Cálculo IV Lista 01 de Exercícios

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UNIVERSIDADE SALVADOR 
Disciplina: Cálculo IV 
Semestre: 2020.2 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
 
Sequências e Séries Numéricas 
 
1) Liste os 5 primeiros termos da sequência. 
a) 𝑎𝑛 =
2𝑛
2𝑛+1
 
b) 𝑎𝑛 =
2𝑛
𝑛2+1
 
c) 𝑎𝑛 =
3(−1)𝑛
𝑛!
 
d) 𝑎1 = 1 e 𝑎𝑛+1 = 5𝑎𝑛 − 3
e) 𝑎1 = 2 e 𝑎𝑛+1 =
𝑎𝑛
1+𝑎𝑛
 
f) 𝑎1 = 2, 𝑎2 = 1 e 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 
2) Assumindo que o padrão dos primeiros termos se repita, encontre uma fórmula 
para o termo geral da sequência. 
a) {
1
2
,
1
4
,
1
6
,
1
8
,
1
10
, … } 
b) {4,−1,
1
4
, −
1
16
,
1
64
, … } 
c) {−3, 2,−
4
3
,
8
9
, −
16
27
, … } 
d) {
1
2
, −
4
3
,
9
4
, −
16
5
,
25
6
, … } 
3) Determine se a sequência converge. Em caso afirmativo, encontre o limite. 
a) 𝑎𝑛 =
3+5𝑛2
𝑛+𝑛2
 
b) 𝑎𝑛 =
𝑛4
𝑛3−2𝑛
 
c) 𝑎𝑛 = 3
𝑛7−𝑛 
d) 𝑎𝑛 = 𝑒
−1/√𝑛 
e) 𝑎𝑛 = √
1+4𝑛2
1+𝑛2
 
f) 𝑎𝑛 = 𝑡𝑔 (
2𝑛𝜋
1+8𝑛
) 
g) 𝑎𝑛 =
(−1)𝑛𝑛
𝑛2+1
 
h) 𝑎𝑛 =
(2𝑛−1)!
(2𝑛+1)!
 
i) 𝑎𝑛 = sin⁡(𝑛) 
j) 𝑎𝑛 =
𝑒𝑛+𝑒−𝑛
𝑒2𝑛−1
 
k) 𝑎𝑛 =
cos2(𝑛)
2𝑛
 
l) 𝑎𝑛 = (1 +
2
𝑛
)
𝑛
 
Cálculo IV Lista 01 Sequências e Séries Numéricas 
STEAM Unifacs 2 
4) Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. Além disso, 
verifique se ela é limitada. 
a) 𝑎𝑛 = cos⁡(𝑛) 
b) 𝑎𝑛 =
1
2𝑛+3
 
c) 𝑎𝑛 = 𝑛 +
1
𝑛
 
d) 𝑎𝑛 = 3 − 2𝑛𝑒
−𝑛 
5) Calcule os 8 primeiros termos da sequência de somas parciais, com 4 casas 
decimais. Parece que a série é convergente ou divergente? 
a) ∑
1
𝑛4+𝑛2
∞
𝑛=1 b) ∑ sin⁡(𝑛)
∞
𝑛=1 
6) Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se for convergente, 
calcule sua soma. 
a) 3 − 4 +
16
3
−
64
9
+⋯ 
b) 10 − 2 + 0,4 − 0,08 + ⋯ 
c) ∑ 12(0,73)𝑛−1⁡∞𝑛=1 
d) ∑
(−3)𝑛−1
4𝑛
∞
𝑛=1 
7) Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua 
soma. 
a) 
1
3
+
1
6
+
1
9
+
1
12
+⋯ 
b) ∑
2+𝑛
1+2𝑛
∞
𝑛=2 
c) ∑ 3𝑛+14−𝑛∞𝑛=1 
d) ∑
1
4+𝑒−𝑛
∞
𝑛=1 
e) ∑ sin(100)𝑛∞𝑛=1 
f) ∑ (
𝜋
3
)
𝑛
∞
𝑛=0 
g) ∑ arctan(𝑛)∞𝑛=1 
h) ∑ (
1
𝑒𝑛
+
1
𝑛(𝑛+1)
)∞𝑛=1 
8) Determine se a série é convergente ou divergente expressando 𝑠𝑛 como soma 
telescópica. Se for convergente, calcule sua soma. 
a) ∑
2
𝑛2−1
∞
𝑛=2 b) ∑ (𝑒
1/𝑛⁡ − 𝑒1/(𝑛+1))∞𝑛=1 
9) Expresse o número como uma razão de inteiros. 
a) 0, 8̅ b) 0, 46̅̅̅̅ c) 1,5342̅̅̅̅ d) 1,234567̅̅ ̅̅ ̅ 
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10) Um paciente toma 150 mg de um fármaco no mesmo horário, todos os dias. 
Imediatamente antes de uma nova dose ser ingerida, 5% da droga permanece no 
corpo. 
a) Que quantidade do fármaco estará presente no corpo, imediatamente antes da 
2ª dose? E da terceira? 
b) Que quantidade da droga permanece no corpo a longo prazo? 
11) Use o teste da integral para decidir se a série é convergente ou divergente. 
a) ∑
2
𝑛0,85
∞
𝑛=1 
b) 1 +
1
8
+
1
27
+
1
64
+
1
125
+⋯ 
c) ∑
√𝑛+4
𝑛2
∞
𝑛=1 
d) ∑
1
𝑛2+4
∞
𝑛=1 
e) ∑
1
𝑛⁡𝑙𝑛(𝑛)
∞
𝑛=2 
f) ∑ 𝑛𝑒−𝑛∞𝑛=1 
12) Determine o valor de 𝑝 para os quais a série é convergente. 
a) ∑
1
𝑛(ln𝑛)𝑝
∞
𝑛=2 b) ∑ 𝑛(1 + 𝑛
2)𝑝∞𝑛=1 
13) Determine, por meio dos testes de comparação, se a série converge ou diverge. 
a) ∑
1
𝑛3+8
∞
𝑛=1 
b) ∑
𝑛+1
𝑛√𝑛
∞
𝑛=1 
c) ∑
9𝑛
3+10𝑛
∞
𝑛=1 
d) ∑
ln(𝑛)
𝑛
∞
𝑛=1 
e) ∑
√𝑛
3
√𝑛3+4𝑛+3
∞
𝑛=1 
f) ∑
1+cos(𝑛)
𝑒𝑛
∞
𝑛=1 
g) ∑
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑛)
𝑛1,2
∞
𝑛=1 
h) ∑
1
√𝑛2+1
∞
𝑛=1 
i) ∑
𝑛+1
𝑛3+𝑛
∞
𝑛=1 
j) ∑
√1+𝑛
2+𝑛
∞
𝑛=1 
k) ∑
√𝑛+2
2𝑛2+𝑛+1
∞
𝑛=1 
l) ∑
𝑒𝑛+1
𝑛𝑒𝑛+1
∞
𝑛=1
14) Teste a série alternada quanto à convergência ou divergência. 
a) ∑
(−1)𝑛−1
3+5𝑛
∞
𝑛=1 
b) ∑ (−1)𝑛∞𝑛=1
3𝑛−1
2𝑛+1
⁡ 
c) ∑ (−1)𝑛𝑒−𝑛∞𝑛=1 
d) ∑ (−1)𝑛+1
𝑛2
𝑛3+4
∞
𝑛=1 
e) ∑ (−1)𝑛
𝑛
10𝑛
∞
𝑛=1 
f) ∑ (−1)𝑛 sin (
𝜋
𝑛
)∞𝑛=1 
 
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STEAM Unifacs 4 
15) Use o teste da razão para determinar se a série é absolutamente ou 
condicionalmente convergente, ou divergente. 
a) ∑
𝑛
5𝑛
∞
𝑛=1 
b) ∑ (−1)𝑛
3𝑛
2𝑛𝑛3
∞
𝑛=1 
c) ∑
1
𝑛!
∞
𝑛=1 
d) ∑
10𝑛
(𝑛+1)42𝑛+1
∞
𝑛=1 
e) ∑
𝑛𝜋𝑛
(−3)𝑛−1
∞
𝑛=1 
f) ∑
cos(𝑛𝜋/3)
𝑛!
∞
𝑛=1 
16) Use o teste da raiz para determinar se a série é convergente ou divergente. 
a) ∑ (
𝑛2+1
2𝑛2+1
)
𝑛
∞
𝑛=1 b) ∑
(−1)𝑛−1
(ln 𝑛)𝑛
∞
𝑛=2
17) Use qualquer teste para determinar se a série é absolutamente ou 
condicionalmente convergente, ou divergente. 
a) ∑
(−1)^𝑛
ln 𝑛
∞
𝑛=2 
b) ∑
(−9)𝑛
𝑛10𝑛+1
∞
𝑛=1 
c) ∑ (
𝑛
ln𝑛
)
𝑛
∞
𝑛=2 
d) ∑
(−1)𝑛𝑒1/𝑛
𝑛3
∞
𝑛=1 
Gabarito 
1) 
d) 1, 2, 7, 32, 157⁡ e) 2,
2
3
,
2
5
,
2
7
,
2
9
 f) , 1, −1,−2,−3,−5 
3) 
a) 5 
b) D 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
f) 1 
g) 0 
h) 0 
i) D 
j) 0 
k) 0 
l) 𝑒2 
4) 
a) Não monótona. Não. 
b) Decrescente. Sim. 
c) Não monótona. Não. 
d) Decrescente. Sim. 
6) 
a) D b) 
25
3
 c) 
400
9
 d) 
1
7
7) 
a) D b) D c) 9 d) D 
Cálculo IV Lista 01 Sequências e Séries Numéricas 
STEAM Unifacs 5 
e) 
sin 100
1−sin 100
 f) D g) D h) 
𝑒
𝑒−1
 
8) 
a) 
3
2
 b) 𝑒 − 1 
9) 
a) 
8
9
 b) 
46
99
 c) 
5063
3300
 d) 
45679
37000
 
10) 
a) 7,5 mg e 7.875 mg. b) 7,895 mg. 
11) 
a) D b) C c) C d) C e) D f) C 
12) 
a) 𝑝 > 1 b) 𝑝 < −1 
13) 
a) C 
b) D 
c) C 
d) D 
e) C 
f) C 
g) C 
h) D 
i) C 
j) D 
k) C 
l) D 
14) 
a) C b) D c) C d) C e) C f) C 
15) 
a) AC 
b) D 
c) AC 
d) AC 
e) D 
f) AC 
16) 
a) AC b) AC 
17) 
a) CC 
b) AC 
c) D 
d) AC