Álgebra Linear: Conceitos Fundamentais

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INTRODUÇÃO 
 A álgebra linear utiliza alguns conceitos e estruturas fundamentais da 
matemática como, vectores, espaços vetoriais, transformações lineares, sistemas de 
equações lineares e matrizes. 
 Muitas das ferramentas básicas da álgebra linear, particularmente aquelas 
relacionadas com a solução de sistemas de equações lineares, datam da antiguidade, 
como a eliminação gaussiana, citada pela primeira vez por volta do século II d.c., 
embora muitas dessas ferramentas não tenham sido isoladas e consideradas 
separadamente até os séculos XVII e XVIII. 
 O método dos mínimos quadrados, usado pela primeira vez por Carl Friedrich 
Gauss no final do século XVIII, é uma aplicação inicial e significante das ideias da 
álgebra linear. Álgebra linear é um ramo da matemática que surgiu do estudo 
detalhado de sistemas de equações lineares, sejam elas algébricas ou diferenciais. 
 A álgebra linear se destaca pela sua funcionalidade através da história da 
matemática. Vejamos exemplos atuais onde ela pode ser aplicada: 
 Na ciência da computação, a computação gráfica é repleta de álgebra linear. 
Manipulação de imagens como o redimensionamento de uma foto, a coloração 
de ícones em um computador e renderização de gráficos em jogos são 
possíveis pelo que chamamos de transformações lineares. 
 A teoria dos grafos, ramo que estuda as relações entre os objectos de um 
determinado conjunto numérico, é baseada na álgebra linear. O matemático 
Leonard Euler contribuiu para esta teoria na tentativa de resolver o famoso 
“problema das pontes de Königsberg”. A teoria evoluiu e é palco de aplicações 
como o desenvolvimento de sistemas de navegação mais eficientes além de 
diversas outras aplicações computacionais. 
OBJECTIVO GERAL: 
 Abordar de forma objectiva e clara todos os sumários já tratados na disciplina 
de Álgebra Linear. 
 
 
 
2 
 
METODOLOGIA DE PESQUISA 
Para a elaboração do trabalho baseamo-nos nas normas técnicas de MIC 
(Metodologia de Ivestigação Científca), técnicas utilizadas pela faculdade de 
Economia para a elaboração de trabalhos científicos.. 
Quanto a abordagem ou método de pesquisa, usou-se o método qualitativo 
porque buscamos uma compreensão particular daquilo que estamos a abordar, o foco 
da atenção é centralizado no específico, buscando sempre o entendimento e não a 
explicação dos fenómenos estudados. Quanto ao tipo de pesquisa implementou-se a 
pesquisa bibliográfica, pois fizemos levantamento bibliográfico através de livros e 
sites. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
CAPÍTULO I- FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
1.1. VECTORES 
Vector é um ente matemático, isto é, algo desenvolvido pela matemática que 
nos ajuda a definir grandezas vectoriais. O vector é simbolizado por uma letra com 
uma seta em cima. 5 
Exemplo1: 
 a e b lê-se: vector a e o outro vector b, ou seja, a leitura é feita em 
função da letra. 5 
 Um vector possui 3 características: 
 Comprimento: refere-se ao tamanho do vector e indicamos o comprimento 
entre barras que chamamos de norma (II II), mantendo a seta e a letra; 
Exemplo2: 
 II c II, norma do vector c. 
 Direcção: refere-se a direcção da recta pode ser: horizontal ou vertical; 
 Sentido: é mostrado pela seta: pode ser direita, esquerda, cima ou baixo. 5 
Exemplo3 : 
g , este vector possuí: direcção horizontal e sentido para direita. 
 d , este vector possuí: direcção vertical e sentido para cima. 5 
 Um vector é definido pela diferença entre dois pontos, isto é, a diferença entre 
cada coordenada dos dois pontos. A norma do vector também coincide com a 
distância entre os dois pontos que o criaram. Imaginemos dois pontos, A e B cujas 
coordenadas são: A(1,5,4) e B(-1,0,6) e pretende-se encontrar o vector u . 5 
Basta fazer o seguinte: 
 AB = B – A = u ou seja u = B – A, logo teremos o seguinte: 
u =(-1,0,6) – (1,5,4) 
u =(-1 - 1, 0 - 5, 6 - 4) 
u =(-2,-5,2). 
Um outro caso: considerando C (-1,2) e D (3,4), encontre o vector v . 
v = D – A 
v = (3,4) – (-1,2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
v = (3 – (-1), 4-2) v = (4,2). 
1.1.1. A NORMA DE UM VECTOR 
A norma é o comprimento do vector e obtém-se por meio do cálculo do 
comprimento desse vector. A norma de um vector é definida da mesma maneira que 
o módulo de um número real. 5 
Seja u (-2,-5,2), calcule a norma deste vector 
II u II = √a2 + b2 + c2, onde: a = -2, b = -5 e c = 2. Assim: 
II u II = √(−2)2 + (−5)2 + 22= √33 
II u II = 5,74 
Para o segundo caso a norma do v (4,2) será igual: 
II v II = √𝑎2 + 𝑏2, onde a = 4 e b = 2. Assim: 
II v II = √42 + 22= √20 
II v II = 4,47 
 Para encontrar a norma de um vector, eleve ao quadrado cada uma das 
coordenadas do vector, some-as e encontre a raiz quadrada da soma. 5 
1.1.2. VECTORES NO PLANO E NO ESPAÇO 
 Para sabermos a que dimensão (Rn) pertence um vector, devemos ter em 
observação o número de coordenadas que constituem o mesmo: Se um determinado 
vector possuir duas coordenadas (x, y) este vector é um vector de R2, se tiver três 
coordenadas (x, y, z) é um vector de R3 e assim sucessivamente. 3 
• VECTORES NO PLANO 
Um vector no plano é representado por um segmento de recta orientado. Dois 
vetores são iguais se têm o mesmo comprimento, a mesma direcção e o mesmo 
sentido. 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 As quatro setas da figura representam o mesmo vector: AB = CD = EF = OP. 1 
Segmento de recta orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o 
primeiro, chamado origem do segmento e o segundo é chamado de extremidade. 3 
O segmento de recta orientado de origem A e extremidade B será representado 
por AB e geometricamente, indicado por uma seta que caracteriza visualmente o 
sentido do segmento. 3 
 
B 
 AB 
 A 
Seja v um vector no plano, definimos os componentes do v como sendo 
coordenadas (v1, v2) do ponto final do representante do v que tem ponto inicial na 
origem. Escreve-se simplesmente: v = (v1, v2). 
 VECTORES NO ESPAÇO 
 Vector no espaço se representa por v=(x,y,z) que é a expressão analítica de v. 
 Onde: 
X = largura 
Y = comprimento 
 
 
 
 
 
6 
 
Z = altura 
 
 Este plano se intercepta segundo os três eixos (x, y, z) dividindo o espaço em 
oito regiões, cada uma delas chamada octante. 3 
1.2. TIPOS DE VECTORES 
1. Vetores iguais (Livre) 
Dois vectores ab e cd são iguais se, e somente se, ab e cd tiverem mesma 
direcção e mesmo comprimento. 3 
2. Vetor Nulo 
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único 
vector, chamado vector nulo ou vector zero, e que é indicado por 0. 3 
3. Vetores Opostos ou Simétricos 
Dado um vector v = ab, o vetor ba é o oposto de ab e se indica por -ba ou por -v. 
4. Vetor Unitário 
Um vector v é unitário se II v II = 1. 3 
Versor 
Versor de um vector v é o vector unitário de mesma direcção e mesmo sentido 
de v. 3 
 
 
 
7 
 
Por exemplo, tomemos um vector v de norma 3. 3 
 
 Os vectores u1 e u2 da figura são vetores unitários, pois ambos têm norma 1. 
No entanto, apenas u1 tem a mesma direção e o mesmo sentido de v. Portanto, este 
é o versor de v. 3 
5. Vectores Colineares (Paralelos) 
 Dois vectores, u e v, são colineares se tiverem a mesma direcção, ou ainda, 
se tiverem representantes AB e CD pertecentes a uma mesma recta ou rectas 
paralelas. 3 
 
São colineares se existe 𝜆 𝜖 Ɍ, tal que u = 𝜆.v . 3 
Exemplo: Dado três pontos A( 1, 0,1), B(1,1,1), C = (1, 6, d), verifiquese são 
colineares 
Vamos originar dois vectores pela diferença entre esses pontos: 
AB= B – A = (1, 1, 1) – (1, 0, 1)= (0, 1, 0) 
BC= C – B = (1, 6, d) – (1, 1, 1) = ( 0, 5, d – 1) 
 
 
 
 
8 
 
Verificar se têm estes dois vectores têm a mesma direcção, isto é, se um é 
múltiplo do outro: 
AB = 𝜆.BC então AB // AC 
(0, 1, 0) = 𝜆(0, 5, d-1) 
Da igualdade entre vectores teremos: 
0 = 0 c.v 
1 = 5𝜆 → 𝜆 = 1/5 
0 = 𝜆(d -1) → se 𝜆 = 1/5 então 0 = 
1
5
(d – 1) → d = 1 
Logo: (0, 1, 0) = 
1
5
(0, 5, 1 -1) → (0, 1, 0) = (0, 1, 0). Desta feita são colineares. 
6. Vectores Coplanares 
Se os vectores não nulos u, v e w possuem representantes AB, CD e EF 
pertencentes a um mesmo plano 𝜋, diz-se que eles são coplanares. Três vectores são 
coplanares quando dois pertencem ao mesmo plano. 3 
 
 Para que três vectores sejam coplanares, eles devem estar no mesmo plano e 
isso acontece se atenderem a qualquer uma das seguintes condições: 
 Os vectores são paralelos, portanto seus componentes são proporcionais e 
linearmente dependentes. 
 Seu produto misto é nulo. 
 
 
9 
 
 Se você tiver três vectores e qualquer um deles puder ser escrito como uma 
combinação linear dos outros dois, esses vectores são coplanares. 
 Por exemplo, um vector que resulta da soma de dois outros, os três estão todos 
no mesmo plano. 2 
 Alternativamente, a condição de coplanaridade pode ser definida da seguinte 
forma: 
 Produto misto entre três vectores: 
 O produto misto entre vetores é definido com três vetores u , v e w, resultando 
em um escalar que resulta da realização da seguinte operação: 
u·( v x w ) = u· (v x w ) 
Exemplo1: Sejam os vectores a = (10, 5) e b = (6, 3) são obtidos. Para determinar se 
são colineares, é aplicada a teoria determinante, que estabelece a igualdade de 
produtos cruzados. 2 
 Dessa forma, devemos: 
 
Exemplo 2: 
Verificar se são coplanares os vectores, u = ( 2, -1, 3), v = (3, 1. -2) e w = (7, -1, 4). 
 Como já visto anteriormente para os vectores sejam coplanares, o seu 
produto misto deve ser igual a zero. Com base nisto teremos: 
 (u , v, w) = 
7 4 
2 -1 3 
3 1 -2 
7 -1 4 
2 3 
 
 
10 
 
 (u , v, w) = (14 + 8 – 9) – (21 -12 + 4) = 13 - 13 = 0 
 Verificando- se que o produto misto entre os vectores é nulo, estes vectores 
são coplanares. Se o produto misto for diferente de 0, os vectores não serão 
coplnares. 
1.3. OPERAÇÕES COM VECTORES 
1º. Adição de Vectores. 1 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
11 
 
2º. Multiplicação por escalar. 1 
 
3º. Subtracção de Vectores. 1 
 
4º. Produto Escalar. 1 
Dados dois vectores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) definimos o produto escalar de 
u por v como sendo o numero: 
 u . v = x1 x2 + y1 y2 
 
 
 
 
12 
 
 
Sejam u = (x1 , y1) e v = (x1 , y2). Então: 
 
1.4. A DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS E ÂNGULOS DE DOIS VECTORES 
A distância d entre os pontos P1 (x1, y1, z1) e P2 (x2, y2, z2) é o módulo do vector 
P1 P2. 3 
Isto é: 
d(P1, P2) = Ӏ P1 P2 Ӏ e, portanto: 
 d(P1, P2) = √(X2 − X1)2 + (Y2 − Y1)2 + (Z2 − Z1)2 
Exemplo1= Calcular a distância entre os pontos P1(7, 3, 4) e P2(1, 0, 6). 3 
No caso presente temos: 
x1 = 7 ; x2 = 1 
y1 = 3 ; y2 = 0 
z1 = 4 ; z2 = 6 
 d( P1, P2) = √(1 − 7)2 + (0 − 3)2 + (6 − 4)2 
d( P1, P2) = √36 + 9 + 4 
d( P1, P2) = √49 
 
 
13 
 
d( P1, P2) = 7 u.c (7 unidades de comprimento) 
 ÂNGULOS DE DOIS VECTORES 
O ângulo de dois vectores u e v não nulos é o ângulo θ formado pelas semi-
rectas AO e OB e tal que 0≤θ≤π. 3 
 
Sejam os vectores u ≠ 0 e v ≠ 0. O ângulo 𝜃 formado pelos dois vectores pode 
ser calculado pela fórmula: 
 
Esta fórmula é de larga aplicação no cálculo do ângulo de dois vectores. 3 
Exercícios: 
1. Calcular o ângulo entre os vectores u = (1, 1, 4) e v = (-1, 2, 2) 
Solução: 
 
 
 
 
 
14 
 
Logo: 
 
1.5. PROJECÇÃO DE UM VECTOR 
Sejam os vectores u e v, com u ≠ 0, v ≠ 0 e 𝜃 o ângulo formado por eles. 
Pretendemos calcular o vector w que representa a projecção de u sobre v. A figura 
3.6 ilustra as duas possíveis situações, podendo ser 𝜃 um ângulo agudo ou obtuso. 3 
 Do triângulo rectângulo, vem: 
 
Figura 3.6 (Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo; Álgebra Linear: 138 Problemas 
Resolvidos E 381 Problemas Propostos. 
 Como w e v têm a mesma direcção, segue-se que: 
 w = k v , K ∈ IR 
 Então: 
 
 Ou: 
 
 
15 
 
 
 Logo: 
 
Portanto, o vector projecção de u sobre v é: 
 
Exercício: determinar o vector projecção de u = (2, 3, 4) sobre v = (1, -1, 0). 3 
Utilizando a fórmula: 
 
 
 
Obtém: 
 
 
 
16 
 
1.6. EQUAÇÃO VECTORIAL DA RECTA 
 Seja r uma recta que passa pelo ponto A e tem a direcção de um vector não 
nulo v. Para que um ponto p do espaço pertença à recta r, é necessário que vectores 
os AP e v sejam colineares. 3 
 isto é: 
AP = t v ou P – A = t.v 
 
 De P – A = t.v , vem: 
 P = A + tv, se P = (x, y, z). A = (x1, y1, z1) e v = (a, b, c). Teremos: 
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) ou P = A + t v; t ϵ IR 
Equação vectorial da recta. 3 
 O vector v = (a, b, c) é chamado vector director da recta e t é denominado 
parâmetro. 
Exemplo: 
 Determinar a equação vectorial da recta r que passa pelo ponto A (3, 0, -5) e 
tem a direcção do vector v = 2i + 2j – k. 3 
 Designando por P (x, y, z) um ponto genérico desse recta tem-se: 
 P = A + tv. 
 
 
17 
 
isto é: 
 r: (x, y, z) = (3, 0, -5) + t(2, 2, -1) 
 Quando t varia de −∞ à + ∞, P descreve a recta r. Logo, se t = 2, por exemplo: 
 (x, y, z) = (3, 0, -5) + t(2, 2, -1) 
 (x, y, z) = (3, 0, -5) + (4, 4, -2) 
 (x, y, z) = (7, 4, -7) 
 O ponto P (7, 4, -7) é um ponto da recta r. 
 Logo é verdadeira a afirmação: 
 (7, 4, -7) = (3, 0, -5) + t(2, 2, -1), para algum número t. 
 Dessa igualdade teremos: 
 t(2, 2, -1) = (7, 4, -7) – ( 3, 0, -5) 
 t(2, 2, -1) = (4, 4, -2) 
 (2t, 2t, -1t) = (4, 4, -2) 
 Da definição de igualdade de vectores, vem: 
 t = 2 
1.7. EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RECTA 
 A equação reduzida da reta é uma função em que o eixo y (ordenadas) é dado 
em função do eixo x (abscissas). Dessa forma, dado um valor do eixo x podemos 
achar o valor do eixo y e marcar o ponto (x,y). Por se tratar de uma recta, a equação 
reduzida da reta sempre será uma equação do primeiro grau. Portanto uma equação 
reduzida da reta terá o seguinte formato: 
 y = 𝑚𝑥 + 𝑐 
 
 
 
18 
 
Onde: 
y: valor do eixo y; 
m: coeficiente angular; 
x: valor do eixo x; 
c: constante. 
 Observem que “c” é uma constante e determina o valor de y, quando o valor de 
x é igual a zero. 4 
 O coeficiente angular indica a inclinação da recta. O cálculo do coeficiente 
angular pode ser feito de duas formas: através do ângulo de inclinação ou por meio 
de dois pontos da recta. A decisão de qual método utilizar, vai depender dos dados 
que você possuir sobre o exercícios. As duasfórmulas do coeficiente angular são: 
m = tan 𝜃 
e 
m =
𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
 
 Para achar a equação reduzida da recta, é preciso que já tenha calculado o 
coeficiente angular. 4 
 A fórmula da equação reduzida da recta é: 
y – y1 = m(x – x1) 
 Em que: 
y: valores do eixo y; 
x1 e y1: coordenadas de um ponto qualquer da recta; 
m: coeficiente angular. 4 
 Exemplo: encontre a equação reduzida da recta que passe pelos pontos P(2,3) 
e Q(3,5). 4 
 
 
19 
 
 
1º Passo: Calcular o coeficiente angular (m) 
m =
𝑌2−𝑌1
𝑋2−𝑋1
 
m = 
5−3
3−2
= =
2
1
 
m = 2 
2º Passo: Calcular a equação da recta. 
y – y1 = m(x – x1) 
y – 3 = 2(x – 2) 
y = 2x – 4 + 3 
y= 2x – 1 
Exemplo2: Calcule a equação reduzida da recta que intercepta os pontos P(-1,4) e 
Q(2,-2). 
 
 
 
 
 
20 
 
1.8. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO 
Seja A (x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano 𝜋 e n = ai + bj + ck, n = (0, 
0, 0) um vector normal ortogonal ao plano. O plano 𝜋 pode ser definido como sendo o 
conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do espaço tais que o vector AP é ortogonal a n 
(conforme a figura abaixo espelha). 3 
 
O ponto P pertence a π se, e somente se : 
n . AP= 0 
Tendo em conta que: 
n = (a, b, c) e AP = (x – x1, y – y1, z – z1), a equação fica: 
a( x – x1) + b ( y – y1) + c( z – z1) ou ainda: ax + by+ cz – ax1 – by1 – cz1 = 0 
 Fazendo: – ax1 – by1 – cz1 = d, resulta: ax + by+ cz + d = 0, esta é a equação 
geral do plano 𝜋 na qual d é o elemento que diferencia um plano do outro. O valor de 
d existe quando se conhece um ponto do plano. 3 
Exemplo1: Determinar a equação geral do plano 𝜋 que passa pelo ponto A ( 2, -1, 3) 
sendo n = (3, 2, -4) um vector normal a 𝜋. 3 
Se n é normal ao plano, sua equação é do tipo: 
3x + 2z -4z +d = o 
 
 
21 
 
Como o ponto A pertente ao plano, suas coordenadas devem verificar a equação, isto 
é: 
3(2) + 2(-1) – 4(3) + d = 0 
 6 – 2 – 12 + d = 0 
 d = 8 
Logo a equação geral do plano 𝜋 é: 
3x + 2y – 4z + 8 = 0 
Exemplo2: Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto A (1, -3, 4) e é 
paralelo aos vectores v1 = (3, 1, --2) e v2 = ( 1, -1, 1). 3 
 Os vectores base do plano são v1 e v2, um vector normal ao plano é: 
n = v1 x v2 = 1 1 
 i j k 
 3 1 -2 = i – 2j – 3k – ( 2i + k + 3j) = ( i – 2i, -2j – 3j, -3k – k) 
 1 -1 1 =( -1, -5, -4) 
 i k 
Então a equação geral do plano é: 
- 1(x -1) – 5(y + 3) – 4(z -4) = 0 
-x – 5y – 4z + 1 – 15 + 16 = 0 
Ou: x + 5y + 4z – 2= 0 
1.9. SUBESPAÇO VECTORIAL 
 É um espaço vectorial dentro de outro espaço vectorial, ou seja, está dentro de 
um espaço vectorial. Também podemos dizer que é um subconjunto. 
 Ex: V≠ O 
 
 S 
 
 
22 
 
 V é um espaço vectorial e S um subspaço. 
No entanto, existem 3 condições a obedecer para que S seja um subspaço 
vectorial de V: 
1) Verificação do vector nulo: o vector nulo ( 0 ) deve pertencer a S ou ( 0 ∈1 S) 
2) Soma de dois vectores: se S for formado pelos vectores, u1 e u2, a soma de u1 
+ u2 deve resultar em um valor que pertença a S ou (u1 + u2 ∈ S); 
3) Multiplicação do produto escalar com um vector: se multiplicar u por um número 
real, deve resultar num valor que pertença a S. (∝ × u ∈ S), ∝ 2 ∈ Ɍ. 
 
Exercícios: sejam V= Ɍ2 e S = { (x,y) ∈ Ɍ2 / y= 3x}. Verifique se S é subespaço 
vectorial de Ɍ2. 
 
 
 V = Ɍ2 
 S= { (x,3x) / x ∈ Ɍ) 
 
Para verificar se S é subespaço de V, deve-se testar as 3 condições: 
1) 0 ∈ S: se x= 0 ↔ S = (0, 3×0) ↔ S= (0,0), ou seja, (0,0) ∈ S. A primeira condição 
está verificada. 
2) u1 + u2 ∈ S: u1 = (x1, 3x1) e u2 = (x2, 3x2); 
u1 + u2 ↔ (x1, 3x1) + (x2, 3x2) = (x1 + x2, 3x1 + 3x2) 
 ↔ u1 + u2 = [x1 + x2, 3(x1 + x2)]. Verifica-se que u2 é o triplo de u1 então, está 
codição está comprovada. 
3) ∝ × u1 ∈ S: ∝ (x1, 3x1 ) = (∝ x1, 3∝ x1) 
Conclui-se que S é um subespaço do espaço vectorial V. 
 
 
1 ∈- Pertence 
2 ∝- alfa 
 
 
 
 
23 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 Os vectores, muito estudados em Álgebra Linear, nada mais são do que a tripla 
constituída de uma direcção, um sentido e um comprimento. Representam também 
um conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direcção, de mesmo 
sentido e de mesmo comprimento (vectores iguais). São muito utilizados no cotidiano, 
pois ajudam a dar uma noção de direcção. Com o estudo dos mesmos aprendemos 
que eles contêm um módulo (força) da maneira que são medidos e podem fornecer 
precisamente grandezas vectoriais. 
 A álgebra linear é de facto uma das ferramentas mais importantes, versáteis e 
úteis da matemática. Também é considerada como conhecimento elementar não só 
para matemáticos, mas para diversos profissionais, tais como: engenheiros, 
economistas, físicos, cientistas da computação, programadores, estatísticos, 
biólogos, gestores, entre outros. Para iniciar os estudos em álgebra linear, é 
necessário ter um contacto prévio com a geometria analítica: ter noções sobre 
sistemas de equações, determinantes e também sobre vetores. Uma vez habituado 
com estes temas, é possível aprender conteúdos mais aprofundados em álgebra 
linear. 
 Os vectores são usados para expressar grandezas físicas vectoriais, ou seja, 
aquelas que só podem ser completamente definidas se conhecermos o seu valor 
numérico, a direcção em que actuam (horizontal e vertical), bem como o seu o sentido 
(cima, baixo, direita, esquerda). 
 No entanto, a compreensão de todos os aspectos abordados neste trabalho, 
desde os vectores até ao subespaço vectorial julgam-se importantes para melhor 
aproveitamento na disciplina de Álgebra Linear. 
 
 
 
 
 
 
24 
 
REFERÊNCIAS 
1. CAPELA, Jorge M. V. et al; Vectores no Plano; Instituto de Quíımica – UNESP; 
Araraquara, SP; 2017. 
2. MCLAUGHLIN, Abraham; O que são vectores coplanares? (Com exercícios 
resolvidos); Disponível em: https://www.pokemongoplanet.com/article/qu-son-
los-vectores-coplanares-con-ejercicios-resueltos. [acessado em 17/12/2021] 
3. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo; Álgebra Linear: 138 problemas 
resolvidos e 381 problemas propostos. 
 Disponível em: 
4. https://comocalcular.com.br/matematica/equacao-reduzida-da-reta. [acessado 
em 05/12/2021] 
5. https://www.canalfísica.net.br/ mega aula completa de vectores. [acessado em 
05/12/2021] 
6. https://www.omatemático.com.br/ubespaçovectorial.[acessado em 05/12/2021] 
 
 
https://www.pokemongoplanet.com/article/qu-son-los-vectores-coplanares-con-ejercicios-resueltos
https://www.pokemongoplanet.com/article/qu-son-los-vectores-coplanares-con-ejercicios-resueltos
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