamente temos um número ímpar sendo,
.𝑛, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑢𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑘, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 = 2𝑘 + 1
𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 í𝑚𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠, 𝑛 𝑒 𝑔, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑘 𝑒 𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠
𝑛 + 𝑔 = (2𝑘 + 1) + (2𝑙 + 1)
𝑛 + 𝑔 = 2𝑘 + 2𝑙 + 1 + 1
𝑛 + 𝑔 = 2(𝑘 + 𝑙) + 2
Sabendo que k e l são números inteiros e a soma de dois números inteiros sempre resultará em um
número inteiro, podemos substituir k e l por um inteiro qualquer w.
𝑛 + 𝑔 = 2𝑤 + 2, 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 ⇒ 𝑛 + 𝑔 = 2(𝑤 + 1)
Sabendo que w+1 é um número inteiro, logo, n+g é um múltiplo de 2, considerando a definição algébrica
de números pares, temos que n+g é par
f. o produto de dois números ımpares e ımpar.
Sim, pois quando multiplicamos (2p+1) x (2n+1), sendo p e n números inteiros, temos:
(2𝑝 + 1)𝑥(2𝑛 + 1) = 4𝑝𝑛 + 2𝑝 + 2𝑛 + 1
Logo, percebemos que todos são múltiplos de 2, menos o 1, portanto, para estes casos, o
produto sempre será ímpar (par+1)
g. a soma de um número ımpar com um número par é sempre ımpar.
Sim, pois a soma sempre irá adicionar um número par+1:
2𝑘 + 2𝑛 + 1, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑘 𝑒 𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠.
h. o produto de um número par por um número ımpar é sempre par.
Sim, está correto, pois ,(2𝑘) 𝑥 (2𝑛 + 1) = 4𝑘𝑛 + 2𝑘 , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑘 𝑒 𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠
percebemos que o resultado é um múltiplo de 2, logo, será par.
i. todo múltiplo de 3 e ımpar.
Não, alguns múltiplos de 3 são ímpares, como o 9 e o próprio 3, no entanto nem todos
são múltiplos de 2.
j. se n divide m, então m e múltiplo de n.
Sim, 𝑠𝑒 𝑚
𝑛 = 𝑘 ⇒ 𝑘 * 𝑛 = 𝑚
l. se m é múltiplo de n, então n divide m .
Sim, 𝑠𝑒 𝑚 = 𝑛 * 𝑘 ⇒ 𝑚
𝑛 = 𝑘
3. Determine:
a) O quociente e o resto da divisão de 321 por 5.
321 ÷ 5 = 64, 𝑟 = 1
5 ÷ 1 = 5, 𝑟 = 0
b) O quociente e o resto da divisão de −321 por 5.
- porém não entendi!321 ÷ 5 =− 64, 𝑟 =− 1 0 ≥ 𝑟 ≥ 𝑎 + 1
5 ÷− 1 =− 5, 𝑟 = 0
Lembre que no algoritmo de Euclides o resto deve ser um número natural menor que o divisor.
c) Dois números inteiros m e n, sabendo que a sua diferença m − n é
288 e o seu quociente é 5, isto é, m = 5n .
𝑚 − 𝑛 = 288 𝑒 𝑚 ÷ 𝑛 = 5
𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟, 𝑚 = 5𝑛; 𝑚 = 288 + 𝑛 
𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢í𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑐á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜, 𝑛𝑜 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑚 ⇒ 5𝑛 − 𝑛 = 288 ⇒ 𝑛 = 288
4 ⇒ 𝑛 = 72
d) Os números inteiros que divididos por 5 deixam resto = 3 .
Considerando o algoritmo euclidiano, temos que um número pode ser escrito da seguinte
forma , logo, podemos deduzir que o conjunto de números𝑏 = 𝑞𝑎 + 𝑟, 0 ≥ 𝑟 ≥ 𝑎 + 1
serão da seguinte natureza 5𝑎 + 3, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜.
5 * 1 + 3 = 8, 8 ÷ 5 = 1, 𝑟 = 3
5 * 2 + 3 = 13, 13 ÷ 5 = 2, 𝑟 = 3
…5 * 3 + 3 = 18, 18 ÷ 5 = 3, 𝑟 = 3
4. Verifique que a multiplicação de qualquer inteiro pelo seu antecessor (ou pelo seu
sucessor) é sempre par.
𝑎 * (𝑎 + 1) = 𝑎² + 𝑎, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 é 𝑝𝑎𝑟, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 2𝑘, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 é 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜. 
, logo, a²+a é par.2𝑘² + 2𝑘 = 2(2𝑘² + 𝑘)
vamos considerar que a é ímpar
𝑎2 + (𝑎) = (2𝑘 + 1)2 + (2𝑘 + 1) = (2𝑘2 + 2(2𝑘 * 1) + 2𝑘 + 2
4𝑘2 + 6𝑘 + 2 = 2(2𝑘2 + 3𝑘 + 1), 𝑙𝑜𝑔𝑜, 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎2 + 𝑎 é 𝑝𝑎𝑟.
5. Verifique que a soma de três inteiros consecutivos é um múltiplo de 3.
𝑎 + (𝑎 + 1) + (𝑎 + 2) = 3𝑎 + 3, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑢𝑚 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜.
𝐹𝑎𝑡𝑜𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 3(𝑎 + 1), 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑠𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑟á 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3.
Vale o mesmo para o produto de três inteiros consecutivos?
𝑎 * (𝑎 + 1) * (𝑎 + 2) = 𝑎 * (𝑎2 + 2𝑎 + 𝑎 + 2) = 𝑎3 + 3𝑎2 + 2𝑎
Se é múltiplo de 3, temos que: , temos ao menos um dos𝑎 (3𝑘) * (3𝑘 + 1) * (3𝑘 + 2)
fatores sendo múltiplo de 3 (3k), logo, o produto também será múltiplo de 3.
O que você pode dizer sobre o produto de quatro inteiros consecutivos?
𝑎 * (𝑎 + 1) * (𝑎 + 2) * (𝑎 + 3) ⇒ 3𝑘 * (3𝑘 + 1) * (3𝑘 + 2) * (3𝑘 + 3)
considerando que ao menos 1 dos números seja múltiplo de 3, o produto também será.
6. Efetue a decomposição em produto de potências de primos dos números:
a) 541 , como não há número primo que divida 541 de forma exata, constatamos que ele
é um número primo, portanto sua decomposição é o próprio 541.
b)1141
=1141; sendo 7 e 163 números primos.7 * 163
c)4620
d)1345
=1345; sendo 5 e 269 números primos.5 * 269
e)961
312 = 961
7. Determine os possíveis valores de inteiros m e n tais que m · n = 6 .
}𝑚 * 𝑛 = 6; 𝑚 𝑒 𝑛 = {(1; 6), (2; 3), (2; 3),(6; 1), (3; 2), (3; 2)
8. Determine quais dos pares de números dados são primos entre si:
a. 27 e 40
Os divisores de 27 são {1;3;9;27} enquanto os de 40 são {1;2;4;5;8;10;20;40}, portanto os
números são primos entre si, pois possuem apenas um divisor comum entre eles, o
número 1.
b. 21 e 25
Os divisores de 21 são {1;3;7;21} enquanto os de 25 são {1;5;25}, portanto os números
são primos entre si, pois possuem apenas um divisor comum entre eles, o número 1.
c. 1 e 4
O divisor de 1 é apenas ele mesmo, {1} enquanto os de 4 são {1;2;4}, portanto os
números são primos entre si, pois possuem apenas um divisor comum entre eles, o
número 1.
d. 0 e 1
4620
11 420
7 60
5 12
3 4
2 2
2 1
22 * 3 * 5 * 7 * 11
Não, pois o zero pode ter uma infinidade de divisores, incluindo o 1. (não tenho certeza
desta, já que o número 1 é divisível por ele mesmo, podendo ser o divisor comum entre já
que qualquer número pode ser divisor de 0)
e. 9 e 75
Os divisores de 9 são {1;3;9} enquanto os de 75 são {1;3;5;15;25;75}, portanto os
números não são primos entre si, MDC é diferente de 1.
f. 121 e 44
Os divisores de 121 são {1;11;121} , enquanto os de 44 são {1;2;4;11;22;44}, portanto os
números não são primos entre si, MDC é diferente de 1.
g. 0 e 4
Não, pois o zero pode ter uma infinidade de divisores, incluindo o 4; 2; 1. e os divisores de
4 são {1;2;4}
9. Por volta de 1200, o matemático italiano da Idade Média, Leonardo de Pisa, também
conhecido como Leonardo Fibonacci publicou o livro Liber Abaci, sendo a primeira vez
que um cristao escrevia sobre Álgebra.
De modo geral, todo número natural n pode ser escrito na forma:
𝑛 = 𝑚
𝑘
* 10𝑘 + 𝑚
𝑘−1
* 10𝑘−1 +. . . 𝑚
2
* 102 + 𝑚
1
* 10 + 𝑚
0
Dito de outro modo, o número possui unidades,dezenas, centenas etc.𝑛 𝑚
0
𝑚
1
𝑚
2
Estes são os algarismos de 𝑛
a. Escreva os seguintes números na forma da equação (1):
i. 34 590 0 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠; 9 𝑑𝑒𝑧𝑒𝑛𝑎𝑠; 5 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎𝑠; 4 , 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑒 3 𝑑𝑒𝑧𝑒𝑛𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑟𝑒𝑠
3 * 104 + 4 * 103 + 5 * 102 + 9 * 101 + 0
3, 4 * 104 + 5, 9 * 102
ii. 54 907 786
6 unidades; 8 dezenas; 7 centenas; 7 milhares; 0 dezenas de milhares; 9 centenas de
milhares; 4 milhões; 5 dezenas de milhões
5 * 107 + 4 * 106 + 9 * 105 + 0 * 104 + 7 * 103 + 7 * 102 + 8 * 10 + 6
iii. 324 910 345
5 unidades; 4 dezenas; 3 centenas; 0 milhares; 1 dezenas de milhares; 9 centenas de
milhares; 4 milhões; 2 dezenas de milhões; 3 centenas de milhões
3 * 108 + 2 * 107 + 4 * 106 + 9 * 105 + 1 * 104 + 0 * 103 + 3 * 102 + 4 * 10 + 5
3, 24 * 108 + 9, 1 * 105 + 3, 45 * 102
b. Por que 000123, 0123 e 123 são o mesmo número?
Considerando a equação acima, temos que os números são formados respeitando a
ordem crescente de unidades para dezenas, centenas … logo, quando o zero está a
esquerda no número, fazemos como manda a equação:
𝑛 = 0 * 103 + 1 * 102 + 2 * 10 + 3 = 0 + 100 + 20 + 3 = 123
No entanto, se o zero estiver à direita,1230, temos que:
𝑛 = 1 * 104 + 2 * 103 + 3 * 10 + 0 = 1000 + 200 + 30 + 0 = 1230
10. Divisibilidade por 3:
Talvez você saiba que um número natural é divisível por 3 quando a soma dos seus
algarismos é um múltiplo de 3.
a. Escreva o processo acima quando um número n tem um número qualquer de
algarismos. (não entendi essa parte, perguntar na tutoria)
b. Dentre os seguintes números, identifique, usando o critério acima, aqueles que são
divisıveis por 3:
a)79 b)72
, não é divisível por 3. , é divisível por 3.7 + 9 = 16; 1 + 6 = 7 7 + 2 = 9
c)135 d)7 893
, logo, é divisível por 3. ,1 + 3 + 5 = 9 7 + 8 + 9 + 3 = 27; 2 + 7 = 9
. é divisível por 3.
e)104 997 f)8 899 712 .
1 + 0 + 4 + 9 + 9 + 7 = 30; 8 + 8 + 9 + 9 + 7 + 1 + 2 = 44
, é divisível por 3. ,não é divisível por 33 + 0 = 3 4 + 4 = 8
11. Desafio: No início da aula falamos das tabelas babilônicas ou tabelas Plimpton-322.
Nessas tabelas se descrevem processos para determinar números naturais m, n e k
verificando Na linguagem atual, um terno de números naturais com esta𝑚2 = 𝑛2 + 𝑘2
propriedade é chamado terno pitagórico. Por exemplo, 3, 4 e 5 formam um terno
pitagórico, pois 32 + 42 = 52
Fornece outros ternos pitagóricos distintos deste.
Podemos citar os seguintes conjuntos que atendem a :𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
(5,12,13), (8,15,17),(7,24,25)
Lista de exercícios concluída em 24/03/2024. Atentar para algumas questões que
geraram dúvidas, contactar a tutoria para revisão.
Matheus Miranda
EXERCÍCIOS - Material Vol.01 Os Números Racionais
Introdução ao Cálculo – Matemática-UFPA
Números Naturais e Inteiros
Professores: João Brandemberg & João Rodrigues
Aluno: Wanderson Matheus Silva de Miranda
Turma: Matemática 2023.2
a) 36
120 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 12, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 3
10
b) 58
48 𝑜 𝑀𝐷𝐶 é 2, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 29
24
c) 3477
5871 𝑜 𝑀𝐷𝐶 é 3, 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑒, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 1159
1957
d) Para resolver esta questão, é interessante reescrever os números de outra forma.
1. colocar o 25 como 5 elevado a segunda potência 25 = 52
2. Considerando a propriedade potência de potência, temos que:
(𝑎𝑛)𝑚 = 𝑎𝑛*𝑚, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 (5−5)5 = 5−5*5 = 5−25
3. Considerando a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, temos:
𝑎2 * 𝑎5 = 𝑎2+5; 𝑙𝑜𝑔𝑜, 5
2
* 5−25 = 52−25
4. Agora, considerando a propriedade que nos mostra que:
𝑎−𝑥 = 1
𝑎𝑥 , 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 5−23 = 1
523
e) Vamos aplicar as propriedades de potências em 333
622
333
= 33*3 = 39, 𝑒𝑛𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑜 622
= 32*2 = 34
Aplicamos a propriedade de divisão de potências , mas para isso, devemos 𝑎5
𝑎3 = 𝑎5−3
fatorar usaremos a propriedade de potência do produto39
64 (𝑎 * 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 * 𝑏𝑥
Agora podemos reescrever desta forma64 = (2 * 3)4 = 24 * 34 39
24*34