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n. 20 – EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Seja A (x1, y1, z1) um ponto que pertence ao plano π e �⃗� = a 𝑖 + b 𝑗 + c �⃗� , sendo �⃗� ≠ (0, 0, 0) um vetor ortogonal ao plano. O plano π pode ser definido como o conjunto de todos os pontos P (x, y, z) do espaço, tais que o vetor 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ é ortogonal a �⃗� . O ponto P pertence a π se, e somente se: �⃗� . 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 Seja �⃗� = (a, b, c) e 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = P – A = (x, y, z) – ( x1, y1, z1) = (x – x1, y – y1, z – z1) ∴ (a, b, c) . (x – x1, y – y1, z – z1) = 0 ∴ a (x – x1) + b (y – y1) + c(z – z1) = 0 ∴ a x – a x1 + b y – b y1 + c z – c z1 = 0 Fazendo – a x1 – b y1 – c z1 = d Temos: a x + b y + c z + d = 0 que é a equação geral do plano ou equação cartesiana do plano d é o termo independente, uma constante que influencia na interseção entre o plano e os eixos cartesianos. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO: a x + b y + c z + d = 0 Exemplos: 1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, – 5) e é ortogonal ao vetor �⃗� = (1, 2, 6) R: α: x + 2 y + 6 z + 19 = 0 2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A (– 3, 2, 0) e é paralelo ao plano α: 4 x + 5 y – 7 z + 8 = 0. R: π: 4 x + 5 y – 7 z + 2 = 0 3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (– 1, 3, – 5) e é paralelo aos vetores �⃗� = (2, 4, 6) e 𝑣 = (1, 0, 3). R: α: 3 x – z – 2 = 0 4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, – 1, 4) e B (4, – 3, – 2). R: α: x – y – 3z – 2 = 0 Resolução dos exercícios: 1. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, – 5) e é ortogonal ao vetor �⃗� = (1, 2, 6) Equação geral: a x + b y + c z + d = 0 (a, b, c) é o vetor normal (x1, y1, z1) é o ponto que pertence ao plano: A (3, 4, – 5) d = – a x1 – b y1 – c z1 ∴ 1 x + 2 y + 6 z + [– 1 (3) – 2 (4) – 6 (– 5) ] = 0 ∴ 1 x + 2 y + 6 z + [– 3 – 8 + 30 ] = 0 ∴ A equação do plano é: x + 2 y + 6 z + 19 = 0 2. Escreva a equação do plano π que contém o ponto A (– 3, 2, 0) e é paralelo ao plano α: 4 x + 5 y – 7 z + 8 = 0. Se π é paralelo ao plano α, um vetor normal é (4, 5, – 7) Então a equação do plano é: 4 x + 5 y – 7 z + [– 4 (– 3) – 5 (2) + 7 (0)] = 0 4 x + 5 y – 7 z + 12 – 10 = 0 4 x + 5 y – 7 z + 2 = 0 3. Escreva a equação do plano que contém o ponto A (– 1, 3, – 5) e é paralelo aos vetores �⃗� = (2, 4, 6) e 𝑣 = (1, 0, 3). O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre �⃗� e 𝑣 , ou seja, �⃗� = (�⃗� x 𝑣 ) = | 𝑖 𝑗 𝑘 2 4 6 1 0 3 | = (12 - 0) i – (6 – 6) j + (0 – 4)k = 12 i – 4 k = (12, 0, - 4) ∴ a equação do plano é: 12 x + 0 y – 4 z + [- 12 (- 1) – 0 (3) – (- 4) (- 5) ] = 0 12 x – 4 z + 12 – 20 = 0 12 x – 4 z – 8 = 0 α: 3 x – z – 2 = 0 4. Escreva a equação do plano mediador do segmento AB, dados A (2, – 1, 4) e B (4, – 3, – 2). O plano mediador de AB é o plano ortogonal a AB e que contém seu ponto médio. Logo, um vetor normal a este plano é 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (4, – 3, – 2) – (2, – 1, 4) = (2, – 2, – 6) Um ponto do plano é 𝐴 + 𝐵 2 = 2 + 4 2 , − 1 +(−3) 2 , 4 +(−2) 2 = 6 2 , − 4 2 , 2 2 = (3 , − 2 , 1) ∴ a equação do plano é: 2 x – 2 y – 6 z + [– 2 (3) – (– 2) (– 2) – (– 6) (1) ] = 0 2 x – 2y – 6 z – 6 – 4 + 6 = 0 2 x – 2y – 6 z – 4 = 0 x – y – 3z – 2 = 0 Equação vetorial do plano Seja A (x0, y0, z0) um ponto do plano π e �⃗� = (a1, b1, c1) e 𝑣 = (a2, b2, c2) dois vetores não paralelos pertencentes a esse plano. Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano π, se e somente se, existem números reais h e k tais que: 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = h �⃗� + k 𝑣 (adição de vetores pela construção do paralelogramo) Escrevendo a equação em coordenadas temos: 𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ = h �⃗� + k 𝑣 P – A = h (a1, b1, c1) + k (a2, b2, c2) P = A + h (a1, b1, c1) + k (a2, b2, c2) (x, y, z) = (x0, y0, z0) + h (a1, b1, c1) + k(a2, b2, c2) equação vetorial do plano Ou (x, y, z) = (x0 + h a1 + k a2, y0 + h b1 + k b2, z0 + h c1 + k c2) equação vetorial do plano Os vetores �⃗� e 𝑣 são chamados de vetores diretores do plano 𝜋. Equações paramétricas do plano { 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2 𝑘 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2 𝑘 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2 𝑘 Exemplos: 1. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1, 3) e é paralelo aos vetores �⃗� = (– 3, – 3, 1) e 𝑣 = (2, 1, – 2). 2. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4). Resolução dos exercícios: 1. Escreva as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A (2, 1, 3) e é paralelo aos vetores �⃗� = (– 3, – 3, 1) e 𝑣 = (2, 1, – 2). { 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑘 𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑘 𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑘 { 𝑥 = 2 − 3ℎ + 2𝑘 𝑦 = 1 − 3ℎ + 1𝑘 𝑧 = 3 + 1ℎ − 2𝑘 Se quisermos um ponto de plano, basta atribuir valores quaisquer para h e k. Por exemplo: se h = 5 e k = 1, temos { 𝑥 = 2 − 3(5) + 2(1) → 𝑥 = −11 𝑦 = 1 − 3(5) + 1(1) → 𝑦 = −13 𝑧 = 3 + 1(5) − 2(1) → 𝑧 = 6 Logo, B (- 11, - 13, 6) é um ponto do plano. Para descobrir a equação geral do plano: O vetor normal ao plano é o produto vetorial, ou produto externo entre �⃗� e 𝑣 , ou seja, �⃗� = (�⃗� x 𝑣 ) = | 𝑖 𝑗 𝑘 −3 −3 1 2 1 −2 | = (6-1) i – (6 – 2) j + (-3+6)k = 5i – 4j +3 k = (5,- 4,3) ∴ a equação do plano é: 5 x – 4 y + 3 z + [– 5 (2) – (– 4) (1) – 3 (3) ] = 0 5 x – 4 y +3z +[ – 10 +4 -9) = 0 5 x – 4 y +3 z – 5 = 0 α: 5 x – 4y +3z – 5 = 0 2. Escreva as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos A (5, 7, - 2), B (8, 2, - 3 ) e C (1, 2, 4). Primeiro descobrir se os pontos são colineares ou não. Logo, det = 0 colinearidade. [ 5 7 −2 5 7 8 2 −3 8 2 1 2 4 1 2 ] = 40 − 21 − 32 + 4 + 30 − 224 = −277 + 74 = −203 Três pontos não colineares determinam um plano, assim: �⃗� = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (8, 2, - 3) – (5, 7, - 2) = (3, - 5, - 1) 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A = (1, 2, 4) – (5, 7, - 2) = (- 4, - 5, 6) Logo, as paramétricas desse plano, utilizando o ponto A são: { 𝑥 = 5 + 3ℎ − 4𝑘 𝑦 = 7 − 5ℎ − 5𝑘 𝑧 = −2 − 1ℎ + 6𝑘 Exercícios: 1. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é paralelo ao plano: α: 2 x – 3 y + z – 6 = 0 R: 𝜋: 2 x – 3 y + z + 1 = 0 2. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é ortogonal à reta 𝑟: { 𝑥 = −4 + 3𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡 𝑧 = 𝑡 R: δ: 3 x + 2 y + 1 z - 6 = 0 3. São dadas as equações paramétricas de um plano 𝛼: { 𝑥 = 1 − 2𝑢 + 𝑣 𝑦 = 2 + 𝑢 − 2 𝑣 𝑧 = 3 + 𝑢 Encontre a equação geral.𝑅: 𝛼: 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 − 13 = 0 4. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 3, 2) e têm à direção do vetor 𝑣 = ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x – y + z + 3 = 0 5. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao vetor 𝑣 = ( - 2, 3, 1). R: – 2x + 3y + z + 9 = 0 6. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0 R: �⃗� = ( 2 √6 , 1 √6 , − 1 √6 ) 7. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 2x + 11y + 8z = 27. R: a = 1 8. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2). R: π: x + y – z – 1 = 0 e 𝜋: { 𝑥 = 4 − 5 �⃗� − 𝑣 𝑦 = −2 + 3 �⃗� + 2 𝑣 𝑧 = 1 − 2 �⃗� + 𝑣 9. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo ao plano yOz. R: π: x – 1 = 0 10. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é ortogonal à reta: 𝑥 − 1 −2 = 𝑦 + 1 1 = 𝑧 − 2 −1 R: π: – 2 x + y – z + 9 = 0 11. Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores �⃗� = (- 2, 0,1) e 𝑣 = (- 1, - 2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0). R: π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0 12. Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos 𝑀( 1 2 , 0, 0), 𝑁 (0, 1 2 , 0) e 𝑂 (0,− 1 2 , 1 2 ) R: α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0 13. Calcule o valor de k para que os planos π: 3x – y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y – z – 2 = 0 sejam ortogonais. R: 𝑘 = 4 3 Resoluções: 1. Escreva a equação do plano π que passa pelo ponto A (3, 1, - 4) e é paralelo ao plano: α: 2 x – 3 y + z – 6 = 0 Se os dois planos são paralelos então o vetor normal (ortogonal) ao plano α também é ortogonal ao plano π, logo �⃗� = ( 2, - 3, 1). Então a equação do plano π pode ser escrita como: 2 x – 3 y + z + d = 0 Descobrindo d: d = – 2 ( 3) – (–3) . (1 ) – 1 (– 4) + d = – 6 + 3 + 4 d = 1 Logo a equação do plano π é: 2 x – 3 y + z + 1 = 0 2. Determine a equação geral do plano δ que passa pelo ponto A (2, 1, - 2) e é ortogonal à reta 𝑟: { 𝑥 = −4 + 3𝑡 𝑦 = 1 + 2𝑡 𝑧 = 𝑡 Se o plano δ é ortogonal a reta r, então o vetor diretor de r será um vetor ortogonal ao plano δ, logo, �⃗� = (3, 2, 1) então, a equação do plano pode ser escrita como: δ: 3 x + 2 y + 1 z + d = 0 3 (2) + 2 (1) + 1 (– 2) + d = 0 6 + 2 – 2 + d = 0 d = – 6 Logo, a equação do plano δ é: δ: 3 x + 2 y + 1 z – 6 = 0 3. São dadas as equações paramétricas de um plano: { 𝑥 = 1 − 2𝑢 + 𝑣 𝑦 = 2 + 𝑢 − 2 𝑣 𝑧 = 3 + 𝑢 Encontre a equação geral. Os vetores �⃗� = (−2, 1, 1) e 𝑣 = (1, −2, 0) são vetores diretores do plano. O vetor �⃗� 𝑥 𝑣 (produto externo) é o vetor normal ao plano, logo: �⃗� 𝑥 𝑣 = [ 𝑖 𝑗 �⃗� −2 1 1 1 −2 0 ] = 2 𝑖 + 1 𝑗 + 3 �⃗� = �⃗� 𝑥 𝑣 = (2, 1, 3) Ponto do plano: A (1, 2, 3) Descobrindo o termo independente “d”: d = – 1 . (2) – 2 . (1) – 3 . (3) d = – 13 Logo, a equação geral do plano é: 2 x + y + 3 z – 13 = 0 4. Ache a equação geral do plano que contém os pontos A (0, 4, 1) e B (- 1, 3, 2) e têm à direção do vetor 𝑣 = ( - 1, 3, 5). R: π: 2 x – y + z + 3 = 0 AB = B – A = (-1, 3, 2) – (0, 4, 1) = ( - 1, - 1, 1) = u Outro vetor do plano: v = (-1, 3, 5) �⃗� 𝑥 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘 −1 − 1 1 −1 3 5 | = (−5 − 3)𝑖 − (−5 + 1) 𝑗 + (−3 − 1)𝑘 = (− 8, 4, −4) �⃗� = ( - 8, 4, - 4) utilizando o ponto A 𝑑 = −(−8)(0) − 4 (4) − (−4) (1) 𝑑 = −16 + 4 d = - 12 Logo, π: 2 x – y + z + 3 = 0 5. Determine a equação do plano que contém A (4, -1, 2) e é ortogonal ao vetor 𝑣 = ( - 2, 3, 1). R: π: – 2x + 3y + z + 9 = 0 d = - (-2) (4) – 3 (- 1) – (1) 2 d = 8 + 3 - 2 d = 9 Logo, a equação do plano é π: – 2x + 3y + z + 9 = 0 6. Obtenha um vetor unitário ortogonal ao plano π: 2 x + y - z + 5 = 0 �⃗� = (2, 1, -1) |�⃗� | = √22 + 12 + (−1)2 = √6 �⃗� ′ = �⃗� |�⃗� | = ( 2 √6 , 1 √6 , − 1 √6 ) 7. Determine o valor de a para que o ponto P(a, 3, -1) pertença ao plano π: 2x + 11y + 8z = 27. R: a = 1 d = - 2 x0 – 11 y0 – 8 z0 - 27 = - 2 x0 – 11 y0 – 8 z0 - 27 = - 2 a – 11 (3) – 8 (-1) 2 a = - 33 + 8 + 27 2 a = 2 a = 1 8. Determine as equações paramétricas e a equação geral do plano que passa pelos pontos A (4, - 2, 1), B (- 1, 1, - 1) e C (3, 0, 2). R: π: x + y – z – 1 = 0 e 𝜋: { 𝑥 = 4 − 5 𝑢 − 𝑣 𝑦 = −2 + 3 𝑢 + 2 𝑣 𝑧 = 1 − 2 𝑢 + 𝑣 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = B – A = (-1, 1, -1) – (4, - 2 , 1) = (- 5, 3, - 2) = �⃗� 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A = (3, 0, 2) – (4, - 2 , 1) = (- 1, 2, 1) = 𝑣 �⃗� 𝑥 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘 −5 3 −2 −1 2 1 | = 7 𝑖 + 7 𝑗 − 7𝑘 = (7, 7, −7) → �⃗� = (7, 7, −7) Encontrando d pelo ponto A d = - 7 (4) – 7 (- 2) – (-7) 1 d = - 28 + 14 + 7 d = - 7 Logo, a equação geral é π: x + y – z – 1 = 0 Vetorial pelo ponto A: 𝜋: { 𝑥 = 4 − 5 𝑢 − 𝑣 𝑦 = −2 + 3 𝑢 + 2 𝑣 𝑧 = 1 − 2 𝑢 + 𝑣 9. Encontre a equação geral do plano que passa por P (1, 2, - 3) e é paralelo ao plano yOz. R: π: x - 1 = 0 como é paralelo ao yOz e a normal é ortogonal ao plano temos: �⃗� = (𝑥, 0, 0) = ( 1,0, 0) �⃗� = (1, 0, 0) d = - 1 (1) – 0 (2) – 0 (- 3) d = - 1 Portanto, π: x - 1 = 0 10. Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto P (3, - 1, 2) e é ortogonal à reta: 𝑥 − 1 −2 = 𝑦 + 1 1 = 𝑧 − 2 −1 R: π: – 2 x + y – z + 9 = 0 Vetor diretor da reta: (-2, 1, -1) d = - (-2) (3) – 1 (-1) – (-1).(2) d = 6 + 1 + 2 d = 9 Portanto, π: – 2 x + y – z + 9 = 0 11. Determine a equação geral do plano paralelo aos vetores �⃗� = (- 2, 0,1) e 𝑣 = (- 1, - 2, 1) e passa pelo ponto A(1, 1, 0). R: π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0 Como �⃗� e 𝑣 não são paralelos fazemos produto externo: �⃗� 𝑥 𝑣 = | 𝑖 𝑗 𝑘 −2 0 1 −1 −2 1 | = 2 𝑖 − (−2 + 1)𝑗 + 4𝑘 = 2 𝑖 + 𝑗 + 4𝑘 = (2, 1, 4) → �⃗� = (2, 1, 4) A (1, 1, 0) d = -2 (1) – 1 (1) – 4 (0) d = - 2 - 1 d = - 3 π: 2 x + y + 4 z – 3 = 0 12. Calcule o valor de k para que os planos π: 3x – y + z - 4 = 0 e α: k x + 3y – z – 2 = 0 sejam ortogonais. R: 𝑘 = 4 3 (3, -1, 1) . (k, 3, -1) = 0 3 k – 3 – 1 = 0 3 k = 4 𝑘 = 4 3 13. Encontre a equação do plano α que passa pelos pontos 𝑀( 1 2 , 0, 0), 𝑁 (0, 1 2 , 0) e 𝑂 (0,− 1 2 , 1 2 ) R: α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0 Como 3 pontos determinam um plano, então com os 3 pontos dados obtemos os vetores 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = N – M =(0, 1 2 , 0) − ( 1 2 , 0, 0) = (− 1 2 , 1 2 , 0) = 𝑢 𝑀𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = O – M =(0,− 1 2 , 1 2 ) − ( 1 2 , 0, 0) = (−1 2 , − 1 2 , 1 2 ) = 𝑣 �⃗� 𝑥 𝑣 = | | 𝑖 𝑗 𝑘 − 1 2 1 2 0 − 1 2 − 1 2 1 2 | | = 1 4 𝑖 + 1 4 𝑗 + 1 2 𝑘 = ( 1 4 , 1 4 , 1 2 ) → �⃗� = ( 1 4 , 1 4 , 1 2 ) Encontrando o d a partir do ponto M ( 1 2 , 0, 0): d = − 1 4 ( 1 2 ) − 1 4 (0) − 1 2 (0) d = − 1 8 Logo, 1 4 𝑥 + 1 4 𝑦 + 1 2 𝑧 − 1 8 = 0 multiplicando tudo por 8: α: 2 x + 2 y + 4 z – 1 = 0 Referências Bibliográficas BOULOS, P. e CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010. VALLADARES, R. J. C. Geometria analítica do plano e do espaço. Rio de Janeiro: LTC, 1990. VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 9 ed. Curitiba. 1949.