'-_-' - Nota 10 - Tentativa 1 - Semana 6 - Álgebra Linear e Geometria Analítica

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Existem diferentes maneiras de determinar um plano no espaço entre elas: conhecendo três pontos não colineares; por meio de uma reta e um ponto fora dessa reta; conhecendo duas retas distintas que se interceptam; por meio de duas retas diferentes paralelas; e conhecendo um vetor normal ao plano e um ponto
pertencente ao plano. Seja π o plano que contém os pontos P = ( 4, − 3,1) , Q = ( − 3, − 1,1) e R = ( 4, − 2,8) .
 
Selecione a alternativa que contém a equação do plano π.
a. 4x + y − z − 20= 0
b. − 2x − y + z − 2= 0
c. x − 3y + z − 1= 0
d. − 3x + 4y + z − 1= 0
e. 14x + 49y − 7z + 98= 0
PERGUNTA 1 1,4 pontos   Salva
Assinale a opção que apresenta a equação normal do plano (Também chamada de equação analítica do plano) que tem vetor normal →v = ( )1,2, − 3 e que passa pelo ponto P = ( )0, − 1,7 .
a. x + 2y − 3z = 0
b.x + 2y + 3z + 23= 0
c. x + 2y − 3z − 23= 0
d.x − 2y − 3z + 23= 0
e. x + 2y − 3z + 23= 0
PERGUNTA 2 1,4 pontos   Salva
Uma reta no espaço pode ser descrita por um ponto pertencente a ela e um vetor paralelo à reta (muitas vezes chamado de vetor diretor). A posição relativa entre duas retas no espaço engloba os seguintes casos: (1) as retas são paralelas ou coincidentes; (2) as retas são concorrentes; e (3) as retas são reversas. A
distância entre duas retas r
1
 e r
2
 pode ser calculada se conhecemos um ponto pertencente a cada uma das retas e seus vetores diretores. A reta r
1
 possui equações paramétricas (x ( t) ,y ( t) , z ( t) ) = ( t , 2+ t , 1) . A reta r
2
 possui equações paramétricas (x ( t) ,y ( t) , z ( t) ) = ( 1+ 2t , 2− t , 1− t) .
Selecione a alternativa que apresenta a distância entre as retas r
1
 e r
2
.
a. 121
b. 1
c. 11
d. 11 /11
e. 11
PERGUNTA 3 1,4 pontos   Salva
Euclides de Alexandria é conhecido como o “Pai da Geometria”. Sua obra mais famosa é “Os elementos”, uma coleção de 13 volumes de teoremas e provas geométricas. Escrito por volta de 300 a.C., é considerada uma das obras mais influentes da história da matemática. Euclides definiu uma reta como um intervalo entre
dois pontos e afirmou que poderia ser estendida indefinidamente em qualquer direção. Tal extensão em ambas as direções é que, nos tempos atuais, chamamos de reta, enquanto a definição original de Euclides é considerada um segmento de reta. Com o advento da geometria analítica, formas geométricas e suas
propriedades podem ser estudadas com o uso de equações algébricas. A origem da geometria analítica é atribuída a René Descartes, que publicou um tratado sobre o assunto em 1637. A obra de Descartes, intitulada “La Géométrie”, foi a primeira a introduzir os conceitos de geometria analítica, que combina princípios
algébricos e geométricos para estudar formas geométricas e suas propriedades. A geometria analítica nos permite estudar retas no espaço por meio de suas equações.
Considere a reta que passa pelo ponto (0, 3, 8) e é paralela à reta r. A reta r, por sua vez, que tem equações paramétricas dadas por:
x = 10+ 3t
y = 12t
z = − 3− t .
Selecione a alternativa correta a respeito da posição relativa entre a reta s e o plano xz.
 
a.
A reta r intercepta o plano xz no ponto ⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
3
4
, 0, 31
4
b. A reta r intercepta o plano xz no ponto ( 1, 0 , − 1) .
c. A reta r não intercepta o plano xz.
d. A reta r está contida no plano xz.
e.
A reta r intercepta o plano xz no ponto ⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
3
4
, 31
4
, 0
PERGUNTA 4 1,5 pontos   Salva
As retas são um conceito muito importante em geometria; juntamente com o ponto e o plano, as retas são conceitos fundamentais, a partir dos quais outros conceitos de geometria são construídos. Elas também são usadas para medir e descrever ângulos e outras figuras geométricas. Retas no espaço podem ser descritas
por meio de equações paramétricas.
A reta é a reta que passa pelos pontos ( 1, − 2,13) e ( 2, 0, − 5) . A reta r é a reta com equações paramétricas dadas por:
x = 2+ 4t
y = − 1− t
z = 3
Selecione a alternativa correta a respeito da posição relativa entre a reta s e a reta r
a. As duas retas são coincidentes
b. As duas retas se interceptam no ponto (2, -1, 3)
c.
As duas retas se interceptam no ponto ⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
14
9
, −8
9
, 3 .
d. As duas retas se interceptam no ponto (6, -2, 3).
e. As duas retas não se interceptam
PERGUNTA 5 1,5 pontos   Salva
Assinale a alternativa que apresenta as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P
1
= ( )1, 2, − 1 e P
2
= ( − 2, 0, − 1) .
a. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 1− 3t
y = 2− 2t
z = − 1
b. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 2− 3t
y = 2− 2t
z = − 1
c. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 1− 3t
y = 3− 2t
z = − 1
d. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 1− 2t
y = 2
z = − 1− t
e. ⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x = 1− 3t
y = 2− 2t
z = − 2
PERGUNTA 6 1,4 pontos   Salva
Um plano é um objeto matemático que tem duas dimensões, que pode ser visualizado como uma superfície plana infinita que se estende em todas as direções, não tem espessura nem profundidade e é representado por duas dimensões: comprimento e largura. A geometria analítica nos permite descrever planos por meio
de equações, que nos fornecem informações importantes a respeito do plano e da sua posição relativa a outros objetos matemáticos como pontos, retas e planos.
 
Com relação ao texto apresentado, observe as afirmativas a seguir.
 
I. A equação x = 0 define o plano z-y.
II. Dois planos distintos podem se interceptar em um único ponto.
III. Três pontos não colineares determinam um único ponto.
IV. Duas retas que estão no mesmo plano são paralelas.
 
Está correto o que se afirma em:
a. I e III, apenas
b. II e IV, apenas
c. III e IV, apenas
d. I, II e IV, apenas
e. I, II e III, apenas
PERGUNTA 7 1,4 pontos   Salva
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 Estado de Conclusão da Pergunta: