Noções Sobre Corrente Alternada Senoidal

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DESCRIÇÃO
Introdução à análise de circuitos em corrente alternada (CA) em regime permanente senoidal, técnicas
de análise de circuitos CA, circuitos CA trifásicos e potência CA.
PROPÓSITO
Compreender as relações entre tensão e corrente em regime de CA senoidal para fins de resolução de
circuitos no domínio da frequência. Apresentar o sistema trifásico e a relação de potências em CA.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e, se possível, uma calculadora
científica para facilitar seus cálculos com números complexos.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Formular a relação entre tensão e corrente em regime permanente senoidal
MÓDULO 2
Aplicar técnicas de resolução de circuitos em CA no domínio da frequência
MÓDULO 3
Reconhecer sistemas trifásicos e relações de potência CA
NOÇÕES SOBRE CORRENTE ALTERNADA
SENOIDAL
MÓDULO 1
 Formular a relação entre tensão e corrente em regime permanente senoidal
RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E CORRENTE EM
REGIME PERMANENTE SENOIDAL
RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E CORRENTE
AS TENSÕES SENOIDAIS DISPONIBILIZADAS PARA USO EM
RESIDÊNCIAS, INDÚSTRIAS E APLICAÇÕES EM GERAL SÃO
ORIGINADAS EM GERADORES DE CA.
Entender a origem dos sinais alternados senoidais é o primeiro passo para aplicar as relações entre
tensões e correntes alternadas para solução de circuitos com fontes variáveis.
A figura a seguir ilustra a forma de onda de um sinal senoidal, que se repete em intervalos definidos. É
possível dizer então que se trata de um sinal periódico.
Imagem: Shutterstock.com.
 Figura 1: Forma de onda senoidal.
Esse sinal periódico senoidal pode ser modelado por uma função cosseno (Equação 1). Por se tratar
de um sinal que se repete, é possível obter sua frequência, que é o número de ciclos por segundo,
medida em Hertz (Hz) ou radianos por segundo ( ω ) .
AMCOS 
(1)
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Na Equação 1 é possível ainda observar o ângulo ∅, denominado ângulo de fase do sinal senoidal. Ele
determina o deslocamento da função no eixo de tempo (Figura 2). Essa forma de onda senoidal pode ser
a representação de qualquer forma de onda alternada, como tensões, correntes ou potências.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 2: Defasagem entre senoides.
O valor 𝑉𝑀 na figura acima refere-se ao valor máximo da amplitude do sinal, tanto no semiciclo positivo
quanto no semiciclo negativo. Esse valor também é conhecido como valor de pico, de modo que a
amplitude total, entre os valores máximos positivo e negativo, é denominada valor de pico a pico 𝑉𝑃𝑃 ,
dado pela Equação 2:
𝑉𝑃𝑃 = 2𝑉𝑀
(2)
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A expressão matemática geral que representa um sinal senoidal é dada pela Equação 3.
𝐴𝑚 sen (𝛼)
(3)
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Em que 𝐴𝑚 é a amplitude máxima (de pico) do sinal e α = ω𝑡 é o argumento do sinal, determinado pelo
produto da frequência angular com o período do ciclo desse sinal.
 EXEMPLO
Considere a forma de onda de tensão senoidal da próxima figura. Essa tensão apresenta um valor de
pico de 10 V, um período de oscilação de 0,8 s (tempo gasto para completar um ciclo de onda) e uma
frequência de 1,25 Hz (quantidade de ciclos por segundo ou o inverso do período).
𝑓 = 1
𝑇
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Em que f é a frequência em Hertz e T, o período em segundos.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 3: Exemplo 1.
 EXEMPLO
Sejam 𝑣1 (𝑡) e 𝑣2 (𝑡) duas tensões senoidais. Determine a frequência desses sinais em Hz e o ângulo de
fase entre elas.
𝑣1 𝑡 = 10𝑠𝑒𝑛377𝑡 + 30° V
𝑣2 (𝑡) = 5𝑠𝑒𝑛(377𝑡 - 20°) V
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A frequência em Hz é dada por:
f = ω
2π = 377
2π = 60 Hz
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Já o ângulo de fase entre os sinais é dado por:
∅ = 30° - -20° = 50°
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VALOR MÉDIO DE UM SINAL SENOIDAL
O VALOR MÉDIO DE UM SINAL SENOIDAL É SIMPLESMENTE A
MÉDIA DESSE SINAL AO LONGO DE UM PERÍODO.
Tal valor pode ser entendido como a componente CC presente no sinal CA. Na figura a seguir o valor
médio do sinal é a área sob a curva do gráfico.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 4: Definição de valor médio.
 ATENÇÃO
Para um sinal senoidal simétrico ao eixo x, a média será zero, pois os valores dos semiciclos positivo e
negativo se anulam no cálculo da média.
VALOR EFICAZ (RMS) DE UM SINAL SENOIDAL
 SAIBA MAIS
O valor eficaz ou rms (do inglês root mean square, valor quadrado médio) refere-se à medida de um
sinal CA que dissipa a mesma potência em uma resistência alimentada por um sinal CC.
O valor rms para sinais senoidais é dado pela Equação 4:
𝐴𝑟𝑚𝑠 = 𝐴𝑚
√2
(4)
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Em que 𝐴𝑚 é a amplitude máxima ou de pico do sinal.
 COMENTÁRIO
As tensões indicadas pelas empresas de energia em instalações residenciais, por exemplo (127 V ou
220 V), já são valores rms.
FASORES
As expressões que representam um sinal CA senoidal, como o descrito na Equação 3, podem ser
expressas de forma mais simplificada utilizando fasores.
FASORES SÃO VETORES QUE GIRAM EM CÍRCULO NO SENTIDO
ANTI-HORÁRIO A DADA VELOCIDADE ANGULAR CONSTANTE.
Para exemplificar como eles são representados, considere a Equação 5 que descreve uma tensão
senoidal:
𝑉𝑡 = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠ω𝑡 + θ
(5)
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Para descrever esse sinal de tensão completamente, basta conhecer seu valor máximo e seu ângulo de
fase. Dessa forma, essa tensão pode ser representada por um número complexo na forma polar:
NÚMERO COMPLEXO
javascript:void(0)
Lembrando que a representação de números complexos em temas de eletricidade é feita com a
letra 𝑗 em vez da letra 𝑖.
𝑉 = 𝑉𝑚 𝑒
𝑗θ = 𝑉𝑚∠θ
(6)
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A Equação 6 é definida como um fasor, representado em negrito para diferenciá-lo de outros números
complexos.
Uma senoide pode ser representada por um conjunto de fasores de amplitude constante (Figura 5).
Conforme o sinal senoidal ocorre ao longo do tempo, o fasor (vetor no ciclo trigonométrico) assume
posições angulares (ou fases) diferentes.
Quando essa senoide completa um ciclo, o fasor completa um giro, de modo que pode ser denominado
como um vetor girante.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 5: Relação gráfica entre sinal senoidal e fasor.
 ATENÇÃO
Grandezas defasadas – Quando duas ou mais senoides de mesma frequência não atingem seus
respectivos valores máximos no mesmo instante do tempo, diz-se que elas estão defasadas.
Grandezas em fase – Quando duas ou mais senoides de mesma frequência (com a mesma amplitude
ou não) atingem seus respectivos valores máximos no mesmo instante, diz-se que elas estão em fase.
RELAÇÃO DE TENSÃO E CORRENTE PARA
FASORES
Considerando que as tensões e correntes em um circuito de CA podem ser representadas na forma de
fasores, é importante conhecer a relação entre essas grandezas para os elementos do circuito, ou seja:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
RESISTORES
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
INDUTORES
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
CAPACITORES
Essa relação tem como base a própria Lei de Ohm, com o fator de proporcionalidade sendo uma
constante ou uma função da frequência ω. No caso dos resistores, tem-se:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 6: Resistor alimentado por uma fonte senoidal.
V = Ri
(7)
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Em que:
Vt = Vm cosωt + θ
(8)
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it = Im cosωt + φ
(9)
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Considerando as Equações 8 e 9 na forma polar e substituindo na Equação 7, a Lei de Ohm para os
resistores será dada por:
𝑉𝑚 𝑒
𝑗θ = 𝑅𝐼𝑚 𝑒
𝑗φ
(10)
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Sendo 𝑉𝑚 𝑒
𝑗θ e 𝐼𝑚 𝑒
𝑗φ os fasores de tensão e corrente, respectivamente. Dessa forma, a representação
fasorial para a relação entre tensão e corrente em resistores é:
𝑉 = 𝑅𝐼
(11)
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 ATENÇÃO
Para os resistores, a relação fasorial no domínio da frequência é igual à relação do domínio do tempo,
de modo que os ângulos de tensão (θ) e corrente (φ) são iguais e são ditos em fase.
Para o indutor, é preciso primeiro relembrar a sua relação no domínio do tempo:
𝑉(𝑡) = 𝐿𝑑𝑖(𝑡)𝑑𝑡
(12)
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A representação complexa da Equação 12 é dada pela Equação 13:
𝑉𝑚 𝑒
𝑗(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝑗𝜔𝐿𝐼𝑚 𝑒
𝑗(𝜔𝑡 + 𝜑)
(13)
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Assim, sua representação na forma de fasores é:
𝑉 = 𝑗𝜔𝐿𝐼
(14)
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O fator de proporcionalidade para a Lei de Ohm aplicada ao indutor é 𝑗ω𝐿. A corrente será atrasada em
90° em relação à tensão.
Para o caso do capacitor, sua relação no domínio do tempo é dada por:
𝑖𝑡 = 𝐶𝑑𝑉(𝑡)
𝑑𝑡
(15)
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A partir da mesma análise feita para o indutor, a Equação 15 pode ser fasorialmente representada por:
𝐼 = 𝑗ω𝐶𝑉 ⇒ 𝑉 = 𝐼
𝑗ω𝐶
(16)
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A Equação 16 demonstra que a corrente e a tensão estão novamente fora de fase. Nesse caso, para o
capacitor, a corrente está adiantada 90° em relação à tensão.
A Tabela 1 traz um resumo da relação entre tensão e corrente para os três componentes abordados:
resistores, indutores e capacitores.
Elemento Domínio do tempo Domínio da frequência
𝑅 𝑉 = 𝑅𝑖 𝑉 = 𝑅𝐼
𝐿 𝑉 = 𝐿𝑑𝑖𝑑𝑡 𝑉 = 𝑗ω𝐿𝐼
𝐶 𝑖 = 𝐶𝑑𝑣𝑑𝑡 𝑉 = 𝐼
𝑗ω𝐶
Tabela 1: Relação entre tensão e corrente nos elementos. Elaborado por Isabela Oliveira Guimarães.
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TEORIA NA PRÁTICA
Considere que a equação senoidal a seguir representa tensão em um indutor. Utilizando os conceitos
vistos anteriormente, converta essa tensão para sua representação na forma fasorial.
𝑉𝑡 = 5𝑐𝑜𝑠20𝑡 + 30° 𝑉
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RESOLUÇÃO
Considerando a representação geral de um sinal senoidal, conforme a Equação 5, tem-se:
𝑉𝑡 = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠ω𝑡 + θ
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Para determinar sua representação fasorial, basta conhecer o valor máximo da tensão 𝑉𝑚 e seu ângulo
de fase (θ):
𝑉 = 𝑉𝑚 𝑒
𝑗𝜃 = 𝑉𝑚∠𝜃
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Assim, a representação fasorial do problema será dada por:
𝑉 = 5𝑒𝑗30° = 5∠30°
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RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. AS INFORMAÇÕES DA FORMA DE ONDA DE TENSÃO ALTERNADA MEDIDAS
POR UM ENGENHEIRO FORAM: Vt = 20cos 377t + 45° V
PARA FAZER UM ESTUDO MAIS APROFUNDADO DO SISTEMA, FOI
NECESSÁRIO CONHECER O PERÍODO DESSA SENOIDE, QUE TEM O VALOR DE:
A) 60 segundos
B) 16,6 segundos
C) 0,016 segundos
D) 0,16 segundos
E) 1,6 segundos
2. PARA OS SINAIS 𝑉1 = 100cos ω𝑡 + 15° E 𝑉2 = 150cos ω𝑡 + 45°, É CORRETO
AFIRMAR QUE:
A) 𝑉2 está avançada em relação a 𝑉1 em 30°;
B) 𝑉1 está avançada em relação a 𝑉2 em 60°;
C) 𝑉2 está atrasada em relação a 𝑉1 em 30°;
D) 𝑉2 está avançada em relação a 𝑉1 em 60°;
E) 𝑉1 e 𝑉2 estão em fase.
3. PARA OS SINAIS SENOIDAIS 𝑉1 = 10cos ω𝑡 + 25° E 𝑉2 = 15cos ω𝑡 - 30°, O
ÂNGULO DE FASE ENTRE ELES É DADO POR:
A) 30°
B) 45°
C) 50°
D) 55°
E) 60°
4. DADA A TENSÃO SENOIDAL REPRESENTADA POR 𝑉 = - 3 + 𝑗4 𝑉, A EQUAÇÃO
QUE A REPRESENTA NO DOMÍNIO DO TEMPO É:
A) 𝑉𝑡 = 5 cos (ω𝑡 + 126,8°)
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B) 𝑉𝑡 = 3 cos (ω𝑡 + 154,3°)
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C) 𝑉𝑡 = 4 cos (ω𝑡 + 125,8°)
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D) 𝑉𝑡 = 5 cos (ω𝑡 + 137,9°)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 𝑉𝑡 = 4 cos (ω𝑡 + 126,8°)
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5. O FASOR QUE MELHOR REPRESENTA O SINAL DE CORRENTE
𝑖𝑡 = - 8 𝑠𝑒𝑛(10𝑡 + 70°) É DADO POR:
A) -8∠70°
B) 8∠70°
C) -8∠160°
D) 8∠160°
E) -8∠140°
6. A PARTIR DAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ENTRE SENO E COSSENO, O
VALOR REFERENTE À DEFASAGEM ANGULAR DAS CORRENTES
𝑖1 = 4 cos (ω𝑡 + 20°) E 𝑖2 = - 2 cos (ω𝑡 + 18°) É DADA POR:
A) 2°
B) 38°
C) 88°
D) 108°
E) -88°
GABARITO
1. As informações da forma de onda de tensão alternada medidas por um engenheiro foram:
Vt = 20cos 377t + 45° V
Para fazer um estudo mais aprofundado do sistema, foi necessário conhecer o período dessa
senoide, que tem o valor de:
A alternativa "C " está correta.
O período 𝑇 de um sinal senoidal é dado pelo inverso de sua frequência. Para o problema proposto, a
frequência angular é ω = 377 𝑟𝑎𝑑 / 𝑠. Dessa forma, o período 𝑇 será:
𝑇 = 2π
ω = 2π
377 = 0,016 𝑠
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2. Para os sinais 𝑉1 = 100cos ω𝑡 + 15° e 𝑉2 = 150cos ω𝑡 + 45°, é correto afirmar que:
A alternativa "A " está correta.
3. Para os sinais senoidais 𝑉1 = 10cos ω𝑡 + 25° e 𝑉2 = 15cos ω𝑡 - 30°, o ângulo de fase entre eles
é dado por:
A alternativa "D " está correta.
Considerando a representação complexa de um sinal senoidal na forma
𝑉𝑡 = 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠ω𝑡 + θ
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tem-se que θ é denominado ângulo de fase do sinal.
Dessa forma, o ângulo de fase entre as tensões 𝑉1 e 𝑉2 descritas será:
ϕ = 25° - -30° = 55°
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4. Dada a tensão senoidal representada por 𝑉 = - 3 + 𝑗4 𝑉, a equação que a representa no domínio
do tempo é:
A alternativa "A " está correta.
A tensão senoidal oferecida é um número complexo, representado na forma retangular. Utilizando
relações trigonométricas no plano imaginário, a sua representação na forma polar será:
𝑉 = 5𝑒𝑗126,8° = 5∠126,8°
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A partir da representação fasorial, em que se conhece facilmente o valor máximo e o ângulo de fase da
tensão, é possível obter sua equação no domínio do tempo:
𝑉𝑡 = 5 cos (ω𝑡 + 126,8°)
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5. O fasor que melhor representa o sinal de corrente 𝑖𝑡 = - 8 𝑠𝑒𝑛(10𝑡 + 70°) é dado por:
A alternativa "D " está correta.
É necessário tornar a função seno positiva e convertê-la para função cosseno:
𝑖𝑡 = - 8 𝑠𝑒𝑛10𝑡 + 70° = 8 𝑠𝑒𝑛10𝑡 + 70° + 180° = 8 𝑠𝑒𝑛(10𝑡 + 250°)
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𝑖𝑡 = 8 𝑠𝑒𝑛10𝑡 + 250° = 8cos(10𝑡 + 250° - 90°)
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𝑖𝑡 = 8 𝑐𝑜𝑠(10𝑡 + 160°)
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𝑖(𝑡) = 8∠160°
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6. A partirdas relações trigonométricas entre seno e cosseno, o valor referente à defasagem
angular das correntes 𝑖1 = 4 cos (ω𝑡 + 20°) e 𝑖2 = - 2 cos (ω𝑡 + 18°) é dada por:
A alternativa "E " está correta.
A partir das regras trigonométricas de conversão de seno e cosseno, tem-se:
-𝑠𝑒𝑛 ω𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 (ω𝑡 + 180°)
Logo, 𝑖2 = 2 cos (ω𝑡 + 18° + 180°) = 2 cos (ω𝑡 + 18° + 198°)
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Para converter a função seno para cosseno basta subtrair 90°, então:
𝑖2 = 2 cos (ω𝑡 + 108°)
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Como o ângulo de fase de 𝑖1 = 20° e 𝑖1 = 108°, a defasagem entre essas correntes será de -88°.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. EM UM CIRCUITO ELÉTRICO EM SÉRIE HÁ DUAS TENSÕES, 𝑉1 E 𝑉2 , DADAS
POR 10 cos(377𝑡 - 𝜋3) E 12cos377𝑡 + 30°, RESPECTIVAMENTE. O VALOR QUE
REPRESENTA A TENSÃO EQUIVALENTE DESSE CIRCUITO, OU SEJA, 𝑉1 + 𝑉2
, É DADA POR:
A) 14,5 cos (377𝑡 + 6,8°) V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 15,6 cos (377𝑡 + 8,8°) V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 14,5 cos (377𝑡 - 7,8°) V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 15,6 cos (377𝑡 - 9,8°) V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 14,5 cos (377𝑡 + 5,8°) V
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2. UM CAPACITOR DE 2 Μ 𝐹 É SUBMETIDO A UMA CORRENTE SENOIDAL
CUJO VALOR É 4 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°𝐴. NESSA SITUAÇÃO, A TENSÃO NO CAPACITOR
VALE:
A) 2 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 4𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 65°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 2 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 - 25°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 4𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 2 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 - 65°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Em um circuito elétrico em série há duas tensões, 𝑉1 e 𝑉2 , dadas por 10 cos(377𝑡 - 𝜋3) e
12cos377𝑡 + 30°, respectivamente. O valor que representa a tensão equivalente desse circuito, ou
seja, 𝑉1 + 𝑉2 , é dada por:
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente é interessante converter as tensões para suas formas fasoriais:
𝑉1 = 10 ∠ 30° → π
3 = 30°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
𝑉2 = 12 ∠ 30°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os sinais são somados no circuito em série, a solução mais fácil é converter novamente os sinais
para sua forma retangular a fim de somar as partes reais e imaginárias e posteriormente colocar o
resultado no formato das alternativas.
𝑉1 + 𝑉2 = 5 - 𝑗8,66 + 10,4 + 𝑗6 = 15,6∠ - 9,8°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a alternativa que representa a soma das tensões 𝑉1 e 𝑉2 é:
15,6cos 377𝑡 - 9,8°𝑉
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2. Um capacitor de 2 µ 𝐹 é submetido a uma corrente senoidal cujo valor é 4 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°𝐴.
Nessa situação, a tensão no capacitor vale:
A alternativa "E " está correta.
A partir da relação entre tensão e corrente no capacitor:
𝑉 = 𝐼
𝑗ω𝐶
𝑉 = 4 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 + 25°
𝑗106 × 2 µ
= 2 𝑠𝑒𝑛106 𝑡 - 65°𝑉
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MÓDULO 2
 Aplicar técnicas de resolução de circuitos em CA no domínio da frequência
TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS CA
NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA
REATÂNCIA INDUTIVA E CAPACITIVA
Lembramos que um resistor, atravessado por uma corrente, apresenta uma oposição à passagem dessa
corrente que chamamos de resistência.
O COMPORTAMENTO DE UMA RESISTÊNCIA TANTO NA CORRENTE
CONTÍNUA (CC) QUANTO NA CORRENTE ALTERNADA (CA) É O
MESMO. O RESISTOR, QUANDO SUBMETIDO A UMA CORRENTE,
DISSIPA CALOR ATRAVÉS DO EFEITO JOULE.
No entanto, quando tratamos de indutores e capacitores, há um comportamento diferente nos regimes
de CC e CA. Um indutor em regime de CC funciona como um curto-circuito, mas, na CA, o indutor é
carregado e descarregado na mesma frequência da senoide, o que gera um comportamento de oposição
à passagem da corrente alternada. Esse efeito, semelhante ao da resistência, é a reatância indutiva, e
é representado por 𝑋𝐿 .
Imagem: Shutterstock.com.
Um capacitor em regime de CC funciona como um circuito aberto, mas na CA o capacitor é carregado e
descarregado na mesma frequência da senoide, o que gera um comportamento de oposição à
passagem da corrente alternada. Esse efeito, semelhante ao da resistência, é a reatância capacitiva, e
é representado por 𝑋𝐶 .
IMPEDÂNCIA DO CIRCUITO
Em CA, a relação entre tensão e corrente referente às resistências e reatâncias do circuito, deve ser
feita utilizando fasores, conforme detalhado no Módulo 1.
TAL RELAÇÃO NORMALMENTE RESULTA NA EXPRESSÃO DOS
COMPONENTES DO CIRCUITO COMO NÚMEROS COMPLEXOS, O
QUE SERÁ TRATADO COMO A IMPEDÂNCIA DE CADA ELEMENTO.
Considere as relações entre tensão e corrente para os três componentes estudados: resistor, indutor e
capacitor no domínio da frequência.
𝑉 = 𝑅𝐼 𝑉 = 𝑗ω𝐿𝐼 𝑉 = 𝐼
𝑗ω𝐶
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas relações são a representação da Lei de Ohm na forma fasorial, de modo que é possível
reescrevê-las como:
𝑉
𝐼 = 𝑅 𝑉𝐼 = 𝑗ω𝐿 𝑉𝐼 = 1
𝑗ω𝐶
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nessa representação, a relação 𝑉𝐼 é chamada de impedância do dispositivo, representada por 𝑍,
medida em ohms (𝛺). Apesar de ser dada pela relação entre dois fasores, a impedância não pode ser
considerada um fasor, visto que não varia como uma senoide. A impedância dos três componentes de
circuito (𝑅, 𝐿 e 𝐶) é dada por:
𝑅 ⇒ 𝑍 = 𝑅
𝐿 ⇒ 𝑍 = 𝑗ω𝐿
𝐶 ⇒ 𝑍 = 1
𝑗ω𝐶
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, a impedância de um componente pode ser definida como sua capacidade de se opor a
uma corrente senoidal, que possui módulo e frequência.
 ATENÇÃO
Para o resistor (também chamado de elemento ativo), é possível observar que a impedância é seu
próprio valor de resistência à oposição de passagem de corrente. Para os indutores e capacitores
(também chamados de elementos passivos), sua impedância será o que definimos com reatância 𝑋. A
impedância também pode representar as características de partes ou de todo um circuito formado pelos
elementos 𝑅, 𝐿 e 𝐶.
Assim, para um circuito elétrico, a impedância pode ser apresentada como a combinação entre as partes
ativa e reativa do circuito por um número complexo em sua forma retangular:
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na Equação 19, 𝑅 corresponde à parcela ativa (ou resistiva) do circuito, enquanto 𝑋 corresponde à
parcela reativa, também denominada reatância do circuito.
 VOCÊ SABIA
A impedância é considerada indutiva quando 𝑋 é positiva ou capacitiva quando 𝑋 é negativa. Do mesmo
modo que a impedância, a reatância também é medida em ohms.
A partir das relações trigonométricas de números complexos, é possível calcular o módulo e o ângulo da
impedância de um circuito a partir de suas componentes resistivas e reativas:
𝑍 = √𝑅2 + 𝑋2
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
𝜃𝑍 = 𝑡𝑎𝑛-1 𝑋
𝑅
(21)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalGraficamente, essas relações são representadas da seguinte forma:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 7: Representação gráfica da impedância.
 EXEMPLO
Em um circuito elétrico alimentado com corrente senoidal, os componentes são desconhecidos, e foram
medidas as seguintes grandezas fasoriais: 𝑉 = 10∠46,9° e 𝐼 = 2∠10°. A impedância desse circuito será
dada por:
𝑍 = 10∠46,9°
2∠10° = 5∠36,9° Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da Equação 20 é possível determinar a impedância em sua forma retangular, de modo a extrair
suas componentes resistivas e reativas:
Z = 5cos46,9° + jcos10°
Z = 4 + j3 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, o circuito descrito possui uma resistência de 4 Ω e uma reatância indutiva de 3 Ω.
ADMITÂNCIA DO CIRCUITO
Em muitas situações de análise, é indicado solucionar circuitos utilizando a grandeza inversa da
impedância (Z). A admitância (Y) é a grandeza inversa à impedância (análoga à condutância em
circuitos CC), cuja unidade de medida é siemens (ou mhos):
𝑌 = 1
𝑍
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Do mesmo modo que a impedância, a admitância é um número complexo; logo, pode ser descrita em
seu formato retangular:
𝑌 = 𝐺 + 𝑗𝐵
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que G = Re, Y é chamada condutância e B = Im Y é a susceptância
𝐺 + 𝑗𝐵 = 1
𝑅 + 𝑗𝑋
(24)
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 ATENÇÃO
O fato de inverter separadamente a resistência ou a reatância de um circuito não fornece a condutância
e susceptância correspondentes. Por se tratar de grandezas complexas, o cálculo leva em conta as
relações trigonométricas:
G = R
R2 + X2 B = - X
R2 + X2
(25)
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LEIS DE KIRCHHOFF PARA ANÁLISE DE
CIRCUITOS CA
Da mesma forma que na análise de circuitos CC, as Leis de Kirchhoff das Tensões (LKT) e das
Correntes (LKC) são igualmente válidas para análise de circuitos CA no domínio da frequência, através
dos fasores.
Para a LKT, o somatório das tensões em uma malha de circuito é zero, de modo que, na forma fasorial,
tem-se:
V1 + V2 + … + Vn = 0
(26)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
Vn = Vn ∠ θn , n = 1,2, 3, … . . n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para a LKC, é válida relação semelhante. O somatório das correntes em um nó de circuito é zero, de
modo que, na forma fasorial, tem-se:
I1 + I2 + … + In = 0
(27)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
In = In∠θn , n = 1,2, 3, … . . n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em um circuito que contém N impedâncias associadas em série e alimentadas por uma fonte senoidal
(Figura 8), fluirá uma única corrente fasorial através de todos os elementos, conforme as Leis de
Kirchhoff. Dessa forma, a tensão em cada um será dada por:
V1 = Z1 I, V2 = Z2 I, V3 = Z3 I, … , Vn = Zn I
(28)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 8: N impedâncias em série.
A partir da LKT:
V = V1 + V2 + … + Vn
V = (Z1 + Z2 + … + Zn )I = 0
V = Zeq I
(29)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo Zeq a impedância equivalente, dada pelo somatório das impedâncias ligadas em série no circuito:
𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 + 𝑍2 + … + 𝑍𝑛
(30)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É fácil observar que o cálculo da impedância equivalente é semelhante ao cálculo de resistência
equivalente em circuitos CC. De modo semelhante, o inverso complexo da impedância é a admitância
𝑌 = 1
𝑍, muito conveniente em circuitos com componentes ligados em paralelo, conforme Figura 9:
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 + … + 𝐼𝑛
𝐼 = 𝑉 1
𝑍1
+ 1
𝑍2
+ … + 1
𝑍𝑛
(31)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 9: 𝑁 impedâncias em paralelo.
Neste caso, a impedância equivalente é dada por
1
𝑍𝑒𝑞
= 𝐼
𝑉 = 1
𝑍1
+ 1
𝑍2
+ … + 1
𝑍𝑛
(32)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a admitância equivalente é dada por
𝑌𝑒𝑞 = 𝑌1 + 𝑌2 + … + 𝑌𝑛
(33)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 EXEMPLO
Para o circuito da figura abaixo, com duas impedâncias ligadas em série e alimentadas por uma fonte
senoidal, as tensões 𝑉1 e 𝑉2 são dadas por:
𝑉1 = 𝑍1 𝐼
𝑉2 = 𝑍2 𝐼
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 10: Divisor de tensão.
𝑉1 = 𝑍1
𝑍1 + 𝑍2
𝑉 𝑉2 = 𝑍2
𝑍1 + 𝑍2
𝑉
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a mesma relação de divisor de tensão já conhecida para circuitos CC. A relação de divisor de
corrente também é válida em circuitos com impedâncias ligadas em paralelo.
ANÁLISE NODAL
As relações entre tensão e corrente são igualmente válidas em circuitos alimentados com fontes
alternadas, de modo que as Leis de Kirchhoff das tensões e correntes podem ser aplicadas na análise
de circuitos. O método de análise nodal para circuitos com fasores é demonstrado no exemplo a seguir,
utilizando a LKC.
 EXEMPLO
Determine 𝑉1 e 𝑉2 no circuito a seguir utilizando a análise nodal.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 11: Circuito do exemplo.
É necessário aplicar a LKC aos nós 1 e 2. Suas equações serão:
Para o nó 1:
𝑉1 - 5∠0°
0,5 + 𝑉1
-𝑗1 + 𝑉1 - 𝑉2
-𝑗1 = 0
2 + 𝑗2𝑉1 - 𝑗𝑉2 = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o nó 2:
𝑉2 - 𝑉1
-𝑗1 + 𝑉2
0,2 + 𝑗0,4 = 5∠0°
-𝑗𝑉1 + 1 - 𝑗𝑉2 = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações dos nós 1 e 2 podem ser representadas matricialmente:
2 + 𝑗2 -𝑗
-𝑗 1 - 𝑗
𝑉1
𝑉2
= 10
5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo o sistema linear, os valores de 𝑉1 e 𝑉2 são:
𝑉1 = 2 - 𝑗 = 2,23∠ - 26,6° 𝑉
𝑉2 = 2 + 𝑗4 = 4,47∠63,4° 𝑉
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ANÁLISE DE MALHAS
Com base na LKT é possível formular o método de análise de malhas para solução de circuitos com
fasores. Veja sua aplicação ilustrada a seguir:
 EXEMPLO
Utilizando análise de malhas, determine as correntes 𝐼1 e 𝐼2 no circuito abaixo:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
Aplicando a LKT à malha 1, tem-se:
-10∠0° - 𝑗6𝐼1 + 𝑗3𝐼1 - 𝐼2 = 0
-𝑗3𝐼1 - 𝑗3𝐼2 = 10∠0°
𝑗3𝐼2 - 𝐼1 + 2𝐼2 + 16∠0° = 0
-𝑗3𝐼1 + 2 + 𝑗3𝐼2 = - 16∠0°
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações das malhas 1 e 2 podem ser representadas matricialmente como:
-𝑗3 -𝑗3
-𝑗32 + 𝑗3
𝐼1
𝐼2
= 10
-16
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo o sistema linear, as correntes 𝐼1 e 𝐼2 são:
𝐼1 = 1,7 ∠ - 23,5° 𝐴
𝐼2 = 7,1 ∠ 108° 𝐴
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEOREMAS DE REDE
Exceto pela característica variante no tempo das tensões e correntes senoidais, os teoremas utilizados
para análise CC são igualmente válidos a circuitos fasoriais lineares.
SUPERPOSIÇÃO
TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
THÉVENIN
NORTON
SUPERPOSIÇÃO
O teorema da superposição, para circuitos elétricos, afirma que a corrente elétrica total em qualquer
ramo de um circuito bilateral linear é igual à soma algébrica das correntes produzidaspor cada fonte
atuando separadamente no circuito.
TRANSFORMAÇÃO DE FONTES
O teorema da transformação permite converter fontes de tensão com resistência interna em fontes de
corrente.
THÉVENIN
O teorema de Thévenin estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto, pode ser representado
por uma fonte de tensão em série com uma impedância.
NORTON
O teorema de Norton afirma que qualquer fontes de tensão, fonte de corrente, e resistor, com dois
terminais, é eletricamente equivalente a uma fonte de corrente ideal, 𝐼, em paralelo com um único
resistor, 𝑅.
 ATENÇÃO
Em circuitos com fontes múltiplas operando com frequências diferentes, a resposta final deve ser dada
pela soma das contribuições dessas fontes no domínio do tempo, visto que não se deve somar fasores
com frequências distintas.
TEORIA NA PRÁTICA
Determine o circuito equivalente de Thévenin para os pontos a e b:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 12: Circuito referente ao Teoria na Prática.
RESOLUÇÃO
Para encontrar a impedância equivalente de Thévenin, é necessário desativar as fontes do circuito.
Neste caso, as fontes de corrente são um circuito aberto:
𝑍𝑡ℎ = 1 + -𝑗1 = 1 - 𝑗1 Ω
𝑉1 = 2 . 1 = 2 𝑉
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a LKT na malha que contém os pontos a e b, encontra-se a tensão equivalente de Thévenin:
𝑉𝑡ℎ = 𝑉1 - -𝑗12𝑉1 = 21 + 𝑗2 = 2 + 𝑗4 𝑉
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. A IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE DO CIRCUITO ABAIXO É REPRESENTADA POR:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.
 FIGURA 13: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 1.
A) 40 + 𝑗20 [ Ω ]
B) 30 + 𝑗10 [ Ω ]
C) 40 – 𝑗10 [ Ω ]
D) 40 – 𝑗20 [ Ω ]
E) 30 – 𝑗10 [ Ω ]
2. CONSIDERANDO O CIRCUITO A SEGUIR, O VALOR DE SUA ADMITÂNCIA
EQUIVALENTE É DADA POR:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).
 FIGURA 14: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 2.
A) 0, 25 + 𝑗0, 025 [𝑆]
B) 0, 025 – 𝑗0, 25 [𝑆]
C) 0, 25 – 𝑗0, 025 [𝑆]
D) 0, 025 + 𝑗0, 025 [𝑆]
E) 0, 025 + 𝑗0, 25 [𝑆] 
3. AQUI, O CIRCUITO É ALIMENTADO POR UMA FONTE DE TENSÃO ALTERNADA
DE 50 ∠ 0°. O VALOR DA CORRENTE 𝑖 QUE CIRCULA PELOS ELEMENTOS É DE
APROXIMADAMENTE:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).
 FIGURA 15: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 3.
A) 5,7∠33,4° 𝐴
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 4,7∠ - 16,7° 𝐴
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 5,7∠16,7° 𝐴
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 4,7∠16,7° 𝐴
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 5,7∠ - 16,7° 𝐴
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. A PARTIR DA ANÁLISE NODAL, O VALOR DA TENSÃO Vo NO CIRCUITO DA
FIGURA É:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).
 FIGURA 16: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 4.
A) 8 V
B) 24 V
C) -8 V
D) -24 V
E) 32V
5. PARA O CIRCUITO DESTA FIGURA, O VALOR DA IMPEDÂNCIA EQUIVALENTE
DE THÉVENIN ENTRE OS TERMINAIS A E B É DADO POR:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).
 FIGURA 17: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 5.
A) 1 - 𝑗2 Ω
B) 0 ,5 - 𝑗0 ,5 Ω
C) 1 + 𝑗2 Ω
D) 0 ,5 + 𝑗0 ,5 Ω
E) 1 Ω
6. NESTE CIRCUITO, O FASOR QUE MELHOR REPRESENTA A CORRENTE QUE
CIRCULA NO RESISTOR DE 1 Ω É DADO POR:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).
 FIGURA 18: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 6.
A) 1,97∠ - 5,65° A
B) 3,94 ∠ 5,65° A
C) 1,97 ∠ 5,65° A
D) 3,94∠ - 5,65° A
E) 1,97 ∠ 11,3° A
GABARITO
1. A impedância equivalente do circuito abaixo é representada por:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 13: Circuito do Exercício 1.
A alternativa "A " está correta.
A impedância equivalente série é dada pela soma das impedâncias dos elementos:
𝑍𝑒𝑞 = - 𝑗10 + 40 + 𝑗30
𝑍𝑒𝑞 = 40 + 𝑗20 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considerando o circuito a seguir, o valor de sua admitância equivalente é dada por:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 14: Circuito do Exercício 2.
A alternativa "C " está correta.
3. Aqui, o circuito é alimentado por uma fonte de tensão alternada de 50 ∠ 0°. O valor da corrente 𝑖
que circula pelos elementos é de aproximadamente:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 15: Circuito do Exercício 3.
A alternativa "B " está correta.
A impedância equivalente do circuito é:
𝑍𝑒𝑞 = 10 - 𝑗 + 𝑗4 = 10 + 𝑗3 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a Lei de Ohm, a corrente i no circuito será, na forma fasorial:
I = V
Zeq
= 50∠0°
10 + j3 = 4,7∠ - 16,7° A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. A partir da análise nodal, o valor da tensão Vo no circuito da figura é:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 16: Circuito do Exercício 4.
A alternativa "B " está correta.
Utilizando a análise nodal a partir de 𝑉𝑂 , tem-se:
4∠90° = 𝑉0
𝑗6 + 𝑉0
-𝑗3
4∠90° = -𝑗𝑉0
6 + 𝑗𝑉0
3
𝑉 = 4
1
6 - 1
3
= 24 𝑉
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Para o circuito desta figura, o valor da impedância equivalente de Thévenin entre os terminais a
e b é dado por:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 17: Circuito do Exercício 5.
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente, é necessário calcular a reatância do capacitor e do indutor. De acordo com a tensão da
fonte, a frequência é:
ω = 1 rad / s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o capacitor:
XC = 1
jωC = 1
j1 × 1 = - j1 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o indutor:
XL = jωL = j1 × 1 = j1 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinar a impedância equivalente de Thévenin, é necessário desativar as fontes do circuito e
calcular o equivalente visto a partir dos pontos a e b. A fonte de tensão é substituída por um curto-
circuito:
Zeq = (1 Ω / / - j1) + j1
𝑍𝑒𝑞 = 0,5 + 𝑗0,5 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Neste circuito, o fasor que melhor representa a corrente que circula no resistor de 1 Ω é dado
por:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 18: Circuito do Exercício 6.
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, deve-se calcular a impedância de entrada, ou impedância equivalente vista pela fonte. As
reatâncias do indutor e capacitor serão dadas por:
Para o indutor:
XL = jωL = j1 × 10 = j10 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o capacitor:
Xc = 1
jωC = 1
j10 × 1 = - j0,1 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A impedância equivalente é dada por:
Zeq = 1 + 1
j10 + 1
-j0,1 + 1
1
-1 = 1,01 - j0,1 = 1,01∠ - 5,65° Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente no resistor é:
I = 2∠0°
1,01∠ - 5,65° = 1,97 ∠ 5,65° A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UTILIZANDO A ANÁLISE NODAL, A CORRENTE QUE CIRCULA PELO
CAPACITOR DO CIRCUITO ABAIXO É DADA POR:
IMAGEM: ISABELA OLIVEIRA GUIMARÃES.
 FIGURA 19: CIRCUITO DA ATIVIDADE 1.
A) 2 ∠ 82° 𝐴
B) √2 ∠ 82° 𝐴
C) 2 ∠ - 82° 𝐴
D) √2 ∠ - 82° 𝐴
E) 2√2 ∠ 82° 𝐴
2. A PARTIR DA ANÁLISE DE MALHAS DO CIRCUITO A SEGUIR, A CORRENTE
QUE CIRCULA PELO CAPACITOR É REPRESENTADA POR:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).
 FIGURA 20: CIRCUITO DA ATIVIDADE 2.
A) 1,4 ∠ 45° A
B) 2,8 ∠ 45° A
C) 1,4 ∠ - 45° A
D) 2,8 ∠ - 45° A
E) 1,4 ∠ 90° A
GABARITO
1. Utilizando a análise nodal, a corrente que circula pelo capacitor do circuito abaixo é dada por:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 19: Circuito daAtividade 1.
A alternativa "B " está correta.
A impedância equivalente vista pelos terminais da fonte é dada por:
𝑍𝑒𝑞 = 1 + (3 + 𝑗3)( - 𝑗3)
3 + 𝑗3 - 𝑗3 = 4 - 𝑗3 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A corrente que sai da fonte é:
I = 5 ∠ 0°
4 - j3 = 5 ∠ 0°
5 ∠ - 36,9° = 1 ∠ 36,9° A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Utilizando o divisor de corrente, a corrente que circula pelo capacitor será:
Ic = 3 + j3
3 + j3 - j3I = (1 + j)(1 ∠ 36,9° )
Ic = √2 ∠ 82° A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A partir da análise de malhas do circuito a seguir, a corrente que circula pelo capacitor é
representada por:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 20: Circuito da Atividade 2.
A alternativa "A " está correta.
A frequência da fonte é de 2 rad / s. A partir dessa frequência, calculam-se as reatâncias do indutor e do
capacitor:
Para o indutor:
XL = jωL = j2 × 2 = j4 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o capacitor:
Xc = 1
jωC = 1
j2 × 1
4
= - j2 Ω
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a LKT na malha 1:
-10 + 4 - j2I1 + j2I2 = 0
2 - jI1 + jI2 = 5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a KKT na malha 2:
j2I1 + j4 - j2I2 + -j6 = 0
I1 + I2 = 3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da representação matricial das equações para as duas malhas e a solução do sistema linear,
tem-se:
2 - j j
1 1 = I1
I2
= 5
3
I = I1 - I2 = 1,4 ∠ 45° A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Reconhecer sistemas trifásicos e relações de potência CA
POTÊNCIA CA E SISTEMAS TRIFÁSICOS
POTÊNCIAS
Em virtude das limitações dos componentes em eletricidade, a potência é uma das mais importantes
grandezas a se conhecer para o funcionamento correto de um circuito.
A POTÊNCIA ELÉTRICA ESTÁ DIRETAMENTE RELACIONADA COM A
CAPACIDADE DE TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA ENTRE PARTES DO
CIRCUITO, DE MODO QUE NÃO DEVE SER PERMITIDA A OPERAÇÃO
ACIMA DA CHAMADA POTÊNCIA NOMINAL, QUE É O MÁXIMO
VALOR ADMISSÍVEL PARA AQUELE COMPONENTE SEM QUE SEJA
CAUSADO ALGUM DANO.
A partir das relações entre tensão e corrente em regime senoidal, é possível definir os principais
conceitos relacionados à potência em corrente alternada (CA), como potência:
INSTANTÂNEA

MÉDIA

EFICAZ

COMPLEXA
A POTÊNCIA INSTANTÂNEA 𝑃𝑡 DE UM CIRCUITO É O PRODUTO DA
TENSÃO INSTANTÂNEA 𝑉(𝑡) COM A CORRENTE INSTANTÂNEA 𝐼(𝑡),
SENDO MEDIDA EM WATTS (W)
𝑃𝑡 = 𝑉𝑡𝑖(𝑡)
(34)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A POTÊNCIA INSTANTÂNEA VARIA COM O TEMPO, DE MODO QUE É
MUITO DIFÍCIL MEDI-LA, EM VIRTUDE DA FREQUÊNCIA DO SINAL
ALTERNADO, NORMALMENTE 60 HZ.
Uma forma comum de se medir potência em circuitos com CA é através da potência média 𝑃, que se
refere à média da potência instantânea ao longo de um período do sinal alternado. Matematicamente, a
potência média é dada por:
𝑃 = 1
𝑇 ∫0
𝑇
𝑃𝑡 𝑑𝑡 = 1
2𝑉𝑚 𝐼𝑚 cos(θ𝑉 - θ𝑖 )
(35)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que 𝑉𝑚 e 𝐼𝑚 são os valores máximos da tensão e corrente, 𝜃𝑣 e 𝜃𝑖 são os ângulos dos fasores de
tensão e corrente. Já em circuitos puramente resistivos, θ𝑣 = θ𝑖 , de modo que a Equação 35
corresponde a uma potência nula. Dessa forma, é fácil perceber que em circuitos resistivos a potência é
máxima.
 ATENÇÃO
Em circuitos reativos (indutivos ou capacitivos), θv - θi = ± 90°, ou seja, a potência média é zero para
circuitos puramente reativos.
A POTÊNCIA EFICAZ É A QUANTIDADE DE POTÊNCIA ENTREGUE
POR UMA FONTE ALTERNADA QUE DEPENDE DE SUA FORMA DE
ONDA.
Dessa maneira, é preciso utilizar um método capaz de comparar essa potência fornecida por diferentes
fontes, o que é possível medindo os valores eficazes dessa fonte, ou rms (do inglês root mean square,
valor quadrado médio).
O valor eficaz de uma CA (periódica) é a medida de corrente contínua (CC) que libera a mesma potência
média da CA em uma carga resistiva. Essa equivalência é representada na Equação 36.
P = RIef
2 = 1
T ∫0
T
Ri2 dt
(36)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, tensão e corrente eficazes (ou rms) podem ser descritas como:
Ief = Irms = √1
T ∫0
T i2 dt Vef = Vrms = √1
T ∫0
T v2 dt
(37)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso específico de sinais senoidais, que representam a forma de onda de tensão e corrente da
rede elétrica, o valor eficaz da corrente será:
it = Im cosωt
Ief = √1
T ∫0
T
Im
2 cos2 ωtdt = Im
√2
(38)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência média de um sinal senoidal pode ser reescrita a partir dos valores eficazes da tensão e
corrente:
P = Vef Ief cos(θv - θi )
(39)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores de tensão que são fornecidos pelas empresas de energia para alimentação dos
consumidores já são representados por seus valores eficazes.
A potência aparente (S) é o produto de tensão e corrente eficazes de uma fonte.
O termo cos(θv - θi ) é o fator de potência (𝑓𝑝).
A S é medida em volt-ampère (VA) para diferenciá-la da potência média, que é medida em Watts
(W).
A razão entre a potência média e a potência aparente em uma carga é o próprio 𝑓𝑝, que é adimensional:
𝑓𝑝 = 𝑃
𝑆 = cos(𝜃𝑣 - 𝜃𝑖 )
(40)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O 𝑓𝑝 também pode ser definido como o ângulo da carga (ou ângulo da impedância), que é o ângulo
formado pelos fasores de tensão e corrente, conforme descrito a seguir:
𝑍 = 𝑉
𝐼 = 𝑉𝑒𝑓
𝐼𝑒𝑓
= 𝑉𝑒𝑓
𝐼𝑒𝑓
∠𝜃𝑣 - 𝜃𝑖
(41)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O 𝑓𝑝 é uma grandeza que relaciona a potência média com a potência aparente entregue a uma carga,
de modo que seu valor varia entre zero e um.
Veja como se dá o 𝑓𝑝 nos tipos de cargas abaixo:
Em uma carga puramente resistiva, a diferença entre os ângulos da tensão e corrente é zero, o que faz
com que o 𝑓𝑝 seja um, ou unitário.
Em cargas puramente reativas (indutivas ou capacitivas), o 𝑓𝑝 é zero, pois θ𝑣 - θ𝑖 = ± 90°, o que
significa que a potência média é nula.
Em cargas reativas o 𝑓𝑝 pode estar adiantado (quando o ângulo da corrente é adiantado em relação ao
ângulo da tensão) ou atrasado (quando o ângulo da tensão é adiantado em relação ao ângulo da
corrente).
 EXEMPLO
Uma carga drena de uma fonte senoidal uma corrente 𝑖𝑡 = 5 cos(ω𝑡 + 25°) A. Essa fonte tem uma tensão
𝑣𝑡 = 100cos ω𝑡 - 15°𝑉. Para essa carga, a potência aparente e seu fator de potência são dados por:
𝑆 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓 = 100
√2
5
√2
= 250 𝑉𝐴
𝐹𝑃 = cos(θ𝑣 - θ𝑖 ) = cos-15° - 25° = 0,76
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Esse 𝑓𝑝 está adiantado, pois o ângulo da corrente é adiantado em relação ao ângulo da tensão.
Potência complexa é o termo dado à contribuição de toda a potência aparente (parte real e imaginária)
nas cargas de um circuito.
Para uma carga alimentada por uma tensão e corrente senoidais, a potência complexa é dada pelo
produto dos fasores de tensão e conjugado da corrente:
𝑆 = 1
2𝑉𝐼
*
(42)
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Em termos de valores eficazes:
𝑆 = 𝑉𝑒𝑓 𝐼𝑒𝑓
*
(43)
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 SAIBA MAIS
O módulo da potência complexa é a potência aparente, de maneira que sua unidade também é o volt-
ampère (VA). Da mesmaforma, seu ângulo corresponde ao fator de potência da carga.
Essa potência pode ser escrita em função de sua parte real e imaginária. A parte real (𝑃) corresponde à
potência ativa (ou potência real) absorvida pela carga e medida em watts (W), enquanto a parte
imaginária (𝑄) corresponde à potência reativa trocada entre fonte e carga, medida em volt-ampère
reativo (Var).
𝑆 = 𝑃 + 𝑗𝑄
(44)
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Em que:
𝑄 = 0 para cargas resistivas (𝑓𝑝 unitário);

𝑄 < 0 para cargas capacitivas (𝑓𝑝 adiantado);

𝑄 > 0 para cargas indutivas (𝑓𝑝 atrasado).
Normalmente, a relação de potências complexa, ativa e reativa é representada a partir de um triângulo
de potências (Figura 21).
Do triângulo de potências é possível extrair informações a respeito da potência aparente, potência
ativa, potência reativa e do fator de potência, utilizando relações trigonométricas do triângulo
retângulo.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 21: Triângulo de potências.
 EXEMPLO
Uma carga absorve uma potência de 1.000 VA, com fator de potência 0,6 adiantado. A partir da definição
de triângulo de potências, as potências ativa e reativa são dadas por:
𝑓𝑝 = 𝑃
𝑆 ⇒ 𝑃 = 𝑓𝑝 × 𝑆
𝑃 = 0,6 × 1.000 = 600 𝑊
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A partir do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo de potências, é possível determinar a potência
reativa, 𝑄:
𝑄 = √𝑆2 - 𝑃2 = √1.0002 - 6002 = 800 𝑉𝐴𝑟
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CORREÇÃO DO FATOR DE POTÊNCIA
O FATOR DE POTÊNCIA É UM INDICATIVO DO PERCENTUAL DE
ENERGIA CONSUMIDA PELA CARGA QUE É EFETIVAMENTE
UTILIZADA PARA PRODUZIR TRABALHO, OU SEJA, RELACIONA A
POTÊNCIA ATIVA REAL DA CARGA COM A POTÊNCIA APARENTE.
Muitas cargas do sistema têm características indutivas ou capacitivas, como é o caso de
eletrodomésticos com motores, lâmpadas eletrônicas e até mesmo cargas industriais, como os fornos de
indução. Essas cargas fazem com que o fator de potência da instalação caia para valores fora dos
recomendados pelas concessionárias de energia. Para mitigar esse problema, é feita a correção de fator
de potência.
Imagem: Shutterstock.com.
Essa correção consiste em instalar equipamentos capazes de compensar o excesso ou a falta de
reativos na carga para reduzir o ângulo entre os fasores de tensão e corrente. Por exemplo, em uma
carga com características indutivas de baixo fator de potência, é possível fazer uma correção instalando
capacitores em paralelo com a carga, de modo a reduzir a potência reativa consumida.
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 22: Triângulo de potência para correção de fator de potência.
É importante observar que, após a correção, a potência ativa drenada pela carga permanece inalterada,
enquanto o módulo da potência aparente é reduzido. Dessa forma, a corrente drenada da rede será
menor, o que permite dizer que a correção de fator de potência permite reduzir até mesmo o
carregamento dos circuitos de alimentação.
SISTEMAS TRIFÁSICOS
A geração de energia em sistemas elétricos de potência é feita em sistemas com mais de uma fase (ou
polifásicos), mais comumente a partir do sistema trifásico.
 VOCÊ SABIA
A geração de energia em CA trifásica traz muitos benefícios ao sistema, tanto econômicos quanto
operacionais. A geração em sistemas trifásicos permite a conexão de cargas de maior potência através
das linhas de transmissão. A energia é transportada em tensões elevadas para reduzir as perdas
ôhmicas nas linhas, o que corresponde a menores custos de operação para as empresas do setor
elétrico.
Uma fonte trifásica é obtida a partir de geradores CA, cujos enrolamentos responsáveis pela indução da
corrente nos terminais de saída são defasados em 120° em torno do eixo da máquina. Essa defasagem
produz tensões iguais e defasadas de 120° elétricos umas das outras. Veja as senoides geradas em um
sistema trifásico:
Imagem: Isabela Oliveira Guimarães.
 Figura 23: Senoides em um sistema trifásico.
As tensões 𝑉𝐴𝑁 , 𝑉𝐵𝑁 e 𝑉𝐶𝑁 referem-se às tensões nas fases 𝐴, 𝐵 e 𝐶 disponíveis nos terminais de um
gerador CA trifásico.
Um sistema trifásico é equivalente a três sistemas monofásicos e podem ser representados por uma
ligação em estrema ou em triângulo, conforme a figura:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 24: Fontes de tensão trifásicas: (a) em estrela; (b) em triângulo.
Em circuitos trifásicos equilibrados, cuja corrente e tensão são iguais nas três fases, são válidas as
seguintes expressões:
FONTE LIGADA EM TRIÂNGULO (∆)
𝑉𝐴𝑁 + 𝑉𝐵𝑁 + 𝑉𝐶𝑁 = 0 ⇒ 𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝐵𝑁 = 𝑉𝐶𝑁
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FONTE LIGADA EM ESTRELA (𝑌)
𝐼𝐴 + 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 = 0 ⇒ 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 = 𝐼𝐶
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Ou seja, a soma fasorial das tensões na ligação em triângulo equilibrado é zero e das correntes na
ligação em estrela é zero.
Veja os diagramas fasoriais que representam essa relação:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 25: Sequência de fases: (a) positiva: abc; negativa: acb.
Tomando a tensão como exemplo, os fasores podem ser expressos de duas formas:
Se os fasores giram no sentido anti-horário, diz-se que a fonte está em sequência positiva, ou
seja, 𝑉𝐴𝑁 é adiantada em relação a 𝑉𝐵𝑁 , que por sua vez é adiantada em relação a 𝑉𝐶𝑁 .
Se os fasores giram no sentido horário, é dito que a fonte está em sequência negativa.
Os fasores de sequência positiva e negativa para as tensões trifásicas são:
Sequência positiva Sequência negativa
𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝑝∠0° 𝑉𝐴𝑁 = 𝑉𝑝∠0°
𝑉𝐵𝑁 = 𝑉𝑝∠ - 120° 𝑉𝐵𝑁 = 𝑉𝑝∠ + 120°
𝑉𝐶𝑁 = 𝑉𝑝∠ + 120° 𝑉𝐶𝑁 = 𝑉𝑝∠ - 120°
Tabela 2: Relações de tensão em sistemas trifásicos equilibrados.
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CIRCUITOS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS
Normalmente, circuitos trifásicos equilibrados (fonte e carga equilibrados) são facilmente
solucionados a partir de seu circuito monofásico equivalente. Apenas os circuitos ligados em Y podem
ser resolvidos a partir de seu circuito equivalente por fase, de modo que, caso fonte ou carga esteja
ligada em triângulo, deve ser convertida para seu equivalente em ligação estrela, conforme a Equação
45, que representa a impedância da carga trifásica:
𝑍𝑌 = 𝑍∆
3
(45)
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A partir da relação entre os fasores (Figura 25), as correntes e tensões nos circuitos equilibrados para as
ligações em triângulo e estrela são dadas por:
CIRCUITO EM ∆
𝐼ϕϕ = √3𝐼ϕ
𝑉ϕϕ = 𝑉ϕ
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CIRCUITO EM 𝑌
𝐼ϕϕ = 𝐼ϕ
𝑉ϕϕ = √3𝑉ϕ
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Em que 𝐼ϕϕ e 𝑉ϕϕ são corrente e tensão de linha (entre fases) e 𝐼ϕ 𝑉ϕ são corrente e tensão de fase (em
relação ao neutro).
POTÊNCIA TRIFÁSICA
Em cargas trifásicas equilibradas, ligadas em triângulo ou estrela, as correntes que circulam pelas linhas
que as alimentam são iguais, de modo que a potência trifásica é dada pelo somatório da potência nas
três fases. Para uma carga ligada em estrela:
𝑃ϕ = 𝑉ϕ . 𝐼ϕ . cosφ
𝑃3ϕ = 3 . 𝑉ϕ . 𝐼ϕ . cosφ
(46)
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Da Tabela 2:
𝑉ϕϕ = √3𝑉ϕ
𝐼ϕϕ = 𝐼ϕ
A potência complexa na carga pode ser reescrita em função dos valores de linha da tensão e corrente:
𝑆3ϕ = √3 . 𝑉ϕϕ . 𝐼ϕϕ 
(47)
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P3ϕ = √3 . Vϕϕ . Iϕϕ . cosφ
(48)
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Q3ϕ= √3 . Vϕϕ . Iϕϕ . senφ
(49)
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Como as relações entre tensão e corrente de linha e fase apresentadas na Tabela 2 são válidas para
cargas equilibradas ligadas em qualquer ligação, as Equações 47, 48 e 49 são também aplicadas para
cargas em triângulo.
TEORIA NA PRÁTICA
Uma carga drena uma potência ativa de 5 Kw quando conectada a uma fonte de tensão de 120 volts. O
fator de potência para essa condição é de 0,85. Determine o valor da potência reativa de um capacitor
necessária para elevar o fator de potência para 0,95.
RESOLUÇÃO
O ângulo do fator de potência atual é dado por:
𝑐𝑜𝑠θ1 = 0,85 → θ1 = 31,78°
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A partir do fator de potência é possível calcular a potência aparente inicial:
𝑆1 = 𝑃
𝑓𝑝
= 5.000
0,85 = 5.882,3 𝑉𝐴
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A potência reativa é:
𝑄1 = 𝑆1 𝑠𝑒𝑛𝜃1 = 5.882,3 × 0,52 = 3097,96 𝑉𝐴𝑟
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Para um fator de potência 0,95, o ângulo é:
𝑐𝑜𝑠𝜃2 = 0,95 → 𝜃2 = 18,19°
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Na correção do fator de potência, a potência 𝑃 não muda, mas a potência aparente sim:
𝑆2 = 𝑃
𝑓𝑝
= 5.000
0,95 = 5.263,15 𝑉𝐴
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A nova potência reativa será:
𝑄2 = 𝑆2 𝑠𝑒𝑛 𝜃2 = 1.642,94 𝑉𝐴𝑟
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A diferença entre a potência reativa atual e a anterior é o valor do capacitor a ser inserido:
𝑄𝑐 = 𝑄1 - 𝑄2 = 3.097,96 - 1.642,94 = 1.455,6 𝑉𝐴𝑟
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RESOLUÇÃO
MÃO NA MASSA
1. UMA CARGA POSSUI UMA IMPEDÂNCIA Z = 20 - j60 Ω. A POTÊNCIA MÉDIA
ABSORVIDA POR ESSA CARGA AO SER ALIMENTADA POR UMA FONTE DE
TENSÃO V = 120 ∠ 0°° É:
A) 43, 8 W
B) 35, 9 W
C) 60, 3 W
D) 34, 6 W
E) 51, 5 W
2. CONSIDERE O CIRCUITO DA FIGURA. O FATOR DE POTÊNCIA TOTAL É DADO
POR:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).
 FIGURA 26: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 2.
A) 0, 87
B) 0, 97
C) 0, 77
D) 0, 67
E) 0, 57
3. NO TRIÂNGULO DE POTÊNCIAS DA FIGURA A SEGUIR, O VALOR REFERENTE
À POTÊNCIA REATIVA É:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013).
 FIGURA 27: CIRCUITO DO EXERCÍCIO 3.
A) 1.000 Var adiantada
B) 866 Var adiantada
C) 1.000 Var atrasada
D) 866 Var atrasada
E) 1.866 Var adiantada
4. UMA CARGA ABSORVE 12 KVA DE UMA FONTE DE ALIMENTAÇÃO DE 120 V
RMS. CONSIDERANDO QUE O FATOR DE POTÊNCIA É 0,85, A POTÊNCIA MÉDIA
ABSORVIDA POR ESSA CARGA É DADA POR:
A) 32,8 KW
B) 28,5 KW
C) 10,2 KW
D) 42,7 KW
E) 19,8 KW
5. EM UMA CARGA TRIFÁSICA, LIGADA EM TRIÂNGULO, A TENSÃO DE FASE É
DE 220 V. A TENSÃO DE LINHA DO CIRCUITO QUE ALIMENTA ESSA CARGA É
DE:
A) 127 V
B) 380 V
C) 100 V
D) 141 V
E) 220 V
6. UM SISTEMA TRIFÁSICO LIGADO EM ESTRELA-TRIÂNGULO (FONTE-CARGA)
POSSUI TENSÃO DE FASE 𝑉𝐴𝑁 = 120∠ 0° 𝑅𝑀𝑆 E 𝑍∆ = 30 - 𝑗45 Ω. CONSIDERANDO
QUE A LINHA QUE ALIMENTA O CIRCUITO É IDEAL, O MÓDULO DA POTÊNCIA
COMPLEXA ABSORVIDA PELA CARGA É DE:
A) 543 VA
B) 385 VA
C) 797 VA
D) 932 VA
E) 694 VA
GABARITO
1. Uma carga possui uma impedância Z = 20 - j60 Ω. A potência média absorvida por essa carga ao
ser alimentada por uma fonte de tensão V = 120 ∠ 0°° é:
A alternativa "B " está correta.
2. Considere o circuito da figura. O fator de potência total é dado por:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 26: Circuito do Exercício 2.
A alternativa "B " está correta.
A impedância total do circuito é dada por:
Zeq = 6 + 4 | | -j2 = 6 + -j2 × 4
4 - j2 = 6,8 - j1,6 = 7 ∠ - 13,2° Ω
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O ângulo do fator de potência é o próprio ângulo da impedância, que se refere à defasagem angular
entre tensão e corrente:
FP = 𝑐𝑜𝑠 -13,2° = 0,97
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3. No triângulo de potências da figura a seguir, o valor referente à potência reativa é:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013).
 Figura 27: Circuito do Exercício 3.
A alternativa "D " está correta.
𝑆 = 𝑃
𝐹𝑃 = 500
𝑐𝑜𝑠60° = 1.000 𝑉𝐴
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A potência reativa será:
𝑄 = 𝑆× 𝑠𝑒𝑛 60° = 866 𝑉𝐴𝑟 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎
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4. Uma carga absorve 12 KVA de uma fonte de alimentação de 120 V RMS. Considerando que o
fator de potência é 0,85, a potência média absorvida por essa carga é dada por:
A alternativa "C " está correta.
Considerando que o fator de potência é 0,85, o ângulo da impedância da carga é dado por
𝑐𝑜𝑠-1 𝑓𝑝 = 31,13°. Se a potência aparente é 12 KVA, a potência média, ou potência ativa absorvida pela
carga, será:
𝑃 = 𝑆 × 𝑐𝑜𝑠 θ = 12.000 × 0,85 = 10,2 𝐾𝑊
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5. Em uma carga trifásica, ligada em triângulo, a tensão de fase é de 220 V. A tensão de linha do
circuito que alimenta essa carga é de:
A alternativa "E " está correta.
Numa carga trifásica, conectada em triângulo, a tensão de linha é igual a tensão de fase. Dessa forma,
para a carga descrita, a tensão de linha será de 220 V.
6. Um sistema trifásico ligado em estrela-triângulo (fonte-carga) possui tensão de fase
𝑉𝐴𝑁 = 120∠ 0° 𝑅𝑀𝑆 e 𝑍∆ = 30 - 𝑗45 Ω. Considerando que a linha que alimenta o circuito é ideal, o
módulo da potência complexa absorvida pela carga é de:
A alternativa "C " está correta.
Inicialmente, deve-se converter a impedância da carga para seu equivalente monofásico, ou seja,
impedância em estrela:
𝑍𝑌 = 𝑍∆
3 = 10 + 𝑗15 𝛺
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A corrente por fase do circuito é dada por:
𝐼 = 120 ∠ 0°
10 + 𝑗15 = 6,65∠ - 56° 𝐴
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A potência trifásica em um circuito equilibrado é igual ao triplo da potência por fase:
𝑆3∅ = 3𝑆∅ = 3𝐼2 𝑍𝑌 = 797 ∠ 56° 𝑉𝐴
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GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A FORMA DE ONDA DE UM SINAL SENOIDAL DESLOCADO. PARA
AS INFORMAÇÕES DESCRITAS NO GRÁFICO, O VALOR EFICAZ, OU RMS,
DESSE SINAL É DADO POR:
IMAGEM: ALEXANDER E SADIKU (2013)
 FIGURA 28: FIGURA DA ATIVIDADE 1.
A) 2,82 A
B) 3,45 A
C) 6,41 A
D) 4,56 A
E) 7,38 A
2. EM UM CIRCUITO TRIFÁSICO EQUILIBRADO, COM FONTE EM SEQUÊNCIA
POSITIVA, A TENSÃO DE FASE É VAN = 100 ∠ 0° RMS. DADO QUE A
IMPEDÂNCIA DA LINHA É 0, 6 + j1, 2 Ω / fase E DA CARGA É DE
10 + j14 Ω / fase, O VALOR DO MÓDULO DAS CORRENTES DE LINHA É DE:
A) 6,42 A
B) 9,67 A
C) 2,57 A
D) 5,39 A
E) 4,28 A
GABARITO
1. Considere a forma de onda de um sinal senoidal deslocado. Para as informações descritas no
gráfico, o valor eficaz, ou RMS, desse sinal é dado por:
Imagem: Alexander e Sadiku (2013)
 Figura 28: Figura da Atividade 1.
A alternativa "A " está correta.
A forma de onda é dada pela seguinte equação:
it = 4 sent, 0 < t < π
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Ief
2 = 1
π
π
∫
0
16 sentdt = 16
π
t
2 - sen 2t
4 | π
0 = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ief = √8 = 2,82 A
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2. Em um circuito trifásico equilibrado, com fonte em sequência positiva, a tensão de fase é
VAN = 100 ∠ 0° RMS. Dado que a impedância da linha é 0, 6 + j1, 2 Ω / fase e da carga é de
10 + j14 Ω / fase, o valor do módulo das correntes de linha é de:
A alternativa"D " está correta.
Considerando o circuito por fase formado por uma fonte, impedância da linha e impedância da carga, a
corrente pode ser calculada simplesmente pela Lei de Ohm:
Ia = VAN
Zl + ZY
= 100 ∠ 0°
10,6 + j15,2 = 5,39 ∠ - 35° A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As outras correntes de linha podem ser encontradas aplicando uma defasagem de 120° em sequência
positiva na corrente da fase A.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, abordamos os principais conceitos relacionados à análise de circuitos em corrente
alternada. Para isso, foram apresentadas as formas de representação dos elementos de circuito, fonte,
resistor, capacitor e indutor, no domínio da frequência. Essa representação, denominada representação
fasorial, permite avaliar a relação entre tensão e corrente desses elementos no domínio da frequência.
Os métodos tradicionais de análise de circuitos foram apresentados para análise em CA.
Demonstramos ainda as relações de potência em corrente alternada, a partir dos conceitos de potência
média e potência eficaz e fator de potência. Considerando a predominância dos circuitos CA para
transmissão de energia, introduzimos as principais relações para circuitos trifásicos equilibrados, cujos
elementos podem estar conectados em estrela ou triângulo. Por fim, apresentamos o conceito de
potência complexa e potência trifásica.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH
Editora, 2013.
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2004.
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos.
Rio de Janeiro: LTC, 1994.
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
OLIVEIRA, C. C. B. et al. Introdução a sistemas elétricos de potência. Componentes simétricas. São
Paulo: Blucher, 2000.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:
ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2002.
ORSINI, L. Q.; CONSONNI, D. Curso de circuitos elétricos. v. II. 2. ed. São Paulo: Blucher, 2004.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães
 CURRÍCULO LATTES
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