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MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Paolo Piccione Prova 1 14 de maio de 2015 Nome: Número USP: Assinatura: Instruções • A duração da prova é de duas horas. • Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está no final da prova. é permitido deixar questões em branco. • Cada questão tem apenas uma resposta correta. • O valor total da prova é de 10 pontos; cada questão correta vale 1 2 ponto (0.5) e cada questão errada implica num desconto de 1 10 de ponto (0.10). • No final da prova, deve ser entregue apenas a folha de respostas (na última página). • Boa Prova! Terminologia e Notações Utilizadas na Prova • R denota o conjunto dos números reais. • sinx é a função seno de x, lnx é o logaritmo natural de x; loga x é o logaritmo em base a de x, a ∈ ]0, 1[ ⋃ ]1,+∞[. • Para intervalos abertos useremos a notação: ]a, b[. • A ⋃ B denota a união dos conjuntos A e B. NÃO ESQUEÇA DE POR SEU NOME NA FOLHA DE RESPOSTAS!!! C MAT 111 — Prova 1 C — 14.05.2014 2 Questão 1. Seja An, n ∈ N, uma famı́lia de afirmações. Assuma que A5 seja verdadeira, e que se An é verdadeira, então An+2 também é verdadeira. Qual das seguintes afirmações abaixo é verdadeira? (a) a afirmação A3 é verdadeira; (b) A2n+1 é verdadeira para todo n ≥ 2; (c) a afirmação A22 é verdadeira; (d) todas as afirmações An são verdadeiras; (e) as afirmações An, com n ≥ 5 são verdadeiras. Questão 2. Calcule o limite L = lim x→+∞ 2x2 − 5x + 7 1− x2 . (a) L = +∞; (b) L = −2; (c) L = 2; (d) L = −∞; (e) o limite não existe. Questão 3. Calcule o limite L = lim x→0 sin(2x) tan(5x) . (a) L = 2 5 ; (b) L = 5 2 ; (c) L = 0; (d) L = 2; (e) L = 1. Questão 4. Resolva a desigualdade |x− 3| < 2|x|. (a) x ∈ ]−∞,−3[ ⋃ ]3,+∞[; (b) x ∈ ]−∞,−3[; (c) x ∈ ]−∞,−3[ ⋃ ]1,+∞[; (d) x ∈ ]1,+∞[; (e) x ∈ ]−∞,−1[ ⋃ ]3,+∞[. MAT 111 — Prova 1 C — 14.05.2014 3 Questão 5. Calcule o limite L = lim x→0 ( 7x− 3x2 ) sin ( 1 x2 ) . (a) L = 0; (b) L = −∞; (c) L = +∞; (d) o limite não existe; (e) L = 1. Questão 6. Sejam f, g : R → R funções deriváveis. Usando os seguintes dados: f(0) = 1, f(2) = −1, f ′(0) = 1 2 , f ′(2) = −1 3 , g(1) = 0, g(0) = 1, g′(1) = −2, g′(0) = 3, calcule (f ◦ g)′(1). (a) −1; (b) −1 2 ; (c) 1; (d) 2 3 ; (e) 1 2 . Questão 7. Calcule o limite L = lim n→∞ cosn n . (a) L = 1 2 ; (b) L = 0; (c) L = 1; (d) L = cos∞ ∞ ; (e) L = +∞. Questão 8. Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = e2x no ponto de absissa x = 1. (a) y = e2x(x− 1); (b) y = e2x + 1; (c) y = 2e2x(x− 1); (d) y = e2(2x− 1); (e) y − 1 = e2(x− 1). MAT 111 — Prova 1 C — 14.05.2014 4 Questão 9. Calcule a derivada da função inversa f−1 no punto y0, sabendo que y0 = f(x0), f −1(y0) = 3, f ′(3) = −2, f(3) = 5, f ′(5) = 3. (a) x0 y0 ; (b) 1 3 ; (c) −1 2 ; (d) 1 y0 ; (e) 1 5 . Questão 10. Calcule o limite lim x→0 2x − 1 x . (a) 0 0 ; (b) 1; (c) +∞; (d) 2; (e) ln(2). Questão 11. Resolva a desigualdade |x− 2|+ |x + 2| < 6. (a) x ∈ ]−3,−2[ ⋃ ]2, 4[; (b) x ∈ ]−3, 3[; (c) x ∈ ]−3, 0[; (d) x ∈ [−2, 2[; (e) x ∈ ]−4,−3] ⋃ [2, 4[. Questão 12. Calcule o limite lim n→∞ ( n2 2n + 1 − n2 2n− 1 ) (a) +∞; (b) −1; (c) 0; (d) −1 2 ; (e) −∞. MAT 111 — Prova 1 C — 14.05.2014 5 Questão 13. Calcule o limite L = lim x→2 ln(3− x) x− 2 . (a) L = −1; (b) L = 0; (c) L = ln 3; (d) L = +∞; (e) L = ln 2. Questão 14. Dada f(x) = e2x e g(x) = 1 − cosx, calcule a composição h(x) = f ( g(x) ) . (a) h(x) = e ecosx ; (b) h(x) = e1−cosx; (c) h(x) = e e2 cosx ; (d) h(x) = e2 e2 cosx ; (e) h(x) = 1− cos(e2x). Questão 15. Calcule a soma N∑ k=1 3k. (a) 2 3N(N + 1); (b) 2N(N + 1); (c) 3 2N(N − 1); (d) 3N(N + 1); (e) 3 2N(N + 1). Questão 16. Determine as soluções da equação 3x 2−3 − 9x = 0. (a) x = 3; (b) x = 3 e x = −1; (c) x = −3 e x = 1; (d) x = 3, x = 2 e x = −1; (e) x = −1. MAT 111 — Prova 1 C — 14.05.2014 6 Questão 17. Resolva a equação 2 log3 x + log9 x = 10. (a) x = 109; (b) a equação não admite soluções; (c) x = 81; (d) x = 95; (e) x = 27. Questão 18. Assuma que lim x→x0 f(x) = lim x→x0 g(x) = 0. Usando esta in- formação, o que podemos concluir sobre a existência e o valor do limite lim x→x0 f(x) g(x) ? (a) lim x→x0 f(x) g(x) = 0; (b) lim x→x0 f(x) g(x) = 1; (c) nada; (d) lim x→x0 f(x) g(x) = +∞; (e) lim x→x0 f(x) g(x) = −∞. Questão 19. Calcule o limite L = lim x→+∞ ( x x + 1 )2x . (a) L = 1; (b) L = +∞; (c) L = e2; (d) L = 1 e2 ; (e) L = 1 e . Questão 20. Calcule a derivada da função f(x) = sin2 x. (a) f ′(x) = −2 sinx cosx; (b) f ′(x) = − sinx cosx; (c) f ′(x) = cos2 x; (d) f ′(x) = sinx cosx; (e) f ′(x) = 2 sinx cosx. MAT 111 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Paolo Piccione Prova 1 14 de maio de 2015 Nome: Número USP: Assinatura: Folha de Respostas C 1 a b c d e 2 a b c d e 3 a b c d e 4 a b c d e 5 a b c d e 6 a b c d e 7 a b c d e 8 a b c d e 9 a b c d e 10 a b c d e 11 a b c d e 12 a b c d e 13 a b c d e 14 a b c d e 15 a b c d e 16 a b c d e 17 a b c d e 18 a b c d e 19 a b c d e 20 a b c d e Deixe em branco. Corretas Erradas Nota
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