Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (305)

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM123 - Ca´lculo Diferencial e Integral II
Lista de Exerc´ıcios 2
1. Ache o comprimento de arco de cada curva abaixo nos intervalos especificados:
(a) y =
x5
6
+
1
10x3
, x ∈ [1, 2]. (b) y = 3x 32 − 1, x ∈ [0, 1].
(c) y = ln(sec(x)), 0 6 x 6 pi4 . (d) 2y = ex + e−x, x ∈ [0, 3].
(e) = ex, 0 6 x 6 1.
2. Calcule a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o das regio˜es ao longo do eixo-x.
(a) 9x = y2 + 18, 2 6 x 6 6. (b) y = x3, 0 6 x 6 2.
(c) y = 7x, 1 6 x 6 4.
3. Calcule a a´rea da superf´ıcie gerada pela rotac¸a˜o das regio˜es ao longo do eixo-y.
(a) y = 3
√
x, 1 6 y 6 2. (b) x =
√
9− y2, −2 6 y 6 2.
(c) x =
√
a2 − y2, 0 6 y 6 a2 .
4. Em cada caso, avalie se a integral e´ divergente ou convergente:
(a)
∫ +∞
−∞
1
1 + x2
dx.
(b)
∫ 1
0
ln(x)dx.
(c)
∫ 3
0
1
x− 1dx.
(d)
∫ +∞
1
1
(3x+ 1)2
dx.
(e)
∫ +∞
−∞
x
1 + x2
dx.
(f)
∫ +∞
1
ln(x)
x
dx.
(g)
∫ +∞
1
cos2(x)
1 + x2
dx.
(h)
∫ +∞
1
dx
x+ ex
.
5. Determine para quais valores de p as seguintes integrais sa˜o convergentes:
(a)
∫ 1
0
1
xp
dx. (b)
∫ 1
0
xp ln(x)dx.
Respostas dos exerc´ıcios:
1. (a) 1241240 (b)
85
√
85−8
243 (c) ln(
√
2 + 1)
(d) 12 (e
3 − e−3) (e) √1 + e2 −√2 + ln(√1 + e2 − 1)− 1− ln(√2− 1) 2. (a) 49pi
(b) pi (145
√
145−1)
27 (c) 525pi
√
2 3. (a) pi (145
√
145−10√10)
27
(b) 24pi (c) pia2 4. (a) Convergente
(b) Convergente (c) Divergente (d) Convergente
(e) Divergente (f) Divergente (g) Convergente
(h) Convergente 5. (a) p < 1 (b) p > −1