Concreto Protendido e Perdas

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CONCRETO PROTENDIDCONCRETO PROTENDIDO EO E
PPONTESONTES
PERDAS DE PROTENSÃO,PERDAS DE PROTENSÃO,
ESTADO LIMITE ÚLTIMOESTADO LIMITE ÚLTIMO
(ELU) E PROJETO DE VIGAS(ELU) E PROJETO DE VIGAS
Au to r ( a ) : M e . M a r i a n a A l ve s K i rc h n e r
R ev i s o r : Fa b r i c i o A l o n s o R i c h m o n d N ava r ro
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Introdução
Prezado(a) estudante! Você sabia que o concreto protendido difere muito do concreto
armado? Pois bem, essa diferença não se dá somente na metodologia construtiva em si,
mas também na parte de cálculo e projeção. Assim, nas estruturas protendidas, temos um
conjunto de forças e tensões atuantes que devem ser consideradas. Além disso, é
importante estar atento às formas geométricas da estrutura que se deseja estudar e ao
local em que a mesma se encontra inserida.
Diante disso, veremos aqui a forma de calcular diferentes parâmetros do concreto
protendido, sua aplicabilidade na construção civil e suas especi�cidades. É com
entusiasmo que convido você para a leitura deste livro. Vamos lá!
Estudante, as perdas de protensão são de extrema importância para o estudo do concreto
protendido, porque é necessário dimensionar e calcular uma estrutura levando em
consideração essa variável. Dessa forma, evita-se que a estrutura �que superestimada ou
subestimada. As perdas podem ocorrer ao longo da vida útil do concreto, e, portanto, as
estruturas devem ser dimensionadas levando em conta essas perdas, que podem ocorrer
em diferentes momentos. Essas perdas podem ocorrer devido aos fenômenos reológicos
pelos quais as estruturas podem passar.
Perdas de protensão
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Essas perdas são esperadas e calculadas, de modo que não são consideradas uma
patologia, desde que estejam dentro dos parâmetros calculados para cada tipo de estrutura
e material. Portanto, veremos as perdas e a forma de calculá-las uma a uma.
Fenômenos reológicos
S A I B A M A I S
O estudo apresenta, de forma experimental, as perdas de protensão em lajes de uma edi�cação,
que foram medidas imediatamente e após 170 dias. O estudo traz de forma detalhada todas as
perdas e uma análise ponderada dos aspectos relacionados a esse fenômeno, veri�cando perdas
signi�cativas ao longo do tempo.
Para saber mais, acesse o link a seguir. Disponível em:
https://www.scielo.br/j/riem/a/ysPb8C8fDr6qyyvrcj85MML/?lang=pt&format=pdf. Acesso em: 11
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https://www.scielo.br/j/riem/a/ysPb8C8fDr6qyyvrcj85MML/?lang=pt&format=pdf
https://www.scielo.br/j/riem/a/ysPb8C8fDr6qyyvrcj85MML/?lang=pt&format=pdf
Vimos, assim, que as perdas de protensão são esperadas e de extrema importância para o
dimensionamento correto de uma estrutura protendida. Diante disso, iremos nos
aprofundar nas formas de perda ao longo do tempo e também na forma de cálculo dessas
perdas.
Perdas de protensão ao longo do tempo
As perdas ao longo do tempo ocorrem como resultado de um contexto de causa e
consequência. Podem ser originadas por meio de um ou outro componente, como o aço, o
concreto ou o sistema de ancoragem. No entanto, as consequências serão para a peça
como um todo. Esse tipo de perda ocorre após a transferência de protensão e se intensi�ca
ao longo da vida útil da estrutura.
Estudante, anteriormente, estudamos os fenômenos reológicos que podem ocorrer em uma
estrutura, incluindo a �uência, relaxação e retração. Apresentaremos, no infográ�co a
seguir, essas formas de perda individualmente, para compreender o contexto em que cada
uma ocorre:
jun. 2023.
Fonte: Elaborado pelo autor.
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https://www.scielo.br/j/riem/a/ysPb8C8fDr6qyyvrcj85MML/?lang=pt&format=pdf
Fonte: starline / Freepik.
#PraCegoVer: o infográ�co apresenta o título “Fenômenos reológicos”, e, acima dele, três
pequenos círculos: o primeiro lilás, o segundo rosa e o terceiro, verde. Abaixo, vemos três
círculos grandes. O primeiro, à esquerda, na cor lilás, apresenta o subtítulo “Fluência” e o texto: “A
�uência no concreto ocorre devido à aplicação de cargas externas na estrutura, causando
tensões de compressão no concreto. Ela se altera de acordo com diferentes fatores, como o
tempo, a temperatura, a umidade e a dosagem do concreto, os tipos de agregados, as dimensões
da estrutura e o seu formato. Podendo ser diminuída com uso de armadura complementar e
de�nida como ‘o aumento da deformação de encurtamento no concreto ao longo do tempo
quando submetido à tensão de compressão permanente e constante” (BASTOS, 2019, p. 55)’”. O
segundo, ao centro, na cor rosa, apresenta o subtítulo "Relaxação" e o texto: “As tensões
aplicadas no aço das estruturas protendidas acabam por causar uma �uência no próprio aço.
Essa causalidade gera também uma deformação elástica no aço, acarretando a perda de tensão
da peça, havendo, assim, a relaxação. Para diminuir essa perda, a indústria hoje lança mão de
aços com propriedade de baixa relaxação”. O terceiro, à direita, na cor verde, apresenta o
subtítulo “Retração” e o texto: “O concreto, para sair do estado fresco para o estado endurecido,
passa por uma variação volumétrica, isso porque o concreto possui água em sua composição, e,
durante o processo de endurecimento, há uma perda desta. Essa perda varia ainda em função
das dimensões da estrutura, da temperatura e da umidade local. Essas transformações acabam
interferindo na protensão. Podendo ser diminuída com uso de armadura complementar”.
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Dentre as perdas de protensão ao longo do tempo, temos: perda por �uência, perda devido
a relaxação e perda por retração. "As perdas diferidas ou ao longo do tempo ocorrem
devido às propriedades viscoelásticas tanto do concreto quanto do aço" (CARVALHO, 2012,
p. 69). Para estudar a perda de protensão ao longo do tempo, é necessário conhecer as
deformações que ocorrem no aço e no concreto. Portanto, veremos, uma a uma, as
deformações no concreto e no aço, tanto por �uência quanto por retração.
Deformações no concreto
A deformação no concreto pode ocorrer de forma isolada ou conjunta. Em alguns casos, a
deformação ocorre devido às próprias propriedades do concreto, enquanto em outros
momentos é causada por ações externas de outros elementos que provocam deformação
no concreto.
O concreto é um material que pode sofrer deformações quando não há impedimento para
essa ação e quando é aplicada uma tensão constante no intervalo de tempo (t , to). Sua
deformação total no tempo t, vale (t) = (t0) + (t) + (t)
Onde:
(t0) deformação imediata, por ocasião do carregamento
 (t) é a deformação por �uência, no intervalo de tempo (t, to)
 (t)  é deformação por retração, no intervalo de tempo
Deformações no aço
Quando não há impedimento para a livre deformação e deseja-se veri�car a deformação da
armadura, utiliza-se:
Onde:
: é a deformação imediata, dada por ocasião do carregamento;
: deformação por �uência, ocorrida no intervalo de tempo (t, to) é
considerada sempre que σs (to) > 0,5 ftpk.
Quando a livre deformação por �uência não se dá de forma livre, sendo impedida, calcula-
se a deformação total por:
ec ec ecc ecs
ec
ecc
ecs
(t) = + . (t, t0)εs
(to)σs
Es
(to)σs
Es
σs (to)
Es
. x (t, t0)
(to)σs
Es
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Onde:
∆σs (t, to): variação total de tensão na armadura, no intervalo (t, to).
Deformações características devido à �uência e à
retração
Para estruturas em que não há necessidade de precisão absoluta, é possível obter os
valores �nais do coe�ciente de �uência ϕ(t∞,to) e da deformação especí�ca de retração
∈cs(t∞,to) do concreto quando estes são submetidos a tensões menores que 0,5fc, bem
como durante a primeira carga. Esses valores podem ser obtidos por meio de interpolação
linear, de acordo com o quadro a seguir.
Os valores no quadro são relativos a temperaturas do concreto entre 10 e 20°C, e pode-se
assumir uma temperatura de 0 a 40°C. Observe!
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Quadro 2.1: Deformações características
Fonte: adaptado de Carvalho (2012, p. 100).
#PraCegoVer: no quadro temos seis colunas principais e oito linhas com os valores da
umidade ambiente que varia entre 40, 55, 75 e 90% e da espessura equivalente, que
pode ser 20 ou 60 cm, variando de acordo com os dias. A variação ocorre entre os
valores de 5, 30 e 60, e assim encontra-se o valor de e . Na primeira
linha, a primeira e segunda colunas estão mescladas, e se lê: Umidade Ambiente (%);
na segunda coluna, se lê: 40; na terceira, se lê: 55; na quarta, se lê: 75; na quinta, se lê:
90. Na segunda linha, a primeira e segunda coluna também estão mescladas, e se lê:
Espessura Equivalente 2Ac/u (cm); na segunda, se lê: 20 e 60; na terceira: 20 e 60; na
quarta: 20 e 60; na quinta: 20 e 60. Na terceira linha, as duas primeiras colunas não
estão mais mescladas, mas as linhas 3, 4 e 5 sim, em ambas. Assim, na primeira
coluna se lê: ; na segunda coluna, se lê: dias 5, 30 e 60. Já na terceira
coluna, as linhas não estão mais mescladas, e temos, então: 4,4 e 3,9; na quarta
coluna: 3,8 e 3,3; na quinta: 3,0 e 2,6; na sexta: 2,3 e 2,1. Na quarta linha, terceira
coluna, temos: 3,0 e 2,9; na quarta: 2,6 e 2,5; na quinta: 2,0 e 2,0; na sexta, 1,6 e 1,6. Na
φ (t, to) (t, to)ϵcs
φ (t, to) to
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Temos, assim, as principais variáveis que interferem nas perdas ao longo do tempo. A partir
dessas perdas pontuais, poderemos analisar as perdas totais de tensão na estrutura como
um todo, em vez de analisar separadamente as partes, como o concreto, o aço e suas
propriedades físicas de �uência e retração.
Calculando a perda
A retração pode ser calculada livremente quando se considera o encurtamento na seção da
peça analisada como εc,c(t0,∞). Essa retração livre, na qual se considera o aço e o concreto
aderidos, resulta no encurtamento do aço, causando a seguinte perda de tensão:
∆σp,s(t, t0)= (t, to). Ep
Como vimos anteriormente no Quadro 2.1, é possível utilizar valores característicos. No
entanto, quando se deseja determinar os valores com mais precisão, pode-se recorrer a:
(t, to) = [ βs (t) - βs (to) ]
 = . s = valor �nal da retração
Onde:
βs (t) ou βs (to): coe�ciente relativo à retração, em momento t ou to;
: o valor �nal da retração;
: coe�ciente dependente da umidade relativa do ambiente e da consistência do
concreto;
: coe�ciente dependente da espessura �ctícia da peça;
quinta linha, terceira coluna, temos: 3,0 e 2,6; na quarta: 2,2 e 2,2; na quinta: 1,7 e 1,8;
na sexta: 1,4 e 1,4. Na sexta linha, as duas primeiras colunas também não estão mais
mescladas, mas as linhas 6, 7 e 8 sim, em ambas. Assim, na primeira coluna se lê:
 ; na segunda coluna, se lê: dias 5, 30 e 60. Já na terceira coluna, as
linhas não estão mais mescladas, e temos, então: -0,44 e -0,39; na quarta coluna: -0,37
e -0,33; na quinta: -0,23 e -0,21; na sexta: -0,10 e -0,09. Na sétima linha, terceira coluna,
temos: -0,37 e -0,38; na quarta: -0,31 e -0,31; na quinta: -0,20 e -0,20; na sexta: -0,09 e
-0,09. E, na oitava linha, terceira coluna, temos: -0,32 e -0,36; na quarta: -0,27 e -0,30; na
quinta: -0,17 e -0,19; na sexta: -0,08 e -0,09.
(t, to)ϵcs %0 to
εcs
εcs εcs00
εcs00 ε1s ε2s
εcs00
ε1s
ε2s
=  ε2s
33+2hfic
20,8+3hfic
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Onde:
: espessura �ctícia de�nida (em centímetros);
t: idade �ctícia do concreto no momento (dias);
to: idade �ctícia do concreto (dias) no momento em que o efeito da retração na peça é
considerado. Para a espessura �ctícia, temos:
Onde:
: como o coe�ciente dependente da umidade relativa do ambiente (U% ), já que a retração
está diretamente relacionada a esse fator.
Sendo γ = 1 + exp (-7,8 + 0,1U);
Ac: área da seção transversal da estrutura;
r = parte do perímetro externo da seção transversal da peça em contato com o ar, de
modo a veri�car a ação dessa com o ambiente.
Para determinarmos ainda a �uência e a retração de acordo com o ambiente e com o γ
podemos utilizar os parâmetros apresentados no quadro a seguir:
hfic
= γhflc
2Ac
μar
γ
μar
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Quadro 2.2: Tração e �uência
Fonte: adaptado de Carvalho (2012, p. 102).
#PraCegoVer: temos um quadro com nove colunas principais e sete linhas, sendo que
a coluna de �uência e de retração, terceira e quarta, se subdividem em outras três
colunas, apresentando os valores de �uência e retração para cada ambiente em que a
estrutura está exposta, e ainda de acordo com o abatimento do concreto em cm de
acordo com a NBR 7223. As linhas 1, 2 e 3 estão mescladas nas duas primeiras
colunas. Assim, na primeira coluna, se lê: Ambiente; na segunda, se lê: Umidade; na
terceira, que não possui linhas mescladas, se lê: Fluência ; na quarta, a qual
também não possui linhas mescladas, se lê: Retração ; já na quinta
coluna, estão mescladas as linhas 1, 2 e 3, onde se lê:  (4). Na segunda linha, na
primeira coluna, se lê: Ambiente; na segunda, se lê: Umidade; já as colunas 3 e 4 estão
mescladas, e se lê: Abatimento de acordo com a NBR-7223 (em cm) (3); na quinta
coluna, estão mescladas as linhas 1, 2 e 3, onde se lê:  (4). Na terceira linha, na
primeira coluna, se lê: Ambiente; na segunda, se lê: Umidade; e a partir daí não temos
mais colunas mescladas, portanto, na terceira coluna, se lê: 0 - 4; na quarta: 5 - 9; na
quinta: 10 - 15; na sexta: 0 - 4; na sétima: 5 - 9; na oitava: 10 - 15; na nona:  (4). Na
ϕ1C   (1)
.      (2)104 εls
γ
γ
γ
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Agora, vamos a um exemplo de perda por retração. Qual seria a  perda por retração que um
cabo sofrerá atuando em uma viga que tem bw (largura da viga) = 0,23 m; h (altura) = 2 m, e
que foi protendida com o concreto com 30 dias de idade e em um ambiente de Ur (umidade
relativa) = 55%. Considerando Ep (módulo de elasticidade) = 1,95. MPa.
∆σp,s(t, t0)= ( , to). Ep
 = 0,20 m
Utilizando o Quadro 2.1, temos, na terceira coluna (valor da umidade de 55%), considerando
t0(dias) igual a 30 de acordo com o enunciado. E considerando o valor encontrado para
espessura equivalente  igual a 0,20:
(t∞,to )= 3,2.
 3,2. . Ep
 3,2. . 1,95 . =  62,4MPa
Para calcular a �uência, partiremos do mesmo conceito que foi apresentado anteriormente.
Na investigação do efeito da retração, pressupõe-se que inicialmente ocorra apenas
�uência, resultando no encurtamento do concreto em uma estrutura, representado por
εc,c(t0,∞). Isso resulta na aderência do aço ao concreto, onde (εp=εc,c(t, to)), gerando um
encurtamento na armadura e consequentemente uma perda de tensão, que é de�nida por:
∆σp,s(t, t0)= (t, to). Ep, ou
∆σp,s(t, t0)= (t, to). Ep ;          ∆σp,s(t, t0)= (t, to). Ep
∆σp,s(t, t0)= (t, to). p
quarta linha, primeiracoluna, se lê: Na água; na segunda coluna há apenas um hífen,
indicando que está sem nenhum valor informado; na terceira, se lê: 0,8; na quarta: 0,8;
na quinta: 1,0; na sexta: +1,0; na sétima: +1,0; na oitava: +1,0; na nona: 30. Na quinta
linha, primeira coluna, se lê: Em ambiente muito úmido imediatamente acima da água;
na segunda: 90%; na terceira: 1,0; na quarta: 1,3; na quinta: 1,6; na sexta: -1,0; na
sétima: -1,3; na oitava: -1,6; na nona: 5,0. Na sexta linha, primeira coluna, se lê: Ao ar
livre, em geral; na segunda: 70%; na terceira: 1,5; na quarta: 2,0; na quinta: 2,5; na sexta:
-2,5; na sétima: -3,2; na oitava: -4,0; na nona: 1,5. Na sétima linha, primeira coluna, se lê:
Em ambiente seco; na segunda: 40%; na terceira: 2,3; na quarta: 3,0; na quinta: 3,8; na
sexta: -4,0; na sétima: -5,2; na oitava: -6,5; na nona: 1,0.
105
εcs ∞
=
2Ac
μar
2. 0.23. 2
2. (0,23+2)
2Ac
μar
εcs 10−4
Δ (t, t0) =σp.s 10−4
Δ (t, t0) =σp.s 10−4 105
εc,c
φεcs φ
σcgp
Ec
φσcgp α
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O indicador σ cgp é a tensão que ocorre no concreto. O mesmo ocorre no nível do cg da
armadura ativa. Isso ocorre devido à ação das cargas permanentes inclusive a protensão
representada pela expressão:
Onde:
: momento devido ao peso próprio;
: momento devido à sobrecarga;
Np:  força de protensão total;
I: inércia da seção transversal;
e: excentricidade dos cabos de protensão.
Sobre deformação por �uência do concreto (εcc), ela é formada por duas partes, rápida e
  lenta. A �uência rápida, dada por εcca, é irreversível, ocorrendo nas primeiras 24 horas
após a aplicação de carga.
A �uência lenta é composta por duas outras partes: deformação lenta irreversível, , e a
deformação lenta reversível , .
 = + + 
’ total = + = (1 + )
 = a + f + d
Onde:
ϕa : coe�ciente de �uência rápida;
f : coe�ciente de deformação lenta irreversível;
d : coe�ciente de deformação lenta reversível.
A deformação especí�ca do concreto é dada por:
 (t,to) = a + foo [βf (t) - [βf (to)] + doo βd
Onde:
= + −   eσcgp
Np
AC
Npe
2
I
+Mg1  Mg2 
I
Mg1 
Mg2 
εccf
εccf
εcc εcca εccf εccf
εc εc εcc εc φ
φ φ φ φ
φ
φ
φ φ φ φ
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βf(t) ou βf(to): coe�ciente relativo à deformação lenta irreversível dado em função da idade
do concreto;
doo = valor �nal do coe�ciente de deformação lenta reversível, considerando igual a 0,4;
t: idade �ctícia do concreto no instante (em dias);
to: idade �ctícia do concreto quando feito o carregamento (em dias);
: coe�ciente de �uência rápida, determinado pela expressão:
a= 0,8 
βd = coe�ciente relativo à deformação lenta reversível função do tempo (t - to) decorrido
após o carregamento de carga, dada pela expressão: .
Em que a função de crescimento da resistência do concreto com a idade do mesmo:
 = 
Onde:
foo = 1c. 2c: valor �nal do coe�ciente de deformação lenta irreversível;
1c: coe�ciente dependente da umidade relativa do ambiente U% e da consistência do
concreto dado em tabela;
: coe�ciente dependente da espessura �ctícia h�c da peça, representado pela
expressão: ;
Onde: h�c está em centímetros.
Vamos agora apresentar um exemplo de perda de tensão por �uência. Inicialmente,
calcularemos a perda por �uência do concreto que um cabo sofrerá ao atuar em uma viga
com bw=0,23 m e h=2 m, que foi protendida com concreto de 30 dias de idade e em um
ambiente com Ur=55%. Para o cálculo, consideraremos Ep = 1,95 .105 MPa, fck=25 MPa e
cgp=4 MPa.
∆σp,s(t, t0)= (t, to). Ep
= = 0,20 m, no Quadro 2.1, (t∞,to) para 0,20 m = 2,6
Ecs = 4700. , utiliza-se o modo de elasticidade compatível com a idade.
φ
φa
φ [1 − ](t0)fc
(t∞)fc
=βd
t−t0+20
t−t0+70
(t0)fc
(t∞)fc
9t.(t+42)
(9t+40)(t+61)
φ φ φ
φ
φ2c
=φ2c
42+hfic
20+hfic
φ
σcgp
Ec
2Ac
μar
2. 0.23. 2
2. (0,23+2)
φ
fck1/2
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Ecs = 4700 .  = 23500MPa
∆σp,s(t, t0)=   (t, to). Ep
∆σp,s(t, t0)= 2,6.  1,95 . = 86,29  
Assim, a perda de tensão por �uência foi de 86,29 MPa.
Calcular a relaxação de uma armadura é possível por meio do pelo coe�ciente ψ(t, to). Esse
pode ser calculado da seguinte forma:
ψ(t, to)= 
Em que ∆σpr(t, to) é a perda de tensão por relaxação pura, considerando um comprimento
constante desde o momento da protensão da armadura até o instante t, adotando σpi como
a tensão da armadura de protensão no instante de seu estiramento. Para aplicar esse
conceito, a relaxação do aço após 1000 horas a 20°C (Ψ1000), em conjunto com tensões
que variam de 0,5 a 0,8 fptk, obtida por meio de ensaios, não deve ultrapassar os valores
estabelecidos na norma regulamentadora.
Estudante, para realizar o cálculo, utilizaremos os valores de Ψ1000 conforme apresentados
no quadro a seguir:
251/2
φ
σcgp
Ec
.  4
23500 105
Δ (t, )σpr t0
σpi
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Em que, para tensões menores que 0,5 fptk, não há perda de protensão por relaxação. Para
valores intermediários apresentados na tabela, é realizada uma interpolação linear. Para o
tempo in�nito, pode-se considerar ψ (∞, t0) = 2,5 . ψ1000.
Agora vamos calcular a perda por relaxação em um cabo, considerando a tensão inicial de
1480 MPa na seção em análise, após as perdas iniciais. Utilizaremos o aço cordoalha
CP190RB.
R= =0,77fptk  , nível de tensão no cabo estudado
Aplicamos o valor do Quadro 2.3, e temos, interpolando o resultado:
1480
1900
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Assim,
E, assim:  Ψ1000= k= 3,2
Ψ∞= 2,5 xΨ1000
Onde Ψ∞= 2,5 .3,2 = 8
ψ(t, to)= 
 = 0,08. 1480= 118,4
Assim, a perda de tensão por relaxação no cabo será de 118, 4 MPa.
praticar
Quadro 2.4: Interpolação de dados
Fonte: elaborado pela autora.
#PraCegoVer: temos um quadro com quatro linhas e duas colunas. Na primeira linha,
primeira coluna, se lê: Tensão inicial; na segunda coluna, se lê: Valor de ψ1000. Na
segunda linha, primeira coluna: 0,7; segunda coluna: 2,5. Na terceira linha, primeira
coluna: 0,77; segunda coluna: k. Na quarta linha, primeira coluna: 0,8; segunda coluna:
3,5.
Tensão inicial Valor de ψ1000
0,7 2,5
0,77 k
0,8 3,5
=
k −  2, 5
3, 5 − 2, 5
0, 77 −  0, 7
0, 8 − 0, 7
Δ (t, )σpr t0
σpi
Δσpr
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praticar
Vamos Praticar
Realize agora um exemplo prático, conforme o que estudamos ao longo da unidade.
Temos diferentes tipos de perdas ao longo do tempo, incluindo a �uência, a relação e a
retração. A relaxação, por sua vez, ocorre devido a uma deformação elástica no aço,
resultando na perda de tensão na peça.
Comando da atividade prática: calcule a perda por relaxação em um cabo na seção em
análise, considerando uma tensão inicial de 1247 MPa (após as perdas iniciais). Utilize o
aço cordoalha CP 170 RN.
Prezado(a) estudante, no projeto de estruturas em Concreto Protendido, os Estados-Limite
são considerados para garantir a segurança e as condições de serviço. O Estado-Limite
Último (ELU), abordado aqui, está relacionado ao colapso, que resulta em qualquer tipo de
ruína estrutural e na paralisação do uso da edi�cação.
Ao discutirmos os estados limites, também mencionamos os estádios de uma peça.
Nesses estádios, uma seção transversal é submetida a um momento �etor M crescente,
resultando em deformações. Essas deformações passam por fases chamadas de estádios,
que determinam o comportamento da estrutura até a sua falha.Estado limite último
(ELU)
06/05/24, 10:59 E-book
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No estádio I, de acordo com Carvalho (2012), a estrutura está sob a ação do momento
�etor MI, que é de baixa intensidade, e a tensão de tração no concreto não ultrapassa a sua
resistência característica à tração (ftk). Nesse estádio, não há �ssuras visíveis, e o
diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear, com tensões nas �bras mais
comprimidas proporcionais às deformações.
No estádio II, de acordo com Carvalho (2012), ocorre um aumento do momento �etor para
MII, e as tensões de tração, principalmente abaixo dos pontos da linha neutra (LN), têm
valores superiores à resistência característica do concreto à tração (ftk). Nesse estádio,
considera-se que apenas o aço está resistindo aos esforços de tração, e as �ssuras no
concreto podem ser visíveis. A tensão de compressão no concreto continua a se comportar
linearmente.
No estádio III, de acordo com Carvalho (2012), ocorre um aumento no momento �etor até
se aproximar do colapso. Nesse estádio, a �bra mais comprimida do concreto começa a
escoar, atingindo uma deformação especí�ca de 0,35% (3,5 ‰ ). O diagrama de tensões
tende a se tornar vertical, com praticamente todas as �bras apresentando deformações
superiores a 2 ‰ . Trata-se de uma estrutura altamente �ssurada. Para esse caso, a
distribuição de tensões no concreto ocorre de acordo com um diagrama parábola-
retângulo.
Alongamento
Estudante, para compreender o estado limite e determinar o momento de ruptura de uma
estrutura, é necessário entender os domínios de deformação de uma peça. Através desses
domínios, é possível estabelecer as possíveis posições da seção transversal no momento
da ruptura, de acordo com o tipo de solicitação atuante. Existem duas situações principais:
estruturas que colapsam devido a subdimensionamento ou superdimensionamento.
Nas vigas subarmadas, que possuem uma estrutura aquém do necessário, e normalmente
estão armadas, o colapso ocorre devido ao alongamento excessivo das armaduras. Com o
aumento da carga, as deformações e �ssuras aumentam, resultando em uma redução da
área de concreto comprimido e uma elevação da linha neutra. Consequentemente, as
tensões de compressão no concreto aumentam, levando ao esmagamento e ao colapso da
viga.
Por outro lado, nas vigas superarmadas, que possuem aço em excesso, o dano ocorre no
concreto, que �ca comprimido na seção e é esmagado antes mesmo que a armadura atinja
o limite de escoamento.
06/05/24, 10:59 E-book
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Na Figura 1.1, como pode ser observado, o Estado-Limite Último (ELU) na �exão simples
possui três domínios de dimensionamento: Domínio 2, Domínio 3 e Domínio 4. Esses
domínios representam diferentes comportamentos da estrutura em relação ao momento
�etor e às tensões nas seções transversais.
Figura 2.1: Domínios
Fonte: adaptado de Bastos (2021, p. 86).
#PraCegoVer: na imagem vemos um diagrama do domínio em que uma peça se encontra e as
ações de alongamento e encurtamento que se dão na mesma de acordo com suas propriedade.
A imagem se apresenta em um grá�co contendo triângulos, que indicam os domínios. Temos
assim dois quadrantes, um retângulo principal à esquerda que representa o alongamento e vai de
0 a 10%. E do lado direito do retângulo principal, o encurtamento. A altura total desse retângulo é
indicada por d, e a altura do centro desconsiderando d’ é representada por d. Assim o domínio
Um encontra-se a uma angulação, situado totalmente dentro do retângulo. Há um triângulo que
representa o domínio dois, de angulação dois, saindo do retângulo de alongamento e adentrando
no encurtamento, sendo limitado por 2xlim. Já o triângulo  que representa o domínio três, é
formado por uma angulação três, é limitado pelo x3lim, estando dentro do quadrante de
alongamento e encurtamento. E por �m o retângulo que representa o domínio cinco, de ângulo
cinco, encontra-se fora do retângulo principal, estando todo na parte de encurtamento.
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Acompanhe a seguir a explicação sobre esses domínios. Vamos lá!
Domínio 2: “ocorrem os casos de solicitação de �exão simples e tração ou
compressão com grande excentricidade. A seção transversal tem parte tracionada e
parte comprimida” (BASTOS, 2021, p. 88). εs2 = 10 ‰ ). Linha neutra, variando de
zero a x2lim (0 < x < x2lim), conforme se vê na �gura 1.1, onde x2lim = 0,26 d, sendo
x2lim o limitador do domínio 2.
Domínio 3: acontece em “�exão simples e tração ou compressão com grande
excentricidade. A seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida e o
Estado-Limite Último é caracterizado pela deformação de encurtamento �xa em εcu
no concreto da borda comprimida” (BASTOS, 2021, p. 88). εs2 variando da
deformação de início de escoamento do aço (yd) até o valor máximo de 10 ‰ (yd <
εs2 < 10 ‰ ). Linha neutra varia entre x2lim e x3lim (x2lim < x < x3lim), �gura 2.1.,
sendo x3lim o limitador do domínio 3, que varia de acordo com a classi�cação do
aço.
Domínio 4: “os casos de solicitação são a �exão simples e a compressão com
grande excentricidade. A seção transversal tem parte tracionada e parte comprimida
e o Estado-Limite Último é caracterizado pela deformação de encurtamento �xa em
εcu no concreto da borda comprimida” (BASTOS, 2021, p. 88). εs2 vai de zero a
deformação de início de escoamento do aço (0 < εs2 < yd). Linha neutra entre x3lim
e altura útil d (x3lim < x < d), �gura 2.1.
Tanto para casos superdimensionados quanto para subdimensionados, o projetista busca
determinar o estado de deformação para evitar o colapso, pois uma estrutura pode ser
considerada condenada a partir de determinadas deformações. Nesse sentido, é desejável
que a estrutura esteja no domínio 3, onde as deformações últimas (u) são limitadas a 10 ‰
(10 mm/m) para tração e 3,5 ‰ para compressão, garantindo que as deformações estejam
dentro dos limites aceitáveis e se enquadrem no domínio 3.
Considerando as seguintes hipóteses e premissas:
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Esses critérios pré-estabelecidos são importantes para limitar os tipos de solicitações que
uma estrutura pode enfrentar, garantindo que ela esteja segura e atenda aos requisitos
mínimos de funcionamento para os quais foi projetada. Isso é essencial para assegurar a
integridade e a con�abilidade da estrutura, bem como a segurança das pessoas que a
utilizam.
Cálculo das tensões
Iremos apresentar, portanto, as fórmulas e a metodologia para dimensionar uma estrutura
em ELU, com o objetivo de determinar as tensões solicitantes. Para isso, utilizaremos o
grau de protensão "p" para relacionar as quantidades de momento �etor absorvido pela
armadura ativa e pela armadura total:
,
Onde:
: valor de cálculo da resistência de escoamento;
: área da seção transversal do cabo resultante;
: resistência de cálculo do aço à tração;
: área necessária da armadura.
De acordo com a modelagem construtiva e as propriedades do concreto, temos para fck do
concreto 
Para concreto com fck > 50MPa;
=λp 
. Ap fpyd
.  + . Ap fpyd As fyd
fpyd
Ap
fyd
As
≤  50MPa
= 0, 85. . [1 − ]σcd fcd (1 − )εcd
εc2
2
As seções continuam planas mesmo após a deformação.
 
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. ;   . .
Onde n= 1,4+23,4 
De acordo com a modelagem construtiva solicitada por cada projeto, utilizaremos um tipo
especí�co de aço que possui suas próprias especi�cidades e propriedades características.
No contexto do aço, temosos aços CA (concreto armado) e os aços CP (concreto
protendido), cada um com características distintas, conforme descrito a seguir:
Aço CP 175
    
Aço CP 190
   
Aço CP 210
 
Aço CA
        
     Mpa
= 2, 00% + 0, 085%εc2 (fck − 50)0,53 = 2, 60% + 35%εcu ( )90−fck
100
4
= 0, 85. . [1 − ]σcd fcd (1 − )εcd
εc2
2
[ ]
90−fck
100
4
= 1373 + 4, 4666 ( − 6, 865)σpd εpd (%) , (MPa)εpd σpd
= 1486 + 5, 0967 ( − 7, 430)σpd εpd (%) , (MPa)εpd σpd
= 1643 + 5, 7412 ( − 8, 215)σpd εpd (%) , (MPa)εpd σpd
≤ 2, 07%εsd = .σsd Es εsd
2, 09% < ≤ 10, 00%εsd = 435σsd
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Assim, abordamos alguns critérios que uma estrutura deve cumprir, bem como as
características relacionadas ao estado limite último e como ele deve estar alinhado com o
cálculo de tensões planejado para uma edi�cação. É essencial que a estrutura permaneça
atendendo aos requisitos de estabilidade para garantir sua integridade.
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Quando discutimos os estados limites últimos (ELU) de uma estrutura, abordamos os
estágios nos quais uma peça pode se encontrar. Esses estágios ocorrem quando uma
seção transversal é submetida a um momento �etor crescente e experimenta
deformações, que são estudadas em fases distintas.
Com relação aos tipos de estágios pelos quais uma estrutura pode passar e as
características de cada uma dessas situações, assinale a alternativa correta.
a) No estádio III, todas as  tensões nas �bras mais comprimidas do concreto
atingem deformação especí�ca de 0,35%.
b) O estádio I é caracterizado por uma estrutura já bastante �ssurada, estando
essas visíveis por toda estrutura.
c) No estádio II  a estrutura está sob a ação do momento �etor MI, sendo esse de
baixa intensidade.
d) No estádio III a distribuição de tensões no concreto ocorre segundo um
diagrama parábola-retângulo.
e) O estádio II é caracterizado por não ter �ssuras visíveis na estrutura analisada,
estando também esse livre de deformações.
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Estudante, você já sabe que uma estrutura de concreto protendido é composta por concreto
e aço. Esse aço pode estar presente de duas formas: protendido ou não. O aço protendido é
chamado de armadura ativa, pois está tensionado e ativado. Por outro lado, a armadura de
aço complementar da estrutura não passa pela protensão e é classi�cada como armadura
passiva.
Cálculo de tensões
O cálculo das tensões em uma viga deve levar em consideração diversos fatores, tais
como:
propriedades dos materiais, tanto do aço quanto do concreto especi�cados;
requisitos geométricos da estrutura, que devem ser respeitados e considerados em
cada caso;
requisitos locacionais relevantes para o estudo, que devem ser respeitados e
considerados em cada caso.
Projeto de viga: cálculo
das tensões e cálculo
das armaduras
passivas e ativas
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A modelagem e averiguações das tensões se dá de acordo com cada secção das
estruturas. Sendo essas seções retangular e T. Para a seções retangulares, temos o
seguinte equacionamento:
A posição da linha neutra deve se dá por:
           
Onde:
: ,momento de cálculo aplicado à seção;
p: altura útil referida à armadura ativa;
: largura da alma na viga.
Variação na posição relativa do binário Rcd-Rpd:
     =1- (D2)
Resultante da compressão no concreto:
Onde:
: valor da resistência característica fck minorada por um coe�ciente de segurança.
Resultante da tração na armadura ativa
μ =
Md
. .fcd bw dp
2 ξ = 1, 25 [1 − ] =1 −
1,6μ
0,68
− −−−−−
√ x
dp
Md
dp
bw
φ = = 1 − 0, 4ξ  (D3)z
dp
φ = z
dp
ξ
0,8
3
= 0, 85. .0, 8.x.Rcd fcd bw
fcd
= .Rpd Ap σpd
Fonte: Bastos (2019, p. 218).
SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM
RETÂNGULO: Na imagem é possível
visualizar as especi�cidades de uma
estrutura retangular, seu
comportamento em �exão e
deformação.
< >
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Onde:
: tensão na armadura de protensão.
Acréscimo de deformação na armadura ativa.
Área de aço
= 
Assim, como vimos até aqui, o equacionamento se deu na armadura ativa, aquela
protendida, onde calculamos até a área de aço. Entretanto, há casos que a secção
apresenta armadura passiva, devendo ser equacionado da seguinte forma:
      com ds=h-d”
Equação da área de aço
Área de aço
= 
Para a secções em T, temos o seguinte equacionamento:
A posição da linha neutra deve se dar por:
           
Se yhf, a posição da linha neutra ocorrerá na mesa, e a seção da estrutura será
dimensionada como retangular. Já se y > hf, a linha neutra da peça estará localizada na
nervura. No caso dos momentos, consideramos o momento absorvido pela mesa.
Onde: : altura da alma
Para o momento quando o cálculo é para ser absolvido na nervura:
σpd
ξ =
εcd
+ Δεcd εpd
Ap
Md
φ. .dp σpd
= . Δεsd
−xds
−xdp
εpd
. + . =Ap σpd As σyd Rpd
Ap
Md
φ. .dp σpd
μ = Md
. .fcd bw dp
2
ξ = 1, 25 [1 − ] =1 −
1,6μ
0,68
− −−−−−
√ x
dp
= 0, 85. . . ( − ) . ( − 0, 5 )Mmd  fcd hf bf bw dp hf
hf
= −Mnd  Md  Mmd 
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Acréscimo de deformação na armadura ativa:
Deformação total na armadura ativa:
Área de aço da armadura ativa:
= 
O estudo das armaduras permite ainda utilizar-se de fórmulas adimensionais, que são
facilitadores no momento do cálculo. Assim, temos a equação de :
= = (0,68.
Dizemos que:
= KMD e 
Assim, KMD=0,68 (KX)-0,272 , assim
x=0 (no início do domínio 2) KX= =0 , onde KMD = 0
x=d (no �m do domínio 4) KX= =1 , onde KMD = 0,408
Para o braço da alavanca:
z(z=d-0,4.x)
KZ=1-0,4.KX
Para o cálculo da armadura:
ξ =
εcd
+ Δεcd εpd
= Δ + Δεpd εpi εpd
Ap +
Md
−0,5  )dp hf σpd
Md
φ.  .dp σpd
Md
Md
. .fcd bw dp
2
(0,68.x.d−0,272. ) .x2 fcd bw
. .fcd bw dp
2 − 0, 272. )x
d
x2
d2
Md
. .fcd bw dp
2 = KXx
d
(KX)2
x
d
x
d
= = 1 − 0, 4.
z
d
d − 0, 4x
d
x
d
= e com z = KZAs
Md
z. fs
=As
Md
KZ. d. fs
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Equação que relaciona as deformações com a altura da linha neutra:
= =KX
KX=
Cálculo das armaduras passivas e ativa
Durante o cálculo das armaduras, podemos recorrer a algumas tabelas como a da Quadro
2.5 , em que encontramos a tensão no aço em MPa:
x
d
 e,  como ε
+εc εs
x
d
ε
+εc εs
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Estudante, temos ainda a tabela de cálculo de KMD, que relaciona parâmetros como KZ, KX,
Ec e Es:
Quadro 2.5: Tensão no aço
Fonte: Adaptado de CARVALHO (2021, p. 126).
#PraCegoVer: temos um quadro com 3 linhas e 20 colunas, o qual indica as tensões
em MPa no aço de acordo com sua classi�cação, sendo ela CP 175 ou CP 190, de
acordo com o valor encontrado de . Na primeira linha, primeira coluna, temos:  
; na segunda coluna: 5,25; terceira: 6,794; quarta: 7,438; quinta: 8,167; sexta: 9,000;
sétima: 9,962; oitava: 10,00; nona: 12,50; décima: 15,00; décima primeira: 17,5; décima
segunda: 20,00; décima terceira: 22,50; décima quarta: 25,00; décima quinta: 27,5;
décima sexta: 30,00; décima sétima: 32,50; décima oitava: 35,00; décima nona: 37,50;
vigésima: 40,00. Na segunda linha, primeira coluna, temos: CP175; na segunda coluna:
1025; terceira: 1264; quarta: 1316; quinta: 1344; sexta: 1365; sétima: 1368; oitava:
1368;nona: 1378; décima: 1388; décima primeira: 1897; décima segunda: 1407;
décima terceira: 1416; décima quarta: 1426; décima quinta: 1436; décima sexta: 1445;
décima sétima: 1455; décima oitava: 1464; décima nona: 1474; vigésima: 1484. Na
terceira linha, primeira coluna, temos: CP190; na segunda coluna: 1025; terceira: 1314;
quarta: 1411; quinta: 1459; sexta: 1482; sétima: 1486; oitava: 1486; nona: 1496;
décima: 1507; décima primeira: 1517; décima segunda: 1527; décima terceira: 1538;
décima quarta: 1548; décima quinta: 1559; décima sexta: 1569; décima sétima: 1579;
décima oitava: 1590; décima nona: 1600; vigésima: 1611.
5,25 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5
CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1897
CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517
20,00 22,50 25,00 27,5 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00
CP175 1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 1474 1484
CP190 1527 1538 1548 1559 1569 1579 1590 1600 1611
ε%0
ε%0
ε%0
ε%0
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Tabela 2.1: Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares
Fonte: Adaptado de CARVALHO  (2021, p. 130).
#PraCegoVer: na tabela acima temos os valores para KMD, que relaciona parâmetros
como: KZ, KX, Ec e Es, apresentando 8 linhas e 11 colunas. Na primeira coluna,
primeira coluna, se lê: KMD; na segunda: KX; na terceira, KZ; na quarta: EC; na quinta:
ES; a sexta coluna está em branco, e encontra-se mesclada com as outras linhas
abaixo, todas em branco; na sétima coluna, se lê: KMD; na oitava: KX; na nona: KZ; na
décima: EC e na décima primeira: ES. Na segunda linha, primeira coluna, apresentam-
se, alinhados um sobre os outros, os valores: 0,0100; 0,0200; 0,0300; 0,0400; 0,0500.
Na segunda, coluna: 0,0148; 0,0298; 0,0349; 0,0603; 0,0758. Na terceira coluna: 0,9941;
0,9981; 0,9820; 0,9759; 0,9697. Na quarta coluna: 0,1502; 0,3068; 0,4804; 0,6414;
0,8205. Na quinta coluna: 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna
encontra-se em branco. Na sétima coluna, os valores: 0,0250; 0,2100; 0,2150; 0,2200;
0,2250. Na oitava coluna: 0,3506; 0,3609; 0,3714; 0,3819; 0,3925. Na nona coluna:
0,8597; 0,8556; 0,8515; 0,8473; 0,8430. Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000;
3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna: 6,4814; 6,1971; 5,9255; 5,6658; 5,4170. Na
terceira linha, primeira coluna, apresentam-se, alinhados um sobre os outros, os
valores: 0,0550; 0,0600; 0,0650; 0,0700; 0,0750. Na segunda, coluna: 0,0836; 0,0916;
0,0995; 0,1076; 0,1156. Na terceira coluna: 0,9665; 0,9634; 0,9602; 0,9570; 0,9537. Na
quarta coluna: 0,9133; 1,0083; 1,1056; 1,2054; 1,3077. Na quinta coluna: 10,0000;
10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna encontra-se em branco. Na sétima
coluna, os valores: 0,2300; 0,2350; 0,2400; 0,2450; 0,2500. Na oitava coluna: 0,4033;
0,4143; 0,4253; 0,4365; 0,4479. Na nona coluna: 0,8387; 0,8343; 0,8299; 0,8254; 0,8208.
Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna:
5,1785; 4,9496; 4,7295; 4,5181; 4,3144. Na quarta linha, primeira coluna, apresentam-
se, alinhados um sobre os outros, os valores: 0,0800; 0,0850; 0,0900; 0,0950; 0,1000.
Na segunda, coluna: 0,1238; 0,1320; 0,1403; 0,1485; 0,1569. Na terceira coluna: 0,9505;
0,9472; 0,9439; 0,9406; 0,9372. Na quarta coluna: 1,4126; 1,5203; 1,6308; 1,7444;
1,8611. Na quinta coluna: 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna
encontra-se em branco. Na sétima coluna, os valores: 0,2550; 0,2600; 0,2650; 0,2700;
0,2750. Na oitava coluna: 0,4594; 0,4711; 0,4830; 0,4951; 0,5074. Na nona coluna:
0,8162; 0,8115; 0,8068; 0,8020; 0,7970. Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000;
3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna: 4,1181; 3,9287; 3,7459; 3,5691; 3,3981. Na
quinta linha, primeira coluna, apresentam-se, alinhados um sobre os outros, os valores:
0,1050; 0,1100; 0,1150; 0,1200; 0,1250. Na segunda, coluna: 0,1654; 0,1739; 0,1824;
0,1911; 0,1998. Na terceira coluna: 0,9339; 0,9305; 0,9270; 0,9236; 0,9201. Na quarta
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Estudante, como vimos no passo a passo, conseguimos determinar a área de aço para uma
estrutura por meio de cálculos que levam em consideração diferentes variáveis.
Primeiramente, é necessário compreender o formato da seção da estrutura, uma vez que o
método de cálculo da área de aço varia para estruturas retangulares e em forma de T.
Após determinar o tipo de seção, passamos a analisar o momento que atuará sobre a peça,
bem como as tensões e deformações pelas quais a estrutura passará. A partir desse ponto,
é possível encontrar a área total de aço necessária para a estrutura e, então, determinar o
tipo de aço a ser utilizado.
coluna: 1,9810; 2,1044;  2,2314; 2,3621; 2,4796. Na quinta coluna: 10,0000; 10,0000;
10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna encontra-se em branco. Na sétima coluna,
os valores: 0,2800; 0,2850; 0,2900; 0,2950; 0,3000. Na oitava coluna: 0,5199; 0,5326;
0,5455; 0,5586; 0,5721. Na nona coluna: 0,7921; 0,7870; 0,7818; 0,7765; 0,7712. Na
décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna:
3,2324; 3,0791; 2,9162; 2,7469; 2,6179. Na sexta linha, primeira coluna, apresentam-se,
alinhados um sobre os outros, os valores: 0,1300; 0,1350; 0,1400; 0,1450; 0,1500. Na
segunda, coluna: 0,2086; 0,2175; 0,2264; 0,2354; 0,2445. Na terceira coluna: 0,9166;
0,9130; 0,9094; 0,9058; 0,9022. Na quarta coluna: 2,6355; 2,7786;  2,9263; 3,0787;
3,2363. Na quinta coluna: 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna
encontra-se em branco. Na sétima coluna, os valores: 0,3050; 0,3100; 0,3150; 0,3200;
0,3300. Na oitava coluna: 0,5858; 0,5998; 0,6141; 0,6287; 0,6590. Na nona coluna:
0,7657; 0,7601; 0,7544; 0,7485; 0,7364. Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000;
3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna: 2,4748; 2,3355; 2,1997; 2,0672; 1,8100. Na
sétima linha, primeira coluna, apresentam-se, alinhados um sobre os outros, os
valores: 0,1550; 0,1600; 0,1650; 0,1700; 0,1750. Na segunda, coluna: 0,2536; 0,2630;
0,2723; 0,2818; 0,2913. Na terceira coluna: 0,8985; 0,8948; 0,8911; 0,8873; 0,8835. Na
quarta coluna: 3,3391; 3,5000;  3,5000; 3,5000; 3,5000. Na quinta coluna: 10,0000;
9,8104; 9.3531; 8.9222; 8,5154. A sexta coluna encontra-se em branco. Na sétima
coluna, os valores: 0,3400; 0,3500; 0,3600; 0,3700; 0,3800. Na oitava coluna: 0,6910;
0,7249; 0,7612; 0,8003; 0,8433. Na nona coluna: 0,7236; 0,7100; 0,6955; 0,6799; 0,6627.
Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna:
1,5652; 1,3283; 1,0983; 0,8732; 0,6506. Na oitava e última linha, primeira coluna,
apresentam-se, alinhados um sobre os outros, os valores: 0,1800; 0,1850; 0,1900;
0,1950; 0,2000. Na segunda, coluna: 0,0309; 0,3106; 0,3205; 0,3305; 0,3405. Na terceira
coluna: 0,8796; 0,8757; 0,8718; 0,8678; 0,8638. Na quarta coluna: 3,5000; 3,5000;
3,5000; 3,5000; 3,5000. Na quinta coluna: 8,3106; 7,7662; 7,4204; 7,0919; 6,7793. A
sexta, sétima, oitava, nona, décima e décima primeira coluna encontram-se mescladas
e vazias, não apresentando nenhum valor.
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Vamos colocar esses conceitos em prática e determinar a armadura de protensão para
uma seção retangular quando submetida aos momentos Mg1=3580 kN.m e Mq=1912
kN.m. Consideraremos os seguintes parâmetros: largura da seção (bw) = 0,8, altura da
seção (d) = 1,50 m, resistência característica do concreto (fck) = 26 MPa, aço CP175 e σp∞
= 100 MPa.
KMD= = = 0,2300
De acordo com a Tabela 2.1 de valores paracálculo de armadura longitudinal de seções
retangulares, temos que:
KX= 0,4033 ; KZ=0,8387  ; =0,51785%
E aplica-se = + , utilizando a tabela de tensões no aço para σp∞ = 100 MPa.
Onde temos =0,5112%
= +
E onde 0,51785+0,5112=1,029%
Novamente, aplicando a tabela de valores para cálculo de armadura longitudinal de seções
retangulares, temos fsd=  1369,16MPa.
Assim, = = 44,70 cm2.
Assim, a área do aço necessária para a estrutura protendida, é 44,70 cm2.
Estudante, vamos praticar o conhecimento adquirido até aqui? Vamos lá!
Md
. .fcd bw dp
2
1,4 . (3580+1912)
26000
1,4
0,8.1,52
εs
εt εs εp
εp
εt εs εp
=As
Md
KZ.d.fs
1,4 . (3580+1912)
0,8387. .1,5 . 136,9
Projeto de viga: cálculo
das tensões e cálculo
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Estudante, você já sabe que uma estrutura de concreto protendido é composta por concreto
e aço. Esse aço pode estar presente de duas formas: protendido ou não. O aço protendido é
chamado de armadura ativa, pois está tensionado e ativado. Por outro lado, a armadura de
aço complementar da estrutura não passa pela protensão e é classi�cada como armadura
passiva.
Cálculo de tensões
O cálculo das tensões em uma viga deve levar em consideração diversos fatores, tais
como:
propriedades dos materiais, tanto do aço quanto do concreto especi�cados;
requisitos geométricos da estrutura, que devem ser respeitados e considerados em
cada caso;
requisitos locacionais relevantes para o estudo, que devem ser respeitados e
considerados em cada caso.
das armaduras
passivas e ativas
Fonte: Bastos (2019, p. 218).
SECÇÃO TRANSVERSAL DE UM
RETÂNGULO: Na imagem é possível
visualizar as especi�cidades de uma
estrutura retangular, seu
comportamento em �exão e
deformação.
< >
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A modelagem e averiguações das tensões se dá de acordo com cada secção das
estruturas. Sendo essas seções retangular e T. Para a seções retangulares, temos o
seguinte equacionamento:
A posição da linha neutra deve se dá por:
           
Onde:
: ,momento de cálculo aplicado à seção;
p: altura útil referida à armadura ativa;
: largura da alma na viga.
Variação na posição relativa do binário Rcd-Rpd:
     =1- (D2)
Resultante da compressão no concreto:
Onde:
: valor da resistência característica fck minorada por um coe�ciente de segurança.
Resultante da tração na armadura ativa
Onde:
: tensão na armadura de protensão.
Acréscimo de deformação na armadura ativa.
Área de aço
= 
μ =
Md
. .fcd bw dp
2 ξ = 1, 25 [1 − ] =1 −
1,6μ
0,68
− −−−−−
√ x
dp
Md
dp
bw
φ = = 1 − 0, 4ξ  (D3)z
dp
φ = z
dp
ξ
0,8
3
= 0, 85. .0, 8.x.Rcd fcd bw
fcd
= .Rpd Ap σpd
σpd
ξ =
εcd
+ Δεcd εpd
Ap
Md
φ. .dp σpd
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Assim, como vimos até aqui, o equacionamento se deu na armadura ativa, aquela
protendida, onde calculamos até a área de aço. Entretanto, há casos que a secção
apresenta armadura passiva, devendo ser equacionado da seguinte forma:
      com ds=h-d”
Equação da área de aço
Área de aço
= 
Para a secções em T, temos o seguinte equacionamento:
A posição da linha neutra deve se dar por:
           
Se yhf, a posição da linha neutra ocorrerá na mesa, e a seção da estrutura será
dimensionada como retangular. Já se y > hf, a linha neutra da peça estará localizada na
nervura. No caso dos momentos, consideramos o momento absorvido pela mesa.
Onde: : altura da alma
Para o momento quando o cálculo é para ser absolvido na nervura:
Acréscimo de deformação na armadura ativa:
Deformação total na armadura ativa:
Área de aço da armadura ativa:
= 
= . Δεsd
−xds
−xdp
εpd
. + . =Ap σpd As σyd Rpd
Ap
Md
φ. .dp σpd
μ =
Md
. .fcd bw dp
2 ξ = 1, 25 [1 − ] =1 −
1,6μ
0,68
− −−−−−
√ x
dp
= 0, 85. . . ( − ) . ( − 0, 5 )Mmd  fcd hf bf bw dp hf
hf
= −Mnd  Md  Mmd 
ξ =
εcd
+ Δεcd εpd
= Δ + Δεpd εpi εpd
Ap +
Md
−0,5  )dp hf σpd
Md
φ.  .dp σpd
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O estudo das armaduras permite ainda utilizar-se de fórmulas adimensionais, que são
facilitadores no momento do cálculo. Assim, temos a equação de :
= = (0,68.
Dizemos que:
= KMD e 
Assim, KMD=0,68 (KX)-0,272 , assim
x=0 (no início do domínio 2) KX= =0 , onde KMD = 0
x=d (no �m do domínio 4) KX= =1 , onde KMD = 0,408
Para o braço da alavanca:
z(z=d-0,4.x)
KZ=1-0,4.KX
Para o cálculo da armadura:
Equação que relaciona as deformações com a altura da linha neutra:
= =KX
KX=
Cálculo das armaduras passivas e ativa
Durante o cálculo das armaduras, podemos recorrer a algumas tabelas como a da Quadro
2.5 , em que encontramos a tensão no aço em MPa:
Md
Md
. .fcd bw dp
2
(0,68.x.d−0,272. ) .x2 fcd bw
. .fcd bw dp
2 − 0, 272. )x
d
x2
d2
Md
. .fcd bw dp
2 = KXx
d
(KX)2
x
d
x
d
= = 1 − 0, 4.
z
d
d − 0, 4x
d
x
d
= e com z = KZAs
Md
z. fs
=As
Md
KZ. d. fs
x
d
 e,  como ε
+εc εs
x
d
ε
+εc εs
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Estudante, temos ainda a tabela de cálculo de KMD, que relaciona parâmetros como KZ, KX,
Ec e Es:
Quadro 2.5: Tensão no aço
Fonte: Adaptado de CARVALHO (2021, p. 126).
#PraCegoVer: temos um quadro com 3 linhas e 20 colunas, o qual indica as tensões
em MPa no aço de acordo com sua classi�cação, sendo ela CP 175 ou CP 190, de
acordo com o valor encontrado de . Na primeira linha, primeira coluna, temos:  
; na segunda coluna: 5,25; terceira: 6,794; quarta: 7,438; quinta: 8,167; sexta: 9,000;
sétima: 9,962; oitava: 10,00; nona: 12,50; décima: 15,00; décima primeira: 17,5; décima
segunda: 20,00; décima terceira: 22,50; décima quarta: 25,00; décima quinta: 27,5;
décima sexta: 30,00; décima sétima: 32,50; décima oitava: 35,00; décima nona: 37,50;
vigésima: 40,00. Na segunda linha, primeira coluna, temos: CP175; na segunda coluna:
1025; terceira: 1264; quarta: 1316; quinta: 1344; sexta: 1365; sétima: 1368; oitava:
1368; nona: 1378; décima: 1388; décima primeira: 1897; décima segunda: 1407;
décima terceira: 1416; décima quarta: 1426; décima quinta: 1436; décima sexta: 1445;
décima sétima: 1455; décima oitava: 1464; décima nona: 1474; vigésima: 1484. Na
terceira linha, primeira coluna, temos: CP190; na segunda coluna: 1025; terceira: 1314;
quarta: 1411; quinta: 1459; sexta: 1482; sétima: 1486; oitava: 1486; nona: 1496;
décima: 1507; décima primeira: 1517; décima segunda: 1527; décima terceira: 1538;
décima quarta: 1548; décima quinta: 1559; décima sexta: 1569; décima sétima: 1579;
décima oitava: 1590; décima nona: 1600; vigésima: 1611.
5,25 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,5
CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1897
CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517
20,00 22,50 25,00 27,5 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00
CP175 1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 1474 1484
CP190 1527 1538 1548 1559 1569 1579 1590 1600 1611
ε%0
ε%0
ε%0
ε%0
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Tabela 2.1: Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares
Fonte: Adaptado de CARVALHO  (2021, p. 130).
#PraCegoVer: na tabela acima temos os valores para KMD, que relaciona parâmetros
como: KZ, KX, Ec e Es, apresentando 8 linhas e 11 colunas. Na primeira coluna,
primeira coluna, se lê: KMD; nasegunda: KX; na terceira, KZ; na quarta: EC; na quinta:
ES; a sexta coluna está em branco, e encontra-se mesclada com as outras linhas
abaixo, todas em branco; na sétima coluna, se lê: KMD; na oitava: KX; na nona: KZ; na
décima: EC e na décima primeira: ES. Na segunda linha, primeira coluna, apresentam-
se, alinhados um sobre os outros, os valores: 0,0100; 0,0200; 0,0300; 0,0400; 0,0500.
Na segunda, coluna: 0,0148; 0,0298; 0,0349; 0,0603; 0,0758. Na terceira coluna: 0,9941;
0,9981; 0,9820; 0,9759; 0,9697. Na quarta coluna: 0,1502; 0,3068; 0,4804; 0,6414;
0,8205. Na quinta coluna: 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna
encontra-se em branco. Na sétima coluna, os valores: 0,0250; 0,2100; 0,2150; 0,2200;
0,2250. Na oitava coluna: 0,3506; 0,3609; 0,3714; 0,3819; 0,3925. Na nona coluna:
0,8597; 0,8556; 0,8515; 0,8473; 0,8430. Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000;
3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna: 6,4814; 6,1971; 5,9255; 5,6658; 5,4170. Na
terceira linha, primeira coluna, apresentam-se, alinhados um sobre os outros, os
valores: 0,0550; 0,0600; 0,0650; 0,0700; 0,0750. Na segunda, coluna: 0,0836; 0,0916;
0,0995; 0,1076; 0,1156. Na terceira coluna: 0,9665; 0,9634; 0,9602; 0,9570; 0,9537. Na
quarta coluna: 0,9133; 1,0083; 1,1056; 1,2054; 1,3077. Na quinta coluna: 10,0000;
10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna encontra-se em branco. Na sétima
coluna, os valores: 0,2300; 0,2350; 0,2400; 0,2450; 0,2500. Na oitava coluna: 0,4033;
0,4143; 0,4253; 0,4365; 0,4479. Na nona coluna: 0,8387; 0,8343; 0,8299; 0,8254; 0,8208.
Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna:
5,1785; 4,9496; 4,7295; 4,5181; 4,3144. Na quarta linha, primeira coluna, apresentam-
se, alinhados um sobre os outros, os valores: 0,0800; 0,0850; 0,0900; 0,0950; 0,1000.
Na segunda, coluna: 0,1238; 0,1320; 0,1403; 0,1485; 0,1569. Na terceira coluna: 0,9505;
0,9472; 0,9439; 0,9406; 0,9372. Na quarta coluna: 1,4126; 1,5203; 1,6308; 1,7444;
1,8611. Na quinta coluna: 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna
encontra-se em branco. Na sétima coluna, os valores: 0,2550; 0,2600; 0,2650; 0,2700;
0,2750. Na oitava coluna: 0,4594; 0,4711; 0,4830; 0,4951; 0,5074. Na nona coluna:
0,8162; 0,8115; 0,8068; 0,8020; 0,7970. Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000;
3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna: 4,1181; 3,9287; 3,7459; 3,5691; 3,3981. Na
quinta linha, primeira coluna, apresentam-se, alinhados um sobre os outros, os valores:
0,1050; 0,1100; 0,1150; 0,1200; 0,1250. Na segunda, coluna: 0,1654; 0,1739; 0,1824;
0,1911; 0,1998. Na terceira coluna: 0,9339; 0,9305; 0,9270; 0,9236; 0,9201. Na quarta
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Estudante, como vimos no passo a passo, conseguimos determinar a área de aço para uma
estrutura por meio de cálculos que levam em consideração diferentes variáveis.
Primeiramente, é necessário compreender o formato da seção da estrutura, uma vez que o
método de cálculo da área de aço varia para estruturas retangulares e em forma de T.
Após determinar o tipo de seção, passamos a analisar o momento que atuará sobre a peça,
bem como as tensões e deformações pelas quais a estrutura passará. A partir desse ponto,
é possível encontrar a área total de aço necessária para a estrutura e, então, determinar o
tipo de aço a ser utilizado.
coluna: 1,9810; 2,1044;  2,2314; 2,3621; 2,4796. Na quinta coluna: 10,0000; 10,0000;
10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna encontra-se em branco. Na sétima coluna,
os valores: 0,2800; 0,2850; 0,2900; 0,2950; 0,3000. Na oitava coluna: 0,5199; 0,5326;
0,5455; 0,5586; 0,5721. Na nona coluna: 0,7921; 0,7870; 0,7818; 0,7765; 0,7712. Na
décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna:
3,2324; 3,0791; 2,9162; 2,7469; 2,6179. Na sexta linha, primeira coluna, apresentam-se,
alinhados um sobre os outros, os valores: 0,1300; 0,1350; 0,1400; 0,1450; 0,1500. Na
segunda, coluna: 0,2086; 0,2175; 0,2264; 0,2354; 0,2445. Na terceira coluna: 0,9166;
0,9130; 0,9094; 0,9058; 0,9022. Na quarta coluna: 2,6355; 2,7786;  2,9263; 3,0787;
3,2363. Na quinta coluna: 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000; 10,0000. A sexta coluna
encontra-se em branco. Na sétima coluna, os valores: 0,3050; 0,3100; 0,3150; 0,3200;
0,3300. Na oitava coluna: 0,5858; 0,5998; 0,6141; 0,6287; 0,6590. Na nona coluna:
0,7657; 0,7601; 0,7544; 0,7485; 0,7364. Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000;
3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna: 2,4748; 2,3355; 2,1997; 2,0672; 1,8100. Na
sétima linha, primeira coluna, apresentam-se, alinhados um sobre os outros, os
valores: 0,1550; 0,1600; 0,1650; 0,1700; 0,1750. Na segunda, coluna: 0,2536; 0,2630;
0,2723; 0,2818; 0,2913. Na terceira coluna: 0,8985; 0,8948; 0,8911; 0,8873; 0,8835. Na
quarta coluna: 3,3391; 3,5000;  3,5000; 3,5000; 3,5000. Na quinta coluna: 10,0000;
9,8104; 9.3531; 8.9222; 8,5154. A sexta coluna encontra-se em branco. Na sétima
coluna, os valores: 0,3400; 0,3500; 0,3600; 0,3700; 0,3800. Na oitava coluna: 0,6910;
0,7249; 0,7612; 0,8003; 0,8433. Na nona coluna: 0,7236; 0,7100; 0,6955; 0,6799; 0,6627.
Na décima coluna: 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000; 3,5000. Na décima primeira coluna:
1,5652; 1,3283; 1,0983; 0,8732; 0,6506. Na oitava e última linha, primeira coluna,
apresentam-se, alinhados um sobre os outros, os valores: 0,1800; 0,1850; 0,1900;
0,1950; 0,2000. Na segunda, coluna: 0,0309; 0,3106; 0,3205; 0,3305; 0,3405. Na terceira
coluna: 0,8796; 0,8757; 0,8718; 0,8678; 0,8638. Na quarta coluna: 3,5000; 3,5000;
3,5000; 3,5000; 3,5000. Na quinta coluna: 8,3106; 7,7662; 7,4204; 7,0919; 6,7793. A
sexta, sétima, oitava, nona, décima e décima primeira coluna encontram-se mescladas
e vazias, não apresentando nenhum valor.
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Vamos colocar esses conceitos em prática e determinar a armadura de protensão para
uma seção retangular quando submetida aos momentos Mg1=3580 kN.m e Mq=1912
kN.m. Consideraremos os seguintes parâmetros: largura da seção (bw) = 0,8, altura da
seção (d) = 1,50 m, resistência característica do concreto (fck) = 26 MPa, aço CP175 e σp∞
= 100 MPa.
KMD= = = 0,2300
De acordo com a Tabela 2.1 de valores para cálculo de armadura longitudinal de seções
retangulares, temos que:
KX= 0,4033 ; KZ=0,8387  ; =0,51785%
E aplica-se = + , utilizando a tabela de tensões no aço para σp∞ = 100 MPa.
Onde temos =0,5112%
= +
E onde 0,51785+0,5112=1,029%
Novamente, aplicando a tabela de valores para cálculo de armadura longitudinal de seções
retangulares, temos fsd=  1369,16MPa.
Assim, = = 44,70 cm2.
Assim, a área do aço necessária para a estrutura protendida, é 44,70 cm2.
Estudante, vamos praticar o conhecimento adquirido até aqui? Vamos lá!
praticar
Vamos Praticar
Comando da atividade prática: Determine a armadura de protensão de uma seção
retangular quando submetida aos momentos Mg1=3580 kN.m Mq=1912 kN.m,
considerando que bw = 0,6; d = 1,40 m; fck = 26 MPa aço CP190 e σp∞ = 100 MPa.
Md
. .fcd bw dp
2
1,4 . (3580+1912)
26000
1,4
0,8.1,52
εs
εt εs εp
εp
εt εs εp
=As
Md
KZ.d.fs
1,4 . (3580+1912)
0,8387. .1,5 . 136,9
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Estudante, como vimos, os estados-limite são critérios considerados no projeto das
estruturas em concreto protendido para veri�car e garantir a segurança e as condições de
serviço de uma estrutura. Além disso, como discutido em relação aos Estados-Limite
Últimos (ELU), é possível utilizar os estados limites relacionados à �ssuração como
procedimentos de dimensionamento da armadura longitudinal em estruturas de concreto
protendido. Conforme mencionado por Carvalho (2012, p. 146), embora inicialmente
propostos paraveri�car os estados limites de serviço, esses critérios podem ser aplicados
para dimensionamento da armadura em casos especí�cos de concreto protendido.
Estados-limite de serviço ELS’s
Os estados-limite de uma estrutura indicam os valores e condições limitantes que uma
edi�cação pode suportar. Com base nesses aspectos e no conhecimento dos estados
limites, é possível dimensionar estruturas que estejam dentro desses parâmetros.
Os estados-limites de serviço são:
Projeto de viga:
estados-limites de
serviço ELS’s e
verificação de fissura
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aqueles relacionados ao conforto do usuário e à durabilidade, aparência e boa
utilização das estruturas, seja em relação aos usuários, seja em relação às
máquinas e aos equipamentos suportados pelas estruturas. A segurança das
estruturas de concreto pode exigir a veri�cação de alguns estados limites de
serviço de�nidos na Seção 3. Em construções especiais pode ser necessário
veri�car a segurança em relação a outros estados-limites de serviço não
de�nidos nesta Norma (ABNT, 2014, p. 50).
Assim, se for veri�cado que uma peça ou edi�cação atingiu um Estado-Limite de Serviço,
seu uso pode ser comprometido, mesmo que a mesma não tenha colapsado e perdido suas
características de resistência. Portanto, uma estrutura pode ser considerada inapta para
uso devido à existência de características como durabilidade e conforto, mesmo que não
esteja em ruínas.
A NBR 6118 (2014) apresenta sete tipos de estados limites, cada um relacionado a
diferentes situações que podem comprometer o desempenho em serviço. A seguir,
veremos cada um deles: Estado-Limite de Formação de Fissuras (ELS-F); Estado-Limite de
Abertura das Fissuras (ELS-W); Estado-Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF);
Estado-Limite de Descompressão (ELS-D); Estado-Limite de Descompressão Parcial (ELS-
DP); Estado Limite de Compressão Excessiva (ELS-CE); Estado Limite de Vibrações
Excessivas (ELS-VE).
Observe:
Na �gura a seguir, é possível ver a secção transversal de uma viga te, onde, na parte vertical
da viga, temos a região comprimida, e na extremidade de baixo, a uma distância ap, a
bainha de protensão sob a região tracionada, segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014, p. 70).
ELS-F é o “estado em que se inicia a formação de �ssuras. Admite-se que
este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção
transversal for igual a fct,f” (ABNT - NBR 6118, 2014, p. 05) fct,f é a resistência
do concreto à tração na �exão. 
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Figura 2.2: Secção transversal de viga te
Fonte: ABNT (2014, p. 06).
#PraCegoVer: na �gura temos a secção transversal de uma viga te, onde, na parte vertical da
viga, temos a região comprimida. Na extremidade de baixo, a uma distância ap, a bainha de
protensão, sob a região tracionada. Vemos uma ilustração vetorial, em cor cinza, de uma forma
parecendo a letra T. Na parte de baixo, onde seria a base da �gura, a cor é branca e há uma seta
onde se lê: região tracionada. Um pouco mais acima da base, há um pequeno círculo em branco,
e uma seta apontada para ele, onde se lê: bainha de protensão. Ao lado direito desse pequeno
círculo, há duas pequenas linhas horizontais, e entre elas uma seta minúscula, com pontas em
ambas extremidades, onde se lê: ap. Um pouco mais acima, outra seta, indicando: região
comprimida.
Agora, vamos seguir nossos estudos, conhecendo mais sobre as veri�cações de
�ssuração. Vamos lá? Seguimos!
Verificação de fissuração
Estudante, primeiramente, para abordarmos o ELS de uma estrutura, temos que veri�car os
parâmetros de durabilidade do local em que a estrutura está inserida, sendo quatros
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classes de classi�cação dos locais. Veri�caremos, assim, qual a agressividade de lugar
para lugar, de acordo com o quadro a seguir:
Assim, de acordo com a localização da estrutura e veri�cado o tipo de agressividade do
ambiente, podemos veri�car as especi�cidades de protensão como vemos a seguir:
Quadro 2.6: Agressividade do ambiente
Fonte: adaptado de Carvalho (2012, p. 148).
#PraCegoVer: o quadro apresenta cinco linhas e quatro colunas. Na primeira linha,
primeira coluna, temos: Classe de Agressividade do Ambiente (CAA); na segunda
coluna: Agressividade; na terceira coluna: Classi�cação geral do tipo de ambiente para
projeto; na quarta coluna: Risco de deterioração da estrutura. Na segunda linha,
primeira coluna, temos: I; na segunda: fraca; na terceira: rural e submersa; na quarta:
insigni�cante. Na terceira linha, primeira coluna, temos: II; na segunda: média; na
terceira: urbana; na quarta: pequeno. Na quarta linha, primeira coluna, temos: III; na
segunda: forte; na terceira: marinha e industrial; na quarta: grande. Na quinta linha,
primeira coluna, temos: IV; na segunda: muito forte; na terceira: industrial, respingos de
maré; na quarta: elevado.
Classe de
Agressividade do
Ambiente (CAA)
Agressividade
Classi�cação geral
do tipo de
ambiente para
projeto
Risco de
deterioração da
estrutura
I fraca rural e submersa insigni�cante
II média urbana pequeno
III forte
marinha e
industrial
grande
IV muito forte
industrial,
respingos de maré
elevado
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Quadro 2.7: Exigência de protensão
Fonte: Adaptado de Carvalho (2012, p. 149).
#PraCegoVer: o quadro apresenta oito linhas e quatro colunas. Na primeira linha,
primeira coluna, se lê: tipos de concreto estrutural; na segunda coluna: agressividade
ambiental; na terceira coluna:  exigências; na quarta coluna: combinação de ações a
considerar. Na segunda linha, primeira coluna, se lê: concreto simples; na segunda
coluna: CAAI a CAAIV; na terceira coluna: não há; na quarta coluna: frequente. Na
terceira linha, primeira coluna, se lê: concreto armado (sem protensão); na segunda
coluna: CAAI; na terceira coluna: ELS-W   ; na quarta coluna: frequente.
Na quarta linha, primeira coluna, se lê: concreto armado (sem protensão); na segunda
coluna: CAAII e III; na terceira coluna: ELS-W   ; na quarta coluna:
frequente. Na quinta linha, primeira coluna, se lê: concreto armado (sem protensão); na
segunda coluna: CAAIV; na terceira coluna: ELS-W   ; na quarta coluna:
frequente. Na sexta linha, primeira coluna, se lê: Protensão parcial nível 1; na segunda
TIPOS DE
CONCRETO
ESTRUTURAL
AGRESSIVIDADE
AMBIENTAL
EXIGÊNCIAS
COMBINAÇÃO DE
AÇÕES A
CONSIDERAR
concreto simples CAAI a CAAIV não há frequente
concreto armado
(sem protensão)
CAAI
ELS-W 
frequente
concreto armado
(sem protensão)
CAAII e III
ELS-W 
frequente
concreto armado
(sem protensão)
CAAIV
ELS-W 
frequente
Protensão parcial
nível 1
Pré-tração CAAI
pós-tração  CAA I e II
ELS-W 
frequente
Protensão
limitada nível 2
Pré-tração CAAII
pós-tração  CAA III e
IV
ELS-F �ss.
ELS-D �ss.
frequente
quase permanente
Protensão
completa nível 3
Pré-tração 1
ELF �ss.
ELS-D �ss.
rara
frequente
ω ≤ 0, 4 mm
ω ≤ 0, 3 mm
ω ≤ 0, 2 mm
ω ≤ 0, 2 mm
ω ≤ 0, 4 mm
ω ≤ 0, 3 mm
ω ≤ 0, 2 mm
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O dimensionamento, a partir do ELS, é realizado levando em consideração as propriedades
dos materiais utilizados, as características geométricas e de seção da estrutura, e os
requisitos de durabilidade.
No caso do concreto, é importante veri�car as seguintes propriedades:
módulo de elasticidade;
resistência à compressão;
resistência à tração.
Já para o aço, é necessário conhecer:
módulo de elasticidade;
tensão de escoamento;coe�ciente de �uência;
coe�ciente de relaxação.
No que diz respeito aos limites de tensão, eles serão veri�cados de acordo com o tipo de
protensão, seja ela pré ou pós-tensionada. Para as armaduras pré-tracionadas, temos o
seguinte:
 (RN)       (RB)
Para as armaduras pós tracionadas:
 (RN)       (RB)
As equações gerais utilizadas, para as tensões normais associada a �exão:
                     
Para a �exo-compressão excêntrica, temos:
coluna: Pré-tração CAAI pós-tração CAA I e II; na terceira coluna: ELS-W ;
na quarta coluna: frequente. Na sétima linha, primeira coluna, se lê: Protensão parcial
nível 2; na segunda coluna: Pré-tração CAAII, pós-tração CAA III e IV; na terceira coluna:
ELS-F �ss e ELS-D �ss; na quarta coluna: frequente, quase permanente. Na oitava linha,
primeira coluna, se lê: Protensão parcial nível 3; na segunda coluna: Pré-tração 1; na
terceira coluna: ELF �ss e ELS-D �ss; na quarta coluna: rara, frequente.
ω ≤ 0, 2 mm
≤ {0, 77  ; 0, 90   }σpi fptk  fpyk  ≤ {0, 77  ; 0, 85   }σpi fptk  fpyk 
≤ {0, 74  ; 0, 87   }σpi fptk  fpyk  ≤ {0, 74  ; 0, 82   }σpi fptk  fpyk 
= =σinf
M.y1
IX
M
Winf
= =σsup
M.y2
IX
M
Wsup
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Para a combinação frequente das ações, utilizamos:
Para a combinação quase permanente das ações, temos:
Para combinação rara de ações, temos:
Para força de protensão estimada, temos:
Para área de aço da armadura protendida, temos:
Caro(a) estudante, te convido a treinar seus conhecimentos com a atividade a seguir.
Vamos lá?!
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
= + +σinf
P
Ac
P .ep
Winf
M
Winf
= + +σsup
P
Ac
P .ep
−Wsup
M
Wsup
= + . + .Fd ∑Fgi,k Ψ1 Fq1,k ∑Ψ2j Fqj,k
= + .Fd ∑Fgi,k ∑Ψ2j Fqj,k
= + + .Fd ∑Fgi,k Fq1,k ∑Ψ1j Fqj,k
=Pi,est
P∞
(1 − Δ )Pi
=Ap
Pi,est
σpi
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Quando falamos sobre o estado limite de serviço (ELS) temos sete diferentes tipos. Sendo
eles Estado-Limite de Formação de Fissuras (ELS-F); Estado-Limite de Abertura das
Fissuras (ELS-W); Estado-Limite de Deformações Excessivas (ELS-DEF); Estado-Limite de
Descompressão (ELS-D); Estado-Limite de Descompressão Parcial (ELS-DP); Estado Limite
de Compressão Excessiva (ELS-CE) e Estado Limite de Vibrações Excessivas (ELS-VE).
Sobre os ELS’s, as situações em que o mesmo pode ocorrer e as especi�cidades desses,
assinale a alternativa correta:
a) O ELS-W pode possuir �ssuras de 0,2 mm a 0,4 mm que não prejudiquem a
estética e causem insegurança aos usuários.
b) O ELS-CDP tem uma região que deve se estender até uma distância ap da face
mais próxima da cordoalha ou da bainha de protensão.
c) O ELS-D é o estado no qual todos os pontos da seção transversal a tensão
normal são nulos.
d) O ELS-DP é o estado no qual garante-se a compressão na seção transversal na
região onde existem armaduras ativas.
e) O  ELS-F é o estado em que toda peça da está tomada por �ssuras, a �m de não
prejudicar a estética e a durabilidade.
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Material
Complementar
F I L M E
Oscar Niemeyer: a vida é um sopro
Ano: 2007
Comentário: No �lme é possível conhecer um pouco mais da história
de Oscar Niemeyer, sua trajetória e visualizar algumas de suas obras,
que são conhecidas por serem arrojadas e modernas, cujas
construções, em muitos momentos, utilizaram-se da técnica
construtiva de concreto protendido.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer no link a seguir.
Disponível em:
TRA I LER
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L I V R O
Desconstruindo o projeto estrutural de edifícios
Autor: José Sergio dos Santos
Editora: O�cina de textos
Capítulo: 10
Ano: 2019
ISBN: 978-85-7975-261-2
Comentário: Na leitura, podemos nos aprofundar na compreensão do
projeto e na aplicação de alguns conceitos de concreto protendido na
prática, quando uma estrutura passa da fase de projeto para a
construção efetiva. Dessa forma, é possível assimilar o conteúdo de
maneira abrangente e prática, de modo que os pro�ssionais possam
aplicar seus conhecimentos no canteiro de obras. Essa fonte está
disponível na Minha Biblioteca.
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Conclusão
Prezado(a) estudante, nesta unidade você aprendeu que o dimensionamento do concreto
protendido requer a consideração de várias variáveis. Essas variáveis devem levar em conta as
características do ambiente em que a estrutura está inserida, bem como as necessidades
especí�cas da própria estrutura. É importante levar em consideração esses critérios ao realizar
os cálculos, a �m de evitar que a estrutura exceda os limites de�nidos, pois isso poderia levar à
condenação da estrutura. O objetivo é dimensionar a estrutura de concreto protendido de forma a
evitar a �ssuração excessiva, pois isso prejudicaria tanto o elemento individual quanto a estrutura
como um todo. Portanto, a armadura ativa e passiva deve ser projetada de forma a tornar a
estrutura funcional para suportar cargas e cumprir os requisitos relacionados ao �ssuramento.
Até a próxima!
Referências
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS
TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118: Projeto de
estruturas de concreto – Procedimento.
Rio de Janeiro: ABNT, 2014. 238p.
BASTOS, P. S. Fundamentos do concreto
protendido. Bauru/SP: Universidade
Estadual Paulista–UNESP, 2019.
CARVALHO, R. C. Estruturas em concreto protendido: cálculo e detalhamento. São Paulo: PINI,
2012.
OSCAR Niemeyer - A vida é um sopro (2007) - Trailer. [S. l.: s. n.], 2013. 1 vídeo (2 min.). Publicado
pelo canal História do Cinema. Disponível em: https://youtu.be/Dme9W6bvXik. Acesso em: 11
jun. 2023.
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https://youtu.be/Dme9W6bvXik
SANTOS, J. S. dos. Desconstruindo o projeto estrutural de edifícios. São Paulo: O�cina dos
Textos, 2019.
SOARES, S. J.; CALIXTO, J. M.; CHUMBINHO, H. Avaliação "in loco" das perdas de protensão de
cordoalhas engraxadas em lajes planas. Revista IBRACON de Estruturas e Materiais, v. 1, p. 237-
260, 2008. Disponível em: https://www.scielo.br/j/riem/a/ysPb8C8fDr6qyyvrcj85MML/abstract/?
lang=pt. Acesso em: 11 jun. 2023.
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https://www.scielo.br/j/riem/a/ysPb8C8fDr6qyyvrcj85MML/abstract/?lang=pt
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