Sistemas Lineares -

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SISTEMAS 
LINEARES
Dárcio Silvestre Sabbadin
 
Introdução à aplicação 
de séries e transformada 
de Fourier
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Caracterizar as séries de Fourier.
  Determinar as características da transformada de Fourier.
  Analisar as séries e transformadas de Fourier no processamento de sinais.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar as séries e transformadas de Fourier. Jean 
Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) foi um grande matemático e físico 
francês que trabalhou nos campos da calorimetria e do cálculo. Para ho-
menageá-lo, seu nome foi dado às séries e transformadas aplicadas aos 
sinais elétricos em regime contínuo, muito utilizadas na engenharia elétrica.
Basicamente, Fourier descobriu que qualquer função, periódica ou 
não, pode ser composta por uma soma infinita de funções senoidais e 
cossenoidais. A transformada de Fourier é um caso particular da trans-
formada de Laplace e transforma a função no domínio do tempo para 
o domínio da frequência angular, criando o espectro de frequências do 
sinal. Atualmente, a transformada de Fourier é aplicada em muitas áreas, 
especialmente em processamento de sinais.
Caracterização das séries de Fourier
Segundo Lathi (2006), sinais periódicos complexos podem ser decompostos 
em uma série trigonométrica de Fourier. Um somatório de senos e cossenos 
com amplitudes diferentes, fases e frequências diferentes também. Sua de-
composição facilita o estudo do conteúdo do sinal.
Os sinais complexos são uma composição de senos e cossenos (Figura 1), 
conforme a expressão matemática a seguir.
À expressão é dado o nome de série trigonométrica de Fourier. Onde:
o coeficiente a0 é o valor médio da função f(t) no intervalo de 0 a T;
an e bn são os coeficientes da série de Fourier;
ω0 é a velocidade angular em radianos/segundos da função f(t) e equivale 
a 2 ∙ π ∙ f0, com f0 a frequência em Hz;
T é o intervalo da função f(t).
Figura 1. Forma de onda senoidal periódica e harmônica e forma de onda complexa.
Fonte: Adaptada de Fouad A. Saad/Shutterstock.com.
Saída
harmônica
Fundamental
1ª harmônica
2ª harmônica
3ª harmônica
4ª harmônica
Forma complexa:Forma harmônica:
Fundamental
Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier2
O valor médio de uma função (Vm) é assim definido conforme a teoria do 
cálculo (STEWART, 2011):
Os coeficientes na forma de integral ficam:
As figuras ditas pares e ímpares (Figura 2) podem abreviar e simplificar o cálculo dos 
termos das séries de Fourier. Na definição de Stewart (2011), uma função par é aquela 
em que f(x) = f(–x), e uma função ímpar é aquela em que f(x) = –f(–x).
Considere os exemplos a seguir.
+1
[IMPAR]
[PAR]
0,7
0 π-π -π/2
-π/4 π/4 2π 3ππ/2
0 π-π -π/2 2π 3ππ/2
-1
x(rad/s)
x(rad/s)
f(x)=sen(x)
f(x)=cos(x)
Figura 2. Funções pares e ímpares.
Fonte: Adaptada de MilanB/Shutterstock.com.
Observe que a integral ou área da função seno no intervalo de –π a π é zero. Esten-
dendo o raciocínio às funções ímpares, pode-se dizer o mesmo.
Acompanhe o Quadro 1, relativo ao produto de funções pares e ímpares.
3Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier
Características da transformada de Fourier
Conforme Roland, Albert e Toussaint (2011), o que caracteriza uma série 
de Fourier é a periodicidade dos sinais que a compõem. Quando o sinal for 
aperiódico, a transformada de Fourier será necessária para a caracterização 
das frequências que fazem parte do sinal elétrico.
Então, segundo Haykin e Venn (2001), sendo f uma função integrável, a 
transformada de Fourier relacionará as funções no domínio do tempo com as 
funções no domínio da frequência, podendo-se escrever da seguinte maneira:
Produto de funções Resultado
Função par x Função par Função par
Função par x Função ímpar Função ímpar
Função ímpar x Função par Função ímpar
Função ímpar x Função ímpar Função par
Quadro 1. Produtos de funções e resultados
A partir do Quadro 1, pode-se concluir que:
1. se f for par,
2. se f for ímpar,
3. quanto à multiplicação de funções senos e cossenos,
 ■ para quaisquer n e m𝜀 R;
 ■ para n ≠ m e n = m;
 ■ para n ≠ m, 2 ∙ π para n = m = 0 e π para n = m ≠ 0.
Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier4
A Figura 3 ilustra as características de alguns dos principais sinais elétricos 
no domínio do tempo transformados para o domínio da frequência.
Figura 3. Sinais no domínio do tempo e da frequência.
Fonte: Adaptada de Fouad A. Saad/Shutterstock.com.
Sinal s(t)
Onda cossenoidal
Função sink
Função gaussiana
Exponencial duplo
Banda uniforme
Lorenziana
Gaussiana
Frequência única
Transformada de Fourier S(ω)
Observe as curvas da Figura 3. A principal característica da transformada 
de Fourier é a capacidade de transformar um sinal periódico no tempo em um 
espectro de frequência único (como no caso da onda cossenoidal) e um sinal 
aperiódico em uma banda ou faixa de frequências uniforme.
5Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier
Conforme Stewart (2011), senos e cossenos podem ser escritos na forma exponencial 
a seguir.
Assim, a transformada de Fourier pode ser reescrita da seguinte maneira:
Assim como ocorre com as transformadas e antitransformadas de Laplace, 
a operação inversa da transformada de Fourier é a antitransformada de Fourier, 
que pode ser descrita pela seguinte expressão:
A característica principal, tanto da transformada quanto da antitransformada 
de Fourier, é que a frequência complexa s terá apenas a componente complexa 
jω,diferindo-se da transformada de Laplace, em que a frequência complexa 
contempla a parte real σ. Assim, para Fourier: s = 𝜎 = jω com 𝜎 = 0
As demais características fazem parte das propriedades e teoremas das 
transformadas de Fourier, que são utilizadas no processamento de sinais e 
encontram-se na próxima seção.
Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier6
Nos links a seguir, você pode ver informações complementares sobre séries e trans-
formadas de Fourier.
Série de Fourier, parte 1 — UNIVESP
https://goo.gl/G16UZc
Série de Fourier, parte 2 — UNIVESP
https://goo.gl/5rdvuB
Série de Fourier, parte 3 — UNIVESP
https://goo.gl/NBmUNH
Transformadas de Fourier — UNICAMP
https://goo.gl/3dCPsy
Séries e transformadas de Fourier 
em processamento de sinais
Segundo Nalon (2009), a variação de informações conforme a passagem do 
tempo recebe o nome de sinal. Já à manipulação de tais sinais para a obtenção 
de um resultado desejado dá-se o nome de processamento de sinais. O pro-
cessamento do sinal é facilitado quando analisado no domínio da frequência 
angular. Para isso, é necessário aplicar a transformada de Fourier ao sinal no 
domínio do tempo. O método aplicado é o uso da tabela de transformadas 
ilustrada no Quadro 2.
7Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier
https://goo.gl/G16UZc
https://goo.gl/5rdvuB
https://goo.gl/NBmUNH
https://goo.gl/3dCPsy
Fonte: Adaptado de Lathi (2006).
x(t) X(ω)
e–atu(t)
eatu(–t)
e–a|t|
t ∙ e–atu(t)
tn ∙ e–atu(t)
𝛿(t) 1
1
ejω0t
cos(ω0t)
sen(ω0t)
u(t)
cos(ω0t) ∙ u(t)
sen (ω0t) ∙ u(t)
e–at ∙ cos(ω0t) ∙ u(t)
e–at ∙ cos(ω0t) ∙ u(t)
Quadro 2. Funções no domínio do tempo e suas respectivas transformadas de Fourier
Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier8
O exercício das propriedades das transformadas de Fourier denota um 
processamento de funções ou sinais, exemplificados a seguir (LATHI, 2006).
Linearidade
A transformada da soma de funções multiplicadas por coefi cientes com-
plexos é a mesma se tais coefi cientes forem multiplicados por suas funções 
transformadas:
Mudança de escala
Modulação
Translação no tempo
Teorema de Plancherel
9Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier
Determinação da série de Fourier da função f(t) = t2 no intervalo de –π a π.
Cálculo de a0:
Substituindo o intervalo T = π e f(t) na expressão anterior, você tem:
Cálculo do coeficientean:
Substituindo o intervalo T = π e f(t) na expressão anterior, você tem:
Integrando por partes:
Chamando u = t2, du = 2t ∙ dt e 
Substituindo na equação original e utilizando a relação: 
(STEWART, 2011).
Como sen(nπ) = 0 e sen(0) = 0, o primeiro termo entre parênteses é nulo, assim:
Novamente é necessária a integração por partes.
Chamando u = t e dv = sen(nt), você tem 
Substituindo em an:
Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier10
Analisando o primeiro termo: –t ∙ cos(nt) para n par e diferente de zero e t = π, cos(nt) = 1, 
e para n ímpar cos(nt) = –1, você pode escrever:
O segundo termo entre parênteses, –sen(nt)/n, será nulo, pois tanto sen(π) quando 
sen(0) é zero.
Assim: 
Portanto: 
Cálculo de bn: 
Substituindo os valores de T e f(t):
Como t2 é uma função par e sen(nt) uma função ímpar, o produto delas resultará 
numa função ímpar cuja integral é zero. Assim, o coeficiente bn = 0.
Dessa forma, você finalmente pode escrever a série de Fourier de f(t) = t2, que será 
uma outra função g(t) periódica:
Concluindo: a série g(t) é a extensão periódica da função f(t), representada a seguir 
no intervalo de –2π a +2π, porém seu domínio se estende desde –∞ até +∞ (Figura 4).
g(t)
-π π
π2 π2
a0 a0
t
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Figura 4. Representação do intervalo de –2π a +2π.
11Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier
HAYKIN, S.; VENN, B. V. Sinais e sistemas. Porto Alegre: Bookman, 2001.
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006.
NALON, J. A. Introdução ao processamento digital de sinais. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
ROLAND, E. T.; ALBERT, J. R.; TOUSSAINT, G. J. Análise e projeto de circuitos elétricos lineares. 
6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2011. v. 1.
Introdução à aplicação de séries e transformada de Fourier12
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.