aula 4 Gabarito Exercícios Equações de Equivalência

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UFRRJ - DCAC - 2013 UNIDADE 4: EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA 
 GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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EQUAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA DE VALORES DATADOS 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 
 
 
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 MARCIA REBELLO DA SILVA 
 
 
 
1) $ 6.000 vencível: 42 meses 
$ 7.000 vencível: 48 meses 
$ 12.300 vencível: início 7º ano => final 6º ano = 72 meses 
i = 3% a.m 
Pagam único = X = ? a) 24 meses b) 60 meses 
Solução: 
a) Data Focal em 24 meses 
 X (1,03)(DF − 24) = 6.000 (1,03)(DF − 42) + 7.000 (1,03)( DF − 48) + 12.300 (1,03)(DF − 72) 
 X (1,03)(24− 24) = 6.000 (1,03)(24− 42) + 7.000 (1,03)(24− 48) + 12.300 (1,03)(24− 72) 
X = 6.000 (1,03)−18 + 7.000 (1,03)-24 + 12.300 (1,03)-48 
X = 3.524,37 + 3.443,54 + 2.976,58 
X = $ 9.944,49 
Resposta: $ 9.944,49 
 
b) Data Focal em 60 meses: 
X (1,03)(DF − 60) = 6.000 (1,03)(DF − 42) +7.000 (1,03)(DF − 48) + 12.300 (1,03)(DF − 72) 
X (1,03)(60 − 60) = 6.000 (1,03)(60 − 42) +7.000 (1,03)(60 − 48) + 12.300 (1,03)(60 − 72) 
X = 6.000 (1,03)18 + 7.000 (1,03)12 + 12.300 (1,03)−12 
X = 10.214,60 + 9.980,33 + 8.626,97 
X = $ 28.821,90 
Resposta: $ 28.821,90 
 
2) Preço à vista = $ 1.300 Cada pagamento = ? 
1o. pag. = 3o. pag. = (1,5) 2o. pag. 
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i = (36%) (1/12) = 3% a.m. 
1o. pag. → 1o. sem.= 6 meses. 2o. pag. → 1o. ano = 12 meses 
3o. pag. → 5o. sem. = 30 meses 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF) = Entrada(DF) + Prestações(DF) 
 Solução: Equação de Valor na Data Focal = Trinta meses 
1,5 X (1,03)(30 − 6) + X (1,03)(30 − 12) + 1,5 X (1,03)(30 − 30) = 1.300 (1,03)(30 − 0) 
1.300 (1,03)30 = 1,5 X (1,03)24 + X (1,03)18 + 1,5 X = 1.300 (1,03)30 
3,05 X + 1,70 X + 1,5 X = 3.155,44 
6,25 X = 3.155,44 
 X = $ 504,87 
2º. Pagamento = $ 504,87 
 1,5 X = (504,87) (1,5) = 757,31 
1 e 3º. Pagamentos = $ 757,31 
Resposta: $ 757,31; $ 504,87; $ 757,31 
 
 
3) Investim. Inicial = $ 9.700 1ª ret. = (0,30) 2ª ret. 
1ª ret → 3º mês 2ª ret. → 5º mês 
Saldo = $ 3.500 → 9º mês Valor da 1ª ret. = ? 
 
Solução: ∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
Data Focal = Nove meses 
9.700 (1 + 0,08)(DF − 0) − [0,3 X (1,08)(DF − 3) + X (1,08)(DF − 5)] = 3.500 (1 + 0,08)(DF − 9) 
9.700 (1,08)(9 − 0) − [0,3 X (1,08)(9 − 3) + X (1,08)(9 − 5)] = 3.500 (1,08)(9 − 9) 
9.700 (1,08)9 − [0,3 X (1,08)6 + X (1,08)4] = 3.500 
19.390,34 − 1,84 X = 3.500,00 
X = $ 8.636,05 
1º retirada = (0,3) (8.636,05) = $ 2.590,82 
Resposta: $ 2.590,82 
 
 
 
4) Preço à vista = $ 39.000 E = ? 
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1º pag. = $ 6.000 → 2 meses 2º pag. = $ 8.100 → 5 meses 
3º pag. = $ 9.400 → 9 meses 4º pag. = $ 12.000 → 13 meses 
i = (42%) ( 1/12) = 3,5% a.m. 
Solução: Data focal = Zero 
 Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF) = Entrada(DF) + Prestações(DF) 
 E + 6.000 (1,035)(DF − 2) + 8.100 (1,035)(DF − 5) + 9.400 (1,035)(DF − 9) + 12.000 (1,035)(DF − 13) = 
 = 39.000 
 E + 6.000 (1,035)(0 − 2) + 8.100 (1,035)(0 − 5) + 9.400 (1,035)(0 − 9) + 12.000 (1,035)(0 − 13) = 39.000 
 
 39.000 = E + 6.000 (1,035)(−−−−2) + 8.100 (1,035)(−−−−5) + 9.400 (1,035)(−−−−9) + 12.000 (1,035)(−−−−13) 
E = 39.000,00 − 26.990,97 
E = $ 12.009,03 
Resposta: $ 12.009,03 
 
5) $ 7.000 → 3 meses $ 10.000 → 8 meses $ 28.000 → 15 meses 
2º pag. = (2) 1º pag. 1º pag. → 12 meses 2º pag. → 24 meses 
i = 6% a.m Valor do 2º pag. = ? 
Solução: Data Focal = Vinte e quatro meses 
 7.000 (1,06)(DF − 3) + 10.000 (1,06)(DF− 8) + 28.000 (1,06)(DF − 15) = X (1,06)(DF − 12) + 
 + 2 X (1,06)(DF− 24) 
7.000 (1,06)(24 − 3) + 10.000 (1,06)(24 − 8) + 28.000 (1,06)(24 − 15) = X (1,06)(24 − 12) + 
 + 2 X (1,06)(24 − 24) 
 7.000 (1,06)(21) + 10.000 (1,06)(16) + 28.000 (1,06)(9) = X (1,06)(12) + 2 X 
 96.505,87 = 4,01X 
X = $ 24.066,30 
2º Pagamento = (2) (24.066,30) = 48.132,60 
Resposta: $ 48.132,60 
 
 
6) Preço à Vista = $ 135.000 E = $ 25.000 i = 2,5% a.t. 
Pagamento = X = ? 
Solução: Data Focal: Zero 
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Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
 
25.000 (1,025)(DF − 0) + X (1,025)(DF − 1) + X (1,025)(DF − 2) + + X (1,025)(DF − 3) + 
 + X (1,025)(DF − 4) = 135.000 (1,025)(DF − 0) 
 
25.000 (1,025)( 0 − 0) + X (1,025)(0 − 1) + X (1,025)(0 − 2) + X (1,025)(0 − 3) + 
 + X (1,025)(0− 4) = 135.000 (1,025)(0 − 0) 
 
25.000 + X (1,025)(−1) + X (1,025)(− 2) + X (1,025)(− 3) + X (1,025)(− 4) = 135.000 
25.000 + X (0,98) + X (0,95) + X (0,93) + X (0,91) = 135.000 
X = 135.000 − 25.000 
 3,77 
X = $ 29.177,72 
Resposta: $ 29.177,72 
 
7) Dep. Inicial = $ 6.900 
X → 1º mês X → 2º mês X → 3º mês 
Saldo = $ 73.000 → 3 + 4 = 7º mês i = 5% a.m X = ? 
Solução: ∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
Data Focal = Sete meses 
6.900 (1,05)(DF − 0) + X (1,05)(DF − 1) + X (1,05)(DF − 2) + X (1,05)(DF − 3) = 73.000 (1,5)(DF − 7) 
6.900 (1,05)(7 − 0) + X (1,05)(7 − 1) + X (1,05)(7 − 2) + X (1,05)(7 − 3) = 73.000 (1,5)(7 − 7) 
6.900 (1,05)(7) + X (1,05)(6) + X (1,05)(5) + X (1,05)(4) = 73.000 
6.900 (1,05)(7) + X (1,05)(6) + X (1,05)(5) + X (1,05)(4) = 73.000 
9.708,99 + X ( 3,83) = 3.500 
X ( 3,83) = 63.291,01 
 X = $ 16.525,07 
Resposta: $ 16.525,07 
 
 
8) Preço à vista = $ 1.800 i = 60% a.a. 
E = (25%) (1.800) = $ 450 
1º pag. = $ 750 → 3º mês 2º pag. = X → 3 + 2 = 5º mês 
Valor 2º pag. = X = ? 
 
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Solução: 
Transformar a taxa anual (capitalização anual) para taxa mensal (capitalização mensal) => 
através de taxas equivalentes 
 
P (1 + ia.a.)
1 = P (1 + ia.m.)
12 
(1 + 0,60) = (1 + ia.m.)
12 
ia.m.
 = (1,60)1/12 − 1 
ia.m.
 ≈ 0,0399 a.m. 
Preço a Prazo se equivale ao Preço à Vista 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF) = Entrada(DF) + Prestações(DF) 
Data Focal = Cinco meses 
450 (1,0399)(DF − 0) + 750 (1,0399)(DF − 3) + X (1,0399)(DF − 5) = 1.800(1,0399)(DF − 0) 
 
450 (1,0399)(5 − 0) + 750 (1,0399)(5 − 3) + X (1,0399)(5 − 5) = 1.800 (1,0399)(5 − 0) 
 450 (1,0399)(5) + 750 (1,0399)(2) + X (1,0399)(0) = 1.800 (1,0399)(5) 
 X = (1.800 − 450) (1,0399)(5) − 750 (1,0399)(2) 
 X = 1.641,92 − 811,04 
X = $ 830,88Resposta: $ 830,88 
 
9) Dep. Inicial = ? i = 2% a.m. 
1ª Ret. = $ 2.850 → 1º sem = 6 meses 
2ª Ret. = $ 2.850 → 3º sem = 18 meses 
Saldo = $ 950,00 → 3 + 18 = 21meses 
 Solução: Data Focal = Zero 
X (1,02)(DF − 0) − 2.850,00 (1,02)(DF − 6) − 2.850,00 (1,02)(DF − 18) = 950,00(1,02)(DF − 21) 
X (1,02)(0 − 0) − 2.850,00 (1,02)(0 − 6) − 2.850,00 (1,02)(0 − 18) = 950,00(1,02)(0 − 21) 
 X − 2.850,00 (1,02)−6 − 2.850,00 (1,02)−18 = 950,00 (1,02)−21 
 X = $ 5.152,96 
Resposta: $ 5.152,96 
 
 
10) $ 4.000 → 1 mês $ 7.500 → 2 meses $ 9.200 → 5 meses 
1º pag = 2 x 2º pag. 1º pag. → 4 meses 2º pag. → 9 meses 
i = 41,85% a.s. 2º pag. = X 1º pag = 2 X = ? 
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Solução: Data Focal = Nove meses 
P (1 + ia.s.)
1 = P (1 + ia.m.)
6 
(1 + 0,4185) = (1 + ia.m.)
6 
ia.m.
 = (1,4185)1/6 − 1 = 0,0600 
4.000 (1,06)(DF − 1) + 7.500 (1,06)(DF − 2) + 9.200 (1,06)(DF − 5) = 2 X (1,06)(DF − 4) + X(1,06)(DF − 9) 
4.000 (1,06)(9 − 1) + 7.500 (1,06)(9 − 2) + 9.200 (1,06)(9 − 5) = 2 X (1,06)(9 − 4) + X(1,06)(9 − 9) 
4.000 (1,06)8 + 7.500 (1,06)7 + 9.200 (1,06)4 = 2 X (1,06)5 + X 
 29.267,41 = 3,68 X 
X = $ 7.953,10 
1º pagam = (2) (7.953,10) = $ 15.906,20 
Resposta: $ 15.906,20 
 
11) Preço à vista = ? i = (12%) (1/4) = 3% a.m. 
E = $ 250 
1ª prestação = $ 340 → 3º mês 2ª prestação = $ 340 → 4º mês 
3ª prestação = $ 340 → 5º mês 4ª prestação = $ 340 → 6º mês 
Solução: Data Focal = Zero 
 250 + 340 (1,03)−3 + 340 (1,03)−4 + 340 (1,03)−5 + 340 (1,03)−6 = X 
250 + 340 (0,94) + 340 (0,89) + 340 (0,86) + 340 (0,84) = X 
X = $ 1.450,20 
Resposta: $ 1.450,20 
 
12) Solução: Data focal = 36 meses 
35.000 (1,03)(12 − 0) (1,045)(DF − 12) − 0,7 X (1,03)(12 − 8) (1,045)(DF − 12) − X (1,045)(DF − 18) = 
 = 3.500 
 
35.000 (1,03)(12 − 0) (1,045)(36 − 12) − 0,7 X (1,03)(12 − 8) (1,045)(36 − 12) − X (1,045)(36 − 18) = 
 = 3.500 
35.000,00 (1,03)(12 ) (1,045)(24) − 0,7X (1,03)(4) (1,045)(24) − X (1,045)(18) = 3.500 
143.517,78 − 2,37 X − 2,21 X = 3.500,00 
X = 140.017,78 
 4,58 
X = $ 30.571,57 
 1º pagamento = (07) (30.571,57) = $ 21.400,10 
Resposta: $ 21.400,10