Cálculo 1: Derivadas e Regras

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- Cálculo 1: Lista sobre Derivadas -
1. Lembrando que (uv)′ = u′v + uv′ e
(
u
v
)′
= vu′−uv′
v2 , calcule as derivadas das seguintes funções:
(a) f(x) = 2x2 + 3;
(b) f(x) = 3x− 1;
(c) f(x) = 32;
(d) f(x) = 5x3 − 2x+ 3;
(e) f(x) = x2
3 − 3x+ 5
2 ;
(f) f(x) = (x+ 1)(x− 3);
(g) f(x) = 3(x− 2);
(h) f(x) = 4x
x−1 ;
(i) f(x) = 3x+2
x2−2x+3 ;
(j) f(x) = x−1
2x3−5x+3 − 3x2 + 7.
2. Lembrando que (ex)′ = ex, (senx)′ = cosx e (cosx)′ = −sen x, calcule as derivadas das funções:
(a) f(x) = 2x2 + 3ex;
(b) f(x) = 3xex;
(c) f(x) = (2x+ 1)sen x;
(d) f(x) = 1
ex ;
(e) f(x) = 5x3 − 2x2 + 3
ex ;
(f) f(x) = x2
3 cosx− 3ex;
(g) f(x) = 5
ex cos x ;
(h) f(x) = 3 cosx sen x;
(i) f(x) = tanx = senx
cosx ;
(j) f(x) = 3xex−1
4 .
3. Calcule f ′(x) e f ′(1) em cada caso:
(a) f(x) =
{
x2, se x ≥ 1,
2x, se x < 1.
(b) f(x) =
{
x2 + 1, se x ≥ 1,
2x, se x < 1.
As funções acima são cont́ınuas em x = 1? Justifique.
4. Seja f(x) =
{
x2
|x| , se x ̸= 0,
2x, se x = 0.
f é cont́ınua em x = 0? f é diferenciável em x = 0? Justifique.
5. Prove a regra do quociente a partir da regra do produto da seguinte forma: escreva y = u
v na forma yv = u,
derive com relação a x pela regra do produto e resolva a equação resultante para dy
dx .
6. Mostre que as tangentes à curva y = x2 nos pontos x = a e x = a+2 se interceptam sobre a curva y = x2−1.
7. Nos casos abaixo, determine as compostas F = f ◦ g e calcule suas derivadas diretamente e através da regra
da cadeia:
(a) f(x) = x2, g(x) = x− 1;
(b) f(x) = 2x− 3, g(x) = 3x+ 1;
(c) f(x) = x, g(x) = 3x;
(d) f(x) = ex, g(x) = 3x+ 2;
(e) f(x) = cosx, g(x) = 4x2.