CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA

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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA
PROFESSOR: WILLIAM SCHWARTZ
AULA 1: VETORES
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
		
	
	-2j+k
	
	3i -2j
	 
	3i -2j+k
	
	3i -2j-k
	 
	i -2j+k
	
	Explicação:
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ?
		
	
	(1,1)
	 
	(0,0)
	 
	(1,0)
	
	(0,1)
	
	(2,2)
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	3/2
	 
	8/3
	
	-8/3
	 
	-3/2
	
	2/5
	
	
Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : (AB) + 3(BC) - (AC) ?
		
	 
	(14,8)
	 
	(-14,8)
	
	(-14,-8)
	
	(14,7)
	
	(14,-8)
	
	
Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais.
		
	
	-30
	
	13
	 
	-13
	 
	-15
	
	-26
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
		
	
	2/3 e -2
	
	-1 e 1/2
	 
	0 e 1/2
	
	-1 e 0
	
	1 e 2/3
	
	Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗.
		
	
	(126/3, 104/3)
	
	(134/3, 96/3)
	 
	(104/3, 119/3)
	
	(126/3, 96/3)
	 
	(134/3, 119/3)
	
	Explicação:
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3)
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5).
		
	
	(15,13)
	 
	(-29,-10)
	
	(18,-28)
	 
	(23,-13)
	
	(21,-11)
	
	Explicação:
2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13)
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : 3(AB) + 3(BC) - 5(AC) ?
		
	
	(1,1)
	
	(1,0)
	 
	(0,1)
	 
	(0,0)
	
	(2,2)
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Em relação aos conceitos de vetores, marque (V) para verdadeiro e (F) para falso e assinale a alternativa correta. ( ) Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo, direção e sentido; ( ) O módulo é o tamanho do vetor; ( ) O sentido é o mesmo da reta suporte que contem o vetor; ( ) A direção é para onde o vetor está apontando.
		
	
	V,F,V,F.
	 
	V,V,V,V.
	
	F,V,F,F.
	 
	V,V,F,F.
	
	V,F,V,V.
	
	Explicação:
A questão apresenta conceitos teóricos fundamentais de vetores e grandezas vetoriais
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos
		
	
	x=1
	
	x=2
	 
	x=3
	
	x=4
	
	Nenhuma das anteriores
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Encontre o valor de m de modo que os vetores u=(m, 2, 4) e v = (2, 3,5) sejam ortogonais.
		
	
	-15
	
	-26
	
	13
	 
	-13
	
	-30
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 4, -x ) e v ( 2, 3 ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais ?
		
	
	3/2
	 
	-8/3
	 
	8/3
	
	2/5
	
	-3/2
	
	Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores  u = i - 4j+ k e v = 2i + 2j o vetor u + v é:
		
	 
	3i -2j-k
	
	-2j+k
	
	i -2j+k
	 
	3i -2j+k
	
	3i -2j
	
	Explicação:
Tem que somar posição com posição, i com i, j com j e k com k
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considerando os vetores u ⃗=(2,-3),v ⃗=(-1,5) e w ⃗=(-3,-4), determine 1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗.
		
	
	(-1/2, 59/2)
	 
	(-3/2, 59/2)
	
	(1/2, 59/2)
	 
	(-2/3, 59/2)
	
	(2/3, 59/2)
	
	Explicação:
1/2 v ⃗-5u ⃗-3w ⃗ = 1/2(-1, 5) - 5(2, -3) - 3(-3, -4) = (-1/2 -10 + 9, 5/2 + 15 + 12) = (-3/2, 59/2)
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (2, -1, 4) e v = (2 + m, -1, 3 + 2n), determinar, respectivamente, os valores de m e n para que os vetores sejam iguais.
		
	
	2/3 e -2
	
	-1 e 0
	 
	0 e 1/2
	
	1 e 2/3
	
	-1 e 1/2
	
	Explicação:
2 + m = 2
3 + 2n = 4
	
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A(1,2), B(−6,−2) e C(1, 2), qual o resultado da operação entre os vetores : (AB) + 3(BC) - (AC) ?
		
	
	(-14,8)
	
	(14,-8)
	
	(-14,-8)
	
	(14,7)
	 
	(14,8)
	
	Explicação: Tem que ser calculado em primeiro lugar os vetores e posteriormente efetuar a adição, tendo em vista que no enunciado dá pontos e não vetores
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Os pontos A=(2,4) e C=(6,8) são vértices de um quadrado ABCD, e pertencem a uma das diagonais desse quadrado, que terá área medindo:
		
	
	24 ua
	
	8 ua
	 
	16 ua
	
	12 ua
	
	4 ua
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considerando os pontos A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗.
		
	
	(-9, 145/3)
	 
	(-11, 145/3)
	
	(9, 145/3)
	
	(-11, 154/3)
	 
	(-11, -145/3)
	
	Explicação:
A(0, -3), B(-5, 2) ,C(-2, 7) e D(-1, -4), calcule 5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗
AD = D - A = (-1, -1) -> 5AD = (-5,-5)
BC = C - B = (3, 5) -> 1/3BC = (1, 5/3)
DC = C - D = (-1, 11) -> 5DC = (-5, 55)
5(AD) ⃗-1/3 (BC) ⃗+5(DC) ⃗ = (-5,-5) - (1, 5/3) + (-5, 55) = (-11, 145/3)
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Sendo dados os vetores A=(1,1), B=(1,0) e C=(0,1) , calcule o ângulo entre os vetores CA e BC.
		
	
	0°
	
	180°
	 
	270°
	
	120°
	 
	135°
	
	Explicação:
a-c=(1,1)-(0,1)=(1,0)
c-b=(0,1)-(1,0)=(-1,1)
(a-c).(c-b)=(1,0).(-1,1)=-1
!!a-c!! = V1²+0² = 1
!!c-b!! V(-1)2+1² = V2
Logo, chamando de A o ângulo entre os vetores, temos:  cos A = (a-c).(c-b) / !!a-c!! . !!c-b!!  = -1 / V2 = - V2 /2
Daí: A = 135°
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	As coordenadas do vetor VAB, sendo A = (0;2) e B = (3;4), são:
		
	 
	(3;2)
	
	(-3;2)
	 
	(3;6)
	
	(-3;-2)
	
	(-3;6)
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dado os pontos A(-10, -4), B(0, 5) e C(-4, 1), calcule o vetor 3(AB) ⃗-2/3 (BC) ⃗+2(AC) ⃗.
		
	 
	(134/3, 119/3)
	
	(126/3, 96/3)
	
	(104/3, 119/3)
	
	(126/3, 104/3)
	
	(134/3, 96/3)
	
	Explicação:
= (3(0-(-10)) - 2/3.(-4-0)+2(-4-(-10)), 3(5-(-4)) - 2/3(1-5) + 2(1-(-4))) = (30 + 8/3 + 12, 27 + 8/3 + 10) = (134/3, 119/3)
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o módulo do vetor 2AB-3BC, sendo A=(-1,4) , B=(3,2) e C=(-2,5).
		
	
	(18,-28)
	 
	(23,-13)
	 
	(15,13)
	
	(-29,-10)
	
	(21,-11)
	
	Explicação:
2AB-3BC=2(4,-2)-3(-5,3)=(8,-4)-(-15,9)=(23,-13)
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Calcule o ângulo entre os vetores u=(3,2) e v=(6,4).
		
	
	30°
	 
	45°
	
	90°
	 
	0°
	
	60°
	
	Explicação:
u.v=(3,2).(6,4)=3.6+2.4=18+8=26
!!u!!=V3²+2² = V9+4 = V13
!!v!!=V6²+4² = V36+16 = V52 = 2V13
 
Logo, chamando de  A o ângulo entre os vetores, temos: cos A = u.v / !!u!!.!!v!! = 26 / V13.2V13 = 26 / 2.13 = 1
Daí: A=0°
	
	
AULA 2: OPERAÇÕES COM VETORES
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes.
		
	 
	(2, 5) e (4, 8)
	
	(4, 3) e (7, 8)
	
	(4, 5) e (7, 9)
	 
	(3, 5) e (4, 6)
	
	S.R
	
	Explicação:
Ponto 1 = (0, 2) + (2, 3) = (2, 5)
Ponto 2 = (2, 5) + (2, 3) = (4, 8)
(2,3) = (B - A) / 3
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Os valores de a e de b, de modo que (3a - 4, 2b - 8) = (11, -10), são respectivamente:
		
	
	18 e 6
	 
	5 e -1
	
	-1 e -12
	
	12 e 1
	
	10 e 6
	
	Explicação:
Devemos ter: 3a-4=11 => 3a=15 => a=5  e  2b-8=-10 => 2b=-2 => b=-1
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que define uma região geométrica.Com base nos estudos de vetores podemos afirmar que o perímetro desta figura será aproximadamente:
		
	 
	22,4
	
	19,4
	
	20,8
	 
	16,4
	
	45
	
	Explicação: Calcula-se o módulo de cada lado do triângulo de pois soma: módulo AB + módulo AC + módulo BC
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3).
		
	
	10/3
	 
	12/5
	
	12/7
	 
	10/7
	
	13/7
	
	Explicação:
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0)
Fazer |PA| = |PB|
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), então seu módulo vale:
		
	 
	(D) √7
	 
	(B) 3
	
	(C) 9
	
	(E) 2√5
	
	(A) 1
	
	Explicação:
raiz((√8)² + (-1)²) = √9 = 3
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere os vetores u = 2i + j +3k e o vetor v = 5i - 2j + k, a soma dos vetores u e v, resulta em:
		
	 
	(B) 7i - j + 4k
	
	(C) 3i - 3j + 4k
	
	(A) 7i + j + 4k
	
	(E) i + j + k
	
	(D) 3i + 3j - 4k
	
	Explicação: (2i + j + 3k) + (5i - 2j + k) = 2i + 5i + j - 2j + 3k + k = 7i - j + 4k
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores: u= (2,5-2) e v = (4, -5, 7), encontre o vetor 2u-3v:
		
	
	(-8, -25, -25)
	
	( 4, 10, -4 )
	
	( -7, 6, 8)
	
	( 8, 25, 25)
	 
	(-8, 25, -25)
	
	Explicação: 2( 2, 5, -2) - 3( 4, -5, 7)= ( -8, 25, -25)
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
 
		
	
	-3
	 
	-4
	
	4
	
	3
	 
	2
	
	Explicação:
Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais.
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Sobre os vetores i = (1,0) e j = (0,1), podemos afirmar:
		
	 
	São ortogonais, mas não são unitários
	
	Formam um ângulo de 60º
	
	São unitários, mas não são ortogonais
	
	Não são nem ortogonais e nem unitários
	 
	São ortogonais e unitários
	
	Explicação:
i . j = 0, logo i e j são ortogonais
|i| = |j| = 1, logo são unitários
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Se os vetores u ⃗ e v ⃗ formam entre si um ângulo de 45º e suas coordenadas são: u ⃗ = (2, -1, 5) e v ⃗ = (-1, 2, n). Nessas condições o valor de n vale aproximadamente:
		
	
	(0,27) ou (- 6,27)
	
	(- 1,07) ou (5,07)
	
	(- 1,39) ou (4,08)
	 
	(- 1,15) ou (5,15)
	
	s.r
	
	Explicação:
u ⃗ = (2, -1, 5) e v ⃗ = (-1, 2, n)
u.v = -2-2+5n = 5n-4
|u| = raiz(30)
|v| = raiz(n²+5)
cos45 = u.v / (|u||v|)
1/raiz(2) = 5n+4 / raiz(30.(n²+5))
(5n+4)² = 15(n²+5)
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade, direção e sentido. O módulo é o tamanho do vetor, sua direção é a mesma da reta suporte que o contém, e o sentido é para onde ele está apontado. Uma mesma direção possui dois sentidos. Por exemplo, a direção horizontal apresenta o sentido para a direita e o sentido para a esquerda; a direção vertical apresenta o sentido para cima e o sentido para baixo. Sabendo disso, considere os vetores u e v de módulo u = 2 e v = 5, que possuem a mesma origem e formam um ângulo de 60° entre eles. Determine, usando a regra do paralelogramo, o módulo do vetor soma resultante de u e v.
		
	
	√28
	 
	√39
	
	12 - √3
	
	5 + √13
	 
	3√19
	
	Explicação:
Construido o paralelogramo, temos
|u + v|² = 5² + 2² - 2.5.2cos120
|u + v| = raiz(29 - 20.(-1/2)) = raiz(39)
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Demonstrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais. Dado os vetores i = (1, 0, ,0) e j = (0, 1, 0).
		
	
	3
	
	2
	
	-1
	 
	0
	
	-4
	
	Explicação:
O produto entre i.j = (1,0,0).(0,1,0) = 1.(0) + 0.(1) + 0.(0) = 0. O vetor 0 é ortogonal a todo vetor, isto é, o vetor 0.v = 0 para todo o vetor v.
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	O Produto Misto dos Vetores
→u=2→i+→j−2→k,→v=3→i−→j,→w=4→i+→j−3→ku→=2i→+j→−2k→,v→=3i→−j→,w→=4i→+j→−3k→ é:
 
		
	
	4
	
	-1
	 
	-2
	
	-3
	 
	1
	
	Explicação:
[u,v,w] = ∣∣
∣∣21−23−1041−3∣∣
∣∣|21−23−1041−3|
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine o vetor →ABA→B dado os pontos A(-1, -2, -3) e B(0, 1, 2)
		
	
	(1, 2, 0)
	
	(1, 0, 5)
	 
	(1, 3, 5)
	 
	(0, 1, 2)
	
	(-1, 0, 1)
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os pontos A = (1, 3) e B = (5,2), determine as coordenadas do Ponto C, interno ao segmento AB, de modo que os vetores VAC e VAB sejam tais que,  VAC =2/3.VAB .
		
	 
	C = (11/3, 7/3)
	
	C = (1/3, 2/3)
	
	C = (4, 10/3)
	 
	C = (10/3, 4/5)
	
	C = (5/3, 2/5)
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Calcular o ângulo entre os vetores u = (1,1,4) e v = (-1,2,2).
		
	
	60°
	
	53°
	 
	35°
	
	47°
	 
	45°
	
	Explicação:
Fazer a = u . v / (|u| . |v|)
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores: u= (2,5-2) e v = (4, -5, 7), encontre o vetor 2u-3v:
		
	
	( 8, 25, 25)
	 
	(-8, 25, -25)
	
	( 4, 10, -4 )
	
	(-8, -25, -25)
	
	( -7, 6, 8)
	
	Explicação: 2( 2, 5, -2) - 3( 4, -5, 7)= ( -8, 25, -25)
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= 2i -3j -2k e v= i -2j-xk, qual é o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
 
		
	
	-3
	
	4
	
	3
	 
	-4
	 
	2
	
	Explicação:
Cálculo se dá pelo produto escalar, que deve dar zero quando os vetores são ortogonais.
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante aos pontos A(3, -5, 2) e B(-2, -1, -3).
		
	
	10/3
	
	12/7
	
	10/7
	 
	13/7
	 
	12/5
	
	Explicação:
P pertence ao eixo das abscissas <-> yp = zp = 0 <-> P = (x,,0,0)
Fazer |PA| = |PB|
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Se o vetor v tem coordenadas (√8, - 1), então seu módulo vale:
		
	
	(A) 1
	
	(C) 9
	
	(D) √7
	 
	(B) 3
	
	(E) 2√5
	
	Explicação:
raiz((√8)² + (-1)²) = √9 = 3
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere os vetores u = 2i + j +3k e o vetor v = 5i - 2j + k, a soma dos vetores u e v, resulta em:
		
	
	(A) 7i + j + 4k
	
	(C) 3i - 3j + 4k
	 
	(B) 7i - j + 4k
	
	(D) 3i + 3j - 4k
	
	(E) i + j + k
	
	Explicação: (2i + j + 3k) + (5i - 2j + k) = 2i + 5i + j - 2j + 3k + k = 7i - j + 4k
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule as coordenadas dos dois pontos, que dividem o segmento de extremidades (0, 2) e (6, 11), em três segmentos congruentes.
		
	
	S.R
	
	(3, 5) e (4, 6)
	
	(4, 5) e (7, 9)
	 
	(4, 3) e (7, 8)
	 
	(2, 5) e (4, 8)
	
	
Explicação:
Ponto 1 = (0, 2) + (2, 3) = (2, 5)
Ponto 2 = (2, 5) + (2, 3) = (4, 8)
(2,3) = (B - A) / 3
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Em um dado sistema cartesiano, têm-se os pontos A(0,4), B(3,-2) e C(-3,-2) que define uma região geométrica. Com base nos estudos de vetores podemos afirmar que o perímetro desta figura será aproximadamente:
		
	 
	22,4
	
	16,4
	
	45
	
	19,4
	
	20,8
	
	Explicação: Calcula-se o módulo de cada lado do triângulo de pois soma: módulo AB + módulo AC + módulo BC
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Os valores de a e de b, de modo que (3a - 4, 2b - 8) = (11, -10), são respectivamente:
		
	
	12 e 1
	 
	5 e -1
	
	-1 e -12
	
	18 e 6
	
	10 e 6
	
	Explicação:
Devemos ter: 3a-4=11 => 3a=15 => a=5  e  2b-8=-10 => 2b=-2 => b=-1
	
	
AULA 3: REPRESENTAÇÕES DE VETORES NO R2 E R3 
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	
	x=-4 e y=4
	
	Nenhuma das anteriores
	
	x=4 e y=-4
	
	x=0 e y=4
	 
	x=4 e y=4
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Duas forças de intensidade →F1=6,0NF→1=6,0N e →F2=8,0NF→2=8,0N agem sobre um corpo rígido e suas direções são desconhecidas. Determine o intervalo de valores que o módulo da intensidade da força resultante poderá assumir.
		
	 
	Entre 2 e 14 N.
	
	Entre -8 e 14 N.
	
	Entre -14 e 14 N.
	
	Entre 0 e 14 N.
	
	Entre 6 e 14 N.
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados três pontos A, B e C, exprimir o vetor X - C sabendo que X é o ponto da reta AB de acordo com: B - X = 4.(A - X)
		
	
	X - C = - 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	 
	X - C = 4/3 (A-C) - 1/3 (B-C)
	 
	X - C = 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	X - C = - 1/3 (A-C)+ 4/3 (B-C)
	
	X - C = - 4/3 (A-C) + 1/3 (B-C)
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	 
	x=4 e y=4
	
	x=4 e y=-4
	
	x=2 e y=4
	
	x=2 e y=2
	
	x=4 e y=2
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sabendo-se que u = (a, b, c) é versor de v = (1,2,2), qual o valor de a
		
	
	-1
	 
	1/3
	 
	1
	
	0
	
	2/3
	
	Explicação:
u = v / |v|
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	3/8
	 
	-3/2
	
	2/8
	
	5/8
	
	-5/8
	
	Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um parte de um heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte de um heliporto B localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB.Ache as coordenadas do ponto de encontro dos helicópteros.
		
	 
	(90, 120, 1)
	
	(-90, -120, -1)
	 
	( 120, 0, 0 )
	
	(0, 0, 0 )
	
	(0, 120, 0 )
	
	Explicação: O ponto médio é a media das coordenadas dos pontos A e B.
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dada as seguintes afirmações:
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
IV. O módulo do vetor →uu→=(-3,0,-4) é igual a 5
V. As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →ii→, →jj→ e →kk→, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
		
	 
	I, IV e V estão corretas
	
	IV e V estão corretas
	
	I e III estão corretas
	
	III e IV estão corretas
	
	Apenas I está correta
	
	Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores  u = i + k e v = 2i + 2j o vetor u + v é
		
	
	(3,0,1)
	
	(3,2,0)
	 
	(3,2,2)
	
	(3,3,1)
	 
	(3,2,1)
	
	Explicação: Operar cada componente de vetor com seu componente
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Tem-se os vetores x = (a + 3, 5, 2) e o vetor y = (- 4, b + 5, 2), logo os valores de a e b de modo que os vetores x e y sejam iguais é, respectivamente:
		
	
	(C) 7 e 7
	
	(E) 1 e 0
	
	(D) 1 e 10
	 
	(A) - 7 e 0
	 
	(B) 7 e 0
	
	Explicação: Tem-se que a + 3 = - 4, logo a = - 7 Tem-se que b + 5 = 5, logo b = 0
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dada as seguintes afirmações:
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
IV. O módulo do vetor →uu→=(-3,0,-4) é igual a 5
V. As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →ii→, →jj→ e →kk→, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
		
	
	I e III estão corretas
	
	Apenas I está correta
	
	IV e V estão corretas
	 
	I, IV e V estão corretas
	
	III e IV estão corretas
	
	Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos é:
		
	
	0
	
	6
	 
	3
	
	2
	
	9
	
	Explicação:
Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos.
		
	 
	x=4 e y=4
	
	x=4 e y=-4
	
	x=2 e y=4
	
	x=2 e y=2
	
	x=4 e y=2
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Duas forças de intensidade →F1=6,0NF→1=6,0N e →F2=8,0NF→2=8,0N agem sobre um corpo rígido e suas direções são desconhecidas. Determine o intervalo de valores que o módulo da intensidade da força resultante poderá assumir.
		
	
	Entre -14 e 14 N.
	 
	Entre 2 e 14 N.
	
	Entre 6 e 14 N.
	
	Entre -8 e 14 N.
	
	Entre 0 e 14 N.
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Em relação a um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no espaço o vetor x = (2, 0, - 4), corresponde ao vetor:
		
	
	(B) x = 2i - 4
	 
	(E) x = 2i + 0k - 4j
	 
	(D) x = 2i - 4k
	
	(A) x = - 2i
	
	(C) x = 2i - 4j
	
	
Explicação: Sendo x = (2, 0, - 4) a forma canônica é 2i + 0j - 4k = 2i - 4k
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determinar os valores de m e n para que os vetores →uu→=(m+1)→ii→ + 2→jj→ + →kk→ e  →vv→=(4,2,2n-1) sejam iguais.
		
	
	m= 5 e n= -1
	 
	m= -5 e n= 1
	
	m= 3 e n= -1
	 
	m= 3 e n= 1
	
	m= 0 e n= 1
	
	Explicação:
u=v => m+1=4 => m=3 , 2=2  e 1=2n-1 => n=1
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Tem-se os vetores x = (a + 3, 5, 2) e o vetor y = (- 4, b + 5, 2), logo os valores de a e b de modo que os vetores x e y sejam iguais é, respectivamente:
		
	
	(B) 7 e 0
	
	(E) 1 e 0
	 
	(D) 1 e 10
	
	(C) 7 e 7
	 
	(A) - 7 e 0
	
	Explicação: Tem-se que a + 3 = - 4, logo a = - 7 Tem-se que b + 5 = 5, logo b = 0
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sabendo-se que u = (a, b, c) é versor de v = (1,2,2), qual o valor de a
		
	
	1
	
	-1
	
	0
	 
	1/3
	
	2/3
	
	Explicação:
u = v / |v|
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os Vetores u ( 3, 2 ) e v ( 4, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	4
	
	-4
	 
	-6
	
	0
	 
	6
	
	Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	 
Dados os vetores u ( 1, 2 ) e v ( 3, x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	2/8
	
	3/8
	 
	-3/2
	
	-5/8
	
	5/8
	
	Explicação: O produto escalar dos vetores tem que ser igual a zero
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dada as seguintes afirmações:
I. Uma grandeza vetorial é caracterizada por possuir uma direção, um sentido e um módulo.
II. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas escalares.
III. Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
IV. O módulo do vetor →uu→=(-3,0,-4) é igual a 5
V. As componentes dos vetores nos eixos x,y e z são representadas por →ii→, →jj→ e →kk→, respectivamente.
Marque a alternativa correta:
 
		
	
	I e III estão corretas
	
	III e IV estão corretas
	
	IV e V estão corretas
	 
	I, IV e V estão corretas
	
	Apenas I está correta
	
	Explicação:
A questão explora tópicos concetuais de vetores e grandezas vetoriais
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O valor de x para que os vetores u=(x,2,0) e v=(9,6,0) sejam paralelos é:
		
	
	2
	
	9
	
	0
	 
	6
	 
	3
	
	Explicação:
Dois vetores são paraleleos quando suas coordenadas são proporcionais
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Se u = (x;5) e v = (-2; 10) são vetores paralelos, então o valor e x é
		
	 
	x = 2
	
	x = 1
	 
	x = -1
	
	x = 25
	
	x = -5
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dois helicópteros voam no mesmo sentido, em direções oposta.um parte de um heliporto A localizado no ponto( 60, 80, 1),o outro parte de um heliporto B localizado em (120, 160,1), com coordenadas em KM. se eles voam em direção a um heliporto localizado no ponto médio do segmento AB.Ache as coordenadas do ponto de encontro dos helicópteros.
		
	
	(0, 120, 0 )
	
	(-90, -120, -1)
	
	( 120, 0, 0 )
	 
	(90, 120, 1)
	
	(0, 0, 0 )
	
	Explicação: O ponto médio é a media das coordenadas dos pontos A e B
AULA 4: PRODUTO DE VETORES
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Qual deve ser o valor de m para que os vetores
→u=(3,m,−2),→v=(1,−1,0)→w=(2,−1,2)u→=(3,m,−2),v→=(1,−1,0)w→=(2,−1,2)
sejam coplanares?
		
	
	m= 2
	
	m=-2
	 
	m = -4
	
	m = 4
	
	m= -8
	
	Explicação:
Para que os vetores sejam coplanares devemos ter o produto miso nulo. Assim:
                       3    m    -2
(u,v,w)=0 =>   1     -1     0   =  0   => -6+2-4-2m=0 => m=-4
                        2    -1      2
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sendo o módulo do vetorv u = 2 e o módulo do vetor v = 3, e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, calcular o produto vetorial u.v.
		
	
	-1
	 
	3
	 
	-3
	
	-2
	
	1
	
	Explicação:
u.v = módulo de u . módulo de v . cos 120° = (2).(3).cos 120° = -3.
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = 3i - 5j + 8k e v= 4i - 2j -k, calcular o produto escalar u.v.
		
	
	22
	
	13
	 
	14
	 
	12
	
	18
	
	Explicação: produto escalar u.v = 3.(4) - 5.(-2) + 8.(-1) = 12 + 10 -8 = 14.
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= -2i -3j -2k e v= -i -2j-xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-3
	 
	-4
	
	3
	 
	4
	
	6
	
	Explicação:
Cálculo se dá pelo produto escalar.Assim:
u=(-2,-3,-2)
v=(-1,-2,-x) => u.v=0 => (-2,-3,-2).(-1,-2,-x)=0 => 2+6+2x=0 => 2x=-8 => x=-4
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sejam os vetores u = (3, 2, 1) e v = (-1, -4, -1), calcular o produto escalar (u + v).(2u - v).
		
	 
	-2
	
	1
	
	0
	 
	2
	
	-1
	
	Explicação:
Observe que:
2u-v=(6,4,2)-(-1,-4,-1)=(7.8.3)
u+v=(2,-2,0) 
Então: (u+v).(2u-v) = (7,8,3) . (2,-2,0) = 7.2+8.(-2)+3.0 = 14 - 16 + 0 = -2
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Qual o angulo formado entre os vetores u = (1,0) e v=(0,3)?
		
	
	0º
	
	120º
	
	30º
	 
	90º
	 
	60º
	
	Explicação:
|u.v| = |u|.|v|.cosØ, onde Ø é o menor angulo formado pelos vetores u e v
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u ( 1, -2) e v ( 3, -x ), qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais? 
		
	 
	-3/2
	
	3/2
	
	-4/3
	
	2
	
	4/3
	
	Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Você deve ter u.v=0 => 3 +2x=0 => x=-3/2
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= -i -3j -2k e v= -4i -2j+xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	4
	
	-5
	
	-4
	 
	5
	
	3
	
	Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim:
u.v=0 => (-1,-3,-2).(-4,-2,x)=0 => 4+6-2x=0 => x=5
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Sendo o módulo do vetor  u = 2 , o módulo do vetor v = 3 e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, calcular o módulo de u - v ao quadrado.
		
	
	raiz quadrada de 18
	
	16
	 
	raiz quadrada de 19
	
	18
	
	19
	
	Explicação:
u - v ao quadrado = o módulo de u ao quadrado - 2.u.v + módulo de v ao quadrado. = 4 - 2.(-3) + 9 = 19 = = raiz quadrada de 19.
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Qual deve ser o valor de m para que os vetores
→u=(3,m,−2),→v=(1,−1,0)→w=(2,−1,2)u→=(3,m,−2),v→=(1,−1,0)w→=(2,−1,2)
sejam coplanares?
		
	
	m= -8
	 
	m = -4
	
	m = 4
	
	m= 2
	
	m=-2
	
	Explicação:
Para que os vetores sejam coplanares devemos ter o produto miso nulo. Assim:
                       3    m    -2
(u,v,w)=0 =>   1     -1     0   =  0   => -6+2-4-2m=0 => m=-4
                        2    -1      2
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Um reservatório em formato de paralelepípedo é determinado pelos seguintes vetores:
 u=(1; -1; 2) v=(2;0;1) w=(-1;3;0)   com unidades dadas em metros. Sabendo que cada metro cúbico de volume equivale a 1000 litros, qual é a capacidade do reservatório?
		
	 
	10000 litros.
	
	1000 litros.
	
	5000 litros.
	 
	500 litros.
	
	50000 litros.
	
	Explicação: Calcular o produto misto e depois o módulo do resultado do produto misto para encontra o volume.
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores a (-3,0,2) e b (3,1,-4), calcule o produto escalar a.b
		
	
	-20
	
	-15
	 
	19
	 
	-17
	
	-19
	
	Explicação:
a.b = xa.xb + ya.yb + za.zb
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= -i -3j -2k e v= -4i -2j+xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	
	-5
	 
	5
	 
	3
	
	-4
	
	4
	
	Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim:
u.v=0 => (-1,-3,-2).(-4,-2,x)=0 => 4+6-2x=0 => x=5
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dado os vetores a (0,3,-1) e b (4,1,-3), calcule o produto escalar a.b
		
	
	10
	 
	6
	
	9
	
	11
	 
	3
	
	Explicação:
cosØ = a.b / (|a|.|b|) onde Ø é o ângulo formado entre os vetores a e b
a.b = xa.xb + ya.yb + za.zb
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sendo o módulo do vetor v u = 2 e o módulo do vetor v = 3, e o ângulo entre os vetores u e v igual à 120°, calcular o produto vetorial u.v.
		
	
	3
	
	1
	 
	-3
	
	-2
	
	-1
	
	Explicação:
u.v = módulo de u . módulo de v . cos 120° = (2).(3).cos 120° = -3.
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u= i + 3j+ 2k e v= 4i +2j+xk, qual é  o valor de x , sabendo que os vetores são ortogonais?
		
	 
	-5
	
	4
	
	-4
	 
	5
	
	2
	
	Explicação:
O Produto escalar entre os vetores tem de ser igual a zero. Assim:
u.v = 0 => (1.3,2) . (4.2.x) = 0 => 4+6+2x = 0 => 2x = -10 => x = -5.
	
	
AULA 5: RETA
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Os pontos a(a,2) e B(0,b) pertencem a reta (r): 2x+y-6=0. Qual a distÂncia entre os pontos A e B?
		
	
	V5
	
	4V5
	
	3V5
	 
	2V5
	
	8V5
	
	Explicação:
A pertence a r -> 2a+2-6=0 ->a=2 -> A(2,2)
B pertence a r -> 2.0+b-6=0 -> b=6 -> B(0,6)
Logo: d(A,B) = V(0-2)² + (6-2)²  =  V4 + 16 = V20 = 2V5
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A equação geral da reta que passa pelos pontos A(2, 3/4) e B(1/3, -5) é dada por:
		
	
	-69x + 21y - 122 = 0
	
	-70x + 19y + 123 = 0
 
	
	70x - 21y - 124 = 0
 
	
	-68x + 19y + 122 = 0
 
	 
	-69x + 20y + 123 = 0    
 
	
	Explicação:
Na equação genérica da reta no R² (ax + by + c = 0) substituir as coordenadas dos dois pontos dados da reta. Resolver o sistema formado (2 equações para as 2 incógnitas - a e b) e determinar a equação da reta pedida
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	 
	X= -2-t y = t z = 1+t
	
	X= -2+t y = t z = -1+t
	
	X= 2+t y = t z = 1+t
	
	X= -2+t y = -t z = 1+t
	 
	X= -2+t y = t z = 1+t
	
	Explicação:
Devemos ter: (x,y,z)=(-2,0,1) + t(1,1,1)
Daí, as equações paramétricas da reta serão:  x=-2+t   ,   y=t    ,    z=1+t.
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determinar o valor de m para que as retas  r:  y=mx-5   e    s: x=-2+t       sejam ortogonais.
                                                                         z=-3x                 y=4-2t
                                                                                                   z=5t
		
	
	-9/2
	
	7/2
	
	-11/2
	 
	13/2
	 
	-15/2
	
	Explicação:
Os vetores diretores das retas r e s são respectivamente  U=(1,m,-3) e v=(1,-2,5).
Para que as retas sejam ortogonais devemos ter:  u.v= 0, daí:
(1,m,-3).(1,-2,5)=0 => 1-2m-15=0 => m=-15/2
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determinar as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(2,0,5) e tem a direção do vetor v=(-4,-1,3).
		
	
	x=-4+2t
y=-1
z=3+5t
	
	x=-4+t
y=-2-t
z=3-5t
	
	x=t
y=2y
z=5+3t
	 
	x=2-4t
y=-t
z=5+3t
	
	x=2t
y=-3t
z=5t
	
	Explicação:
Temos que as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y",z") basta substituir os valores para obtermos: x=2-4t
                 y=-t
                z=5+3t
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine as equações simétricas da reta r que passa pelos pontos A(5,-2,3) e tem a direção do vetor v=(4,-4,-7).
		
	 
	x+5 / -4 = y-2 / 4 = z+3 /7
	 
	X-5 /4 = Y+2 /-4 = Z-3 / -7
	
	x+4 / -5 = y-4 / 2 = z-7 / -3
	
	x-5 / -4 = y-2 /-4 = z+3 / 7
	
	x-4 / 5 = y+4 / -2 = z+7 / 3
	
	Explicação:
As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(x',y',z') e tem a direção do vetor v=(x",y"z") é dada por: x-x' / x" =  y-y' / y" = z-z' / z". Basta então substituir os valores dados.
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	
	X= -1+t y = 2 z = t
	 
	X= -1-t y = -2 z = t
	
	X= 1+t y = -2 z = t
	 
	X= -1+t y = -2 z = t
	
	X= -1+t y= -2 z = -t
	
	Explicação:
Temos que: (x,y,z) = (-1,-2,0) + t(1,0,1) => x=-1+t
                                                                    y=-2
                                                                    z=t
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (5,2, 0 ) que tem a direção do vetor (2,2, 2 )
		
	 
	x= 5+2t y=2+2t z=2t
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2+2t
	
	x= 5 y=2+2t z=2+2t
	
	x= 5+2t y=2+2t z=2
	
	x= 5+2t y=2 z=2+2t
	
	Explicação:
Temos :
(x,y,z) = (5,2,0) + t(2,2,2)  => x=5+2t , y=2+2t e z=2t
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (4,-2, 0 )  que tem a direção do vetor (1, 0, 1) 
		
	
	x=4+t y=-2 z=2t
	
	x=4-t y=-2 z=t
	
	x=4+2t y=-2 z=t
	 
	x=4+t y=-2 z=t
	
	x=4+t y=-2t z=t
	
	
Explicação:
Uma reta que passa pelo ponto A = (xa , ya, za) e tem a direção do vetor B = (xb , yb, zb) terá as seguintes equações paramétricas:
x = xa + txb; y = ya + tyb; z = za + tzb
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (1,2, -1 )  que tem a direção do vetor (3,0, 0 )
		
	 
	x= 1+3t y=2t z=-1
	
	x= 1+3t y=2 z=t
	 
	x= 1+3t y=2 z=-1
	
	x= 1+3t y=2 z=1
	
	x= 3t y=2 z=-1
	
	Explicação:
Devemos ter:
(x,y,z)=(1,2,-1) + t(3,0,0) => x=1+3t 
                                             y=2
                                             z=-1
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-2,-2, 0 ) que tem a direção do vetor (1, 0, 1)
		
	
	X= -2+t y = 2 z = t
	 
	X= -2+t y = -2 z = t
	
	X= -2+t y = -2 z = -t
	
	X= 2+t y = 2 z = t
	
	X= 2+t y = -2 z = t
	
	Explicação:
Os pontos são coeficiente de x é o vetor coeficiente de t.
Temos que:  (x,y,z) = (-2,-2,0) + t(1,0,1) 
Daí as equações paramétricas serão:  x=-2+t , y-2 ,  z=t 
	
	
	 
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 3 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	
	X= -1+t y = -t z = 3+t
	
	X= -1+t y = t z = 3-t
	 
	X= -1+t y = t z = 3+t
	
	X= 1+t y = -t z = 3+t
	
	X= 1+t y = t z = 3+t
	
	Explicação:
Temos que: (x,y,z)=(-1,0,3) + t(1,1,1).
Daí, as equações paramétricas da reta serão:  x=-1+t  ,  y=t   e   z=3+t.
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (-1,0, 1 ) que tem a direção do vetor (1, 1, 1)
		
	
	X= -1+t y = t z = -1+t
	
	X= -1+t y = t z = 1-t
	
	X= 1+t y = t z = 1+t
	 
	X= -1+t y = t z = 1+t
	
	X= -1+t y = -t z = 1+t
	
	Explicação:
Temos que: (x,y,z) = (-1,0,1) + t(1,1,1) => x=-1+t , y=t e  z=1+t
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Podemos afirmar que a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(5,2,3) é:
		
	
	1
	
	5
	 
	4
	
	2
	
	3
	
	Explicação:
4
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação  paramétrica da reta que passa pelo ponto (-5,-2, 1 )  que tem a direção do vetor (1, 0, 0)
		
	
	x= -5 +t y=-2 z=0
	
	x= -5 +2t y=-2 z=1
	
	x= -5 +t y=-2 z=1+t
	
	x= -5 +t y=0 z=1
	 
	x= -5 +t y=-2 z=1
	
	Explicação: Substituir cada ponto e cada componente do vetor nos seus respectivos lugares
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	podemos afirmar que a distância dos pontos A=( -2,0,1) e B=(1,-3,2) é:
		
	
	5
	
	4
	 
	√1919
	
	√1818
	
	3
	
	Explicação:
 √1919
	
	
AULA 6: PLANO
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ?
 
		
	
	-x + 2 y + 6 z - 35 = 0
	
	-x - 2 y + 6 z - 35 = 0
	
	-x +2 y - 6 z - 35 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z+ 35 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 35 = 0
	
	Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (-4) ] = 0 -> -x - 2 y - 6 z - 35 = 0
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,-2,4) sejam coplanares?
		
	
	m=4
	
	m=3/2
	
	m=3/4
	 
	m=3
	 
	m=2
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 ) é igual a:
		
	
	48
	 
	32
	
	34
	
	0
	
	-28
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O Módulo do vetor VAB, sendo A = (-1, 3) e B = (1; 3) é:
		
	
	4
	
	2,83
	
	3,52
	 
	0
	 
	2
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, 0) e é ortogonal
ao (-1,-2,-6) ?
		
	
	x - 2 y - 6 z - 11 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z + 11 = 0
	
	x - 2 y - 6 z +11 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 11 = 0
	
	-x + 2 y - 6 z - 11 = 0
	
	Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z-11 = 0
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 2x + 5y - 10z - 20 = 0. Podemos afirmar que:
		
	
	P( 5, 0, 0 )
	
	P( 0, 4, 0 )
	 
	P( 10, 0, 0 )
	
	P( 0, 0, 2 )
	 
	P( 0, 0, -2 )
	
	Explicação:
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-20=0 -> x = 10
	
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	O  ângulo formado entre os planos  π1:2x−y+z−1=0π1:2x−y+z−1=0 e π2:x+z+3=0π2:x+z+3=0 mede: 
		
	
	180°
	 
	90°
	
	60°
	 
	30°
	
	45°
	
	Explicação:
Temos que:  π1:2x−y+z−1=0   e   π2:x+z+3=0
Então:π1=(2,-1,1)
              π2=(1,0,1) . Daí: π1.π2  = 2+1=3
!π1! = V2²+(-1)²+1² = V6
!π2!  = V1²+0²+1¹ =  V2
Daí: cos A = 3 / V6.V2 = 3 / V12 =  3 / 2V3  =  3V3 / 6  = V3 / 2  =>  A=30° 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Determinar o vetor x que satisfaz as seguintes condições: x (esc) (3i+2j)=6 e x (vet) (2i+3k)=2i. Seja x=x1i+x2j+x3k.
		
	
	x1=0, x2=-3 e x3=7/2
	 
	x1=1, x2=3 e x3=-7/2
	
	x1=3, x2=-7/2 e x3=0
	 
	x1=0, x2=3 e x3=-7/2
	
	x1=-7/2, x2=0 e x3=3
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	O produto misto entre os vetores u = ( 1, 2, 3 ), v = ( 2, 5, 0 ) e w = ( -2, 0, 2 ) é igual a:
		
	
	48
	
	0
	 
	32
	
	-28
	
	34
	
	
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Determinar o vetor x que satisfaz as seguintes condições: x (esc) (3i+2j)=6 e x (vet) (2i+3k)=2i. Seja x=x1i+x2j+x3k.
		
	
	x1=-7/2, x2=0 e x3=3
	
	x1=1, x2=3 e x3=-7/2
	
	x1=0, x2=-3 e x3=7/2
	
	x1=3, x2=-7/2 e x3=0
	 
	x1=0, x2=3 e x3=-7/2
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, -4, 0) e é ortogonal
ao (-1,-2,-6) ?
		
	
	-x - 2 y - 6 z + 11 = 0
	
	-x + 2 y - 6 z - 11 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 11 = 0
	
	x - 2 y - 6 z +11 = 0
	
	x - 2 y - 6 z - 11 = 0
	
	Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z-11 = 0
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Se o ponto P do eixo das abscissas pertence ao plano determinado pela equação: 2x + 5y - 10z - 20 = 0. Podemos afirmar que:
		
	
	P( 5, 0, 0 )
	
	P( 0, 0, 2 )
	 
	P( 10, 0, 0 )
	
	P( 0, 0, -2 )
	
	P( 0, 4, 0 )
	
	Explicação:
Se P pertence eixo das abscissas, P = (x,0,0). Substituindo na equação do plano, 2x-20=0 -> x = 10
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (0, 1, 0) e é ortogonal 
ao (-1,-2,-6) 
 
		
	
	x - 2 y - 6 z +2 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z -2 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z +2 = 0
	
	-x - 2 y + 6 z +2 = 0
	
	x - 2 y - 6 z -2 = 0
	
	Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (0)+ 2 (1) +6 (0) ] = 0 -> -x-2y-6z+2 = 0
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere o vetor u = (0,4,3). O módulo de tal vetor é igual a:
		
	 
	4
	
	3
	
	2
	
	1
	 
	5
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	A equação geral do plano que passa pelo ponto P (1, 4, 0 ), sendo n = ( 2, -1, 3 ) um vetor normal ao plano é:
		
	 
	2x - y + 3z - 6 = 0
	
	3x - y + 2z + 2 = 0
	
	2x - y + 3z - 2 = 0
	
	3x + y + 2z + 2 = 0
	 
	2x - y + 3z + 2 = 0
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, 0) e é ortogonal ao (1,-2,-6) ?
 
		
	
	x - 2 y + 6 z - 5 = 0
	 
	x - 2 y - 6 z - 5 = 0
	 
	x - 2 y - 6 z + 5 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z - 5 = 0
	
	x - 2 y + 6 z - 5 = 0
	
	Explicação:
1x - 2y - 5z - [+ 1 (3)+ 2 (-4) +6 (0) ] = 0 -> x-2y-6z+5 = 01a Questão
	
	
	
	
	Encontre a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(-1,0,1), B(2,-2,1) e C(0,1,-2).
		
	
	6x-9y-z+2=0
	
	9x+6y+5z=0
	 
	5x+6y+9z+1=0
	 
	6x+9y+5z+1=0
	
	6x+2y+5z+3=0
	
	Explicação:
O vetor determinado pelos pontos A(-1,0,1), B(2,-2,1) e C(0,1,-2) será o mesmo determinado pelos vetores AP, AB e AC, onde P = (x,y,z) é ponto qualquer do plano, logo
∣∣
∣∣x+1yz−13−2011−3∣∣
∣∣=0|x+1yz−13−2011−3|=0
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Qual é  a equação do plano que contém o ponto A (3, 4, -4) e é ortogonal ao vetor (-1,-2,-6) ?
 
		
	
	=x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	-x - 2 y + 6 z - 13 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	-x + 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	-x - 2 y - 6 z + 13 = 0
	
	Explicação:
-1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (3)+ 2 (4) +6 (-4) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 13 = 0
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Qual é a equação do plano que contém o ponto A (-3, 0, 0) e é ortogonal
ao (-1,-2,-6) ?
		
	
	x - 2 y - 6 z - 3 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z + 3 = 0
	
	-x - 2 y + 6 z - 3 = 0
	
	x - 2 y - 6 z + 3 = 0
	 
	-x - 2 y - 6 z - 3 = 0
	
	
Explicação: -1 x - 2 y - 6 z + [+ 1 (-3)+ 2 (0) +6 (0) ] = 0 -x - 2 y - 6 z - 3 = 0
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	A equação do plano que contém os pontos A(0,1,2 ) B( 1,-1,4) e C(2,2,2) está na opção
		
	 
	x + y + 2z - 1 =0
	
	3x + 7y - 5z -4 =0
	
	2x + 2j + 2k =0
	 
	-2x + 2y + 5z -12 = 0
	
	2x + 8y =2
	
	Explicação:
produto vetorial de dois vetores quaisquer de um plano determina um vetor normal a esse plano. Depois substituir um dos pontos para achar a variavel independente desse plano.
LEMBRAR: o vetor v = (a,b,c) é ortogonal ao plano de equação ax + by + cz + d = 0
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	 Qual a equação do plano pi  que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e tem n=(3,2,-4) como vetor normal.
 
		
	
	2x+y-3z-8=0
	
	2x-y+3z-8=0
	 
	3x+2y-4z+8=0
	 
	2x-y+3z+8=0
	
	 3x+2y-4z-8=0
	
	Explicação: Determinar a equação geral do plano usando um ponto e o vetor normal.
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Qual deve ser o valor de m para que os vetores a=(m,2,-1), b=(1,-1,3) e c=(0,-2,4) sejam coplanares?
		
	
	m=2
	
	m=4
	 
	m=3
	
	m=3/4
	
	m=3/2
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Qual o volume do cubo determinado pelos vetores i, j e k?
		
	
	3
	 
	1
	
	-1
	
	0
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao plano 2:x3=0.           
		
	
	x=3x=3
	
	x=103x=103
	
	x=710x=710
	 
	x=35x=35
	 
	x=310x=310
	
	Explicação:
Plano paralelo a 2: x + k = 0
Reta AB
x = y = z = t
AULA 7: DISTÂNCIAS
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Num dado sistema cartesiano os pontos A(0,5), B (3,-2) e C(-3,-2) definem uma região geométrica. Podemos afirmar que a figura tem o formato de:
		
	
	Um triângulo escaleno
	
	Um triângulo equilátero
	 
	Um triângulo isósceles
	 
	Um triângulo retângulo
	
	Um triângulo escaleno reto
	
	Explicação:
Vetores no plano - distância entre pontos no plano.
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Na elaboração de um projeto, alunos de engenharia construíram um diagrama de forças que atuam sobre o objeto em análise.                  Os alunos identificaram a atuação de cinco forças distintas, representadas vetorialmente por 𝐹1 = (√2, −√2), 𝐹2  = (−√3, √3), 𝐹3  = (0 , 3), 𝐹4  = (2, −√3) e 𝐹5  = (1, −2). O vetor com maior intensidade é:
		
	
	F1
	
	F4
	
	F5
	 
	F3
	
	F2
	
	Explicação:
F3
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O centro e o raio da circunferência dada pela equação x² + y² - 8x - 6y + 9 = 0 são respectivamente:
		
	
	Centro C(4,3) e raio 16
	 
	Centro C(4,3) e raio 3
	 
	Centro C(4,3) e raio 4
	
	Centro C(-4, -3) e raio 3
	
	Centro C(-4, -3) e raio 4
	
	Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a:
		
	 
	0
	
	4
	
	3
	
	2
	
	1
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela equação geral x² + y² - 2x - 8y + 12 = 0.
		
	
	o centro é (4, 1) e o raio é √5.
	 
	o centro é (5, 1) e o raio é 2.
	 
	o centro é (1, 4) e o raio é √5.
	
	o centro é (1, 5) e o raio é 2.
	
	o centro é (5, 4) e o raio é 1.
	
	Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	 
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
 
		
	
	AM=2AM=2
	
	AM=√2AM=2
	 
	AM=2√2AM=22
	
	AM=3√2AM=32
	
	AM=2√3AM=23
	
	Explicação:
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4)
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2)
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2)?
		
	 
	(x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5
	
	(x−4)2+(y−3)2=5(x−4)2+(y−3)2=5
	 
	(x−4)2+(y−3)2=sqrt5(x−4)2+(y−3)2=sqrt5
	
	(x−3)2+(y−4)2=sqrt5(x−3)2+(y−4)2=sqrt5
	
	(x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5
	
	Explicação:
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Identifique o centro e o raio do círculo representada pela equação geral x² + y² - 8x - 4y + 11 = 0.
		
	
	o centro é (3, 2) e o raio é 4.
	 
	o centro é (4, 2) e o raio é 2.
	 
	o centro é (4, 2) e o raio é 3.
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 3.
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 2.
	
	
Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
Interseção da reta AB com 1: 2t+5t+3t+3 = 0 -> 10t = -3 -> t = -0,3
x - 0,3 = 0 -> x = 3/10
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = ( 1,2,3) e v = (m-3, 2,-3), podemos afirmar que
o valor de m para que o produto escalar u.v seja igual a zero , é:
		
	
	7
	
	4
	 
	8
	 
	5
	
	6
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u = (2x-1 , 3) e v = ( 3, -4) , determine o valor de x para que u e v sejam perpendiculares.
		
	 
	2,5
	 
	4
	
	4,5
	
	3,5
	
	3
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o módulo compreendido entre:
		
	
	21 cm e 26 cm
	
	25 cm e 40 cm
	 
	14 cm e 30 cm
	
	5 cm e 20 cm
	
	8 cm e 22 cm
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja (x−1)²+(y−3)²=18(x−1)²+(y−3)²=18 a equação reduzida de uma circunferência. A razão entre a área desta circunferência e a área do quadrado inscrito nesta circunferência, nesta ordem, é:
		
	
	(C) 2π/3
	 
	(B) π/2
	
	(E) 3π
	
	(D) 3π/2
	
	(A) π
	
	Explicação:
Da equação temos que r²=18r²=18, a área da circunferência é: A=πA=πr² = 18ππ.
Quadrado circunscrito, por Pitágoras: (2r)²=x²+x²(2r)²=x²+x², portanto, x=6x=6, logo a área do quadrado é 36. A razão será igual a: 18ππ/36 = ππ/2.
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Encontre o centro e o raio da circunferência cuja equação é: x^2 + y^2 - 2x - 4y = 20.
		
	
	r = 4 e C(-2,-4)
	 
	r = 4 e C(2,4)
	
	r = 3 e C(0,1)
	
	r = 4 e C(-1, -2)
	 
	r = 5 e C(1,2)
	
	Explicação:
Da expressão dada, completa-se o quadrado : (x−1)²−1+(y−2)²−4=20(x−1)²−1+(y−2)²−4=20
 (x−1)²+(y−2)²=25(x−1)²+(y−2)²=25
Logo, da expressão acima, teremos:
C(1,2);r=5C(1,2);r=5 
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine o lugar geométricodos pontos P(x,y) do plano dos quais as tangentes traçadas do ponto à circunferência (x-3)2 + (y-2)2 =16 têm comprimento 3.
		
	 
	uma circunferência de raio 5
	
	uma elipse de centro na origem
	
	umpar de retas paralelas
	 
	uma parábola de vértice (3,2)
	
	um par de retas concorrentes.
	
	Explicação:
O raio da circunferência dada e a tangente formaram um trianguloretangulo de catetos 3 e 4, e a distancia dos pontos ao centro da circunferencia será a hipotenusa desse triangulo
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Num dado sistema cartesiano os pontos A(0,5), B (3,-2) e C(-3,-2) definem uma região geométrica. Podemos afirmar que a figura tem o formato de:
		
	
	Um triângulo escaleno reto
	
	Um triângulo equilátero
	 
	Um triângulo isósceles
	
	Um triângulo escaleno
	
	Um triângulo retângulo
	
	Explicação:
Vetores no plano - distância entre pontos no plano.
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Qual a equação da circunferência de centro C(3, 4) e que passa pelo ponto P(4, 2)?
		
	
	(x−4)2+(y−3)2=5(x−4)2+(y−3)2=5
	
	(x + 3)^2 +(y + 4)^2 = 5
	 
	(x−3)2+(y−4)2=5(x−3)2+(y−4)2=5
	 
	(x−3)2+(y−4)2=sqrt5(x−3)2+(y−4)2=sqrt5
	
	(x−4)2+(y−3)2=sqrt5(x−4)2+(y−3)2=sqrt5
	
	Explicação:
(x-xc)² + (y-yc)² = |PC|² 
	
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Identifique o centro e o raio da circunferência representada pela equação geral x² + y² - 2x - 8y + 12 = 0.
		
	
	o centro é (4, 1) e o raio é √5.
	
	o centro é (5, 4) e o raio é 1.
	
	o centro é (1, 5) e o raio é 2.
	 
	o centro é (1, 4) e o raio é √5.
	
	o centro é (5, 1) e o raio é 2.
	
	Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
 
		
	
	AM=3√2AM=32
	 
	AM=2√3AM=23
	
	AM=√2AM=2
	
	AM=2AM=2
	 
	AM=2√2AM=22
	
	Explicação:
No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(-2,3) e C(0,5), sendo M o ponto médio do lado BC. Podemos  afirmar  que o comprimento da mediana AM é:
M = ((0 - 2)/ 2, (5 + 3)/ 2) = (-1, 4)
CAM = raiz((-1 - 1)² + (4 - 2)²) = 2raiz(2)
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	O centro e o raio da circunferência dada pela equação x² + y² - 8x - 6y + 9 = 0 são respectivamente:
		
	
	Centro C(-4, -3) e raio 3
	 
	Centro C(4,3) e raio 4
	
	Centro C(-4, -3) e raio 4
	 
	Centro C(4,3) e raio 3
	
	Centro C(4,3) e raio 16
	
	Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Seja u=(1,0,1) e v=(0,1,0). O produto escalar u.v é igual a:
		
	
	2
	 
	0
	
	4
	
	1
	
	3
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Na elaboração de um projeto, alunos de engenharia construíram um diagrama de forças que atuam sobre o objeto em análise.                  Os alunos identificaram a atuação de cinco forças distintas, representadas vetorialmente por 𝐹1 = (√2, −√2), 𝐹2  = (−√3, √3), 𝐹3  = (0 , 3), 𝐹4  = (2, −√3) e 𝐹5  = (1, −2). O vetor com maior intensidade é:
		
	 
	F3
	
	F5
	
	F2
	
	F4
	
	F1
	
	Explicação:
F3
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Identifique o centro e o raio do círculo representada pela equação geral x² + y² - 8x - 4y + 11 = 0.
		
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 3.
	 
	o centro é (4, 2) e o raio é 3.
	
	o centro é (4, 2) e o raio é 2.
	
	o centro é (3, 2) e o raio é 4.
	
	o centro é (4, 3) e o raio é 2.
	
	Explicação:
Em uma circunferência de equação x² + y² + Ax + By + C = 0, temos
C = (-A/2; -B/2)
r = raiz(A²/4 + B²/4 - C)
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Em uma cidade histórica no interior de Minas Gerais, a prefeitura utiliza o sistema de coordenadas cartesianas para representar no mapa do município, a localização dos principais pontos turísticos. Dois turistas italianos se encontraram no marco zero da cidade, representado pelo ponto A(0,0) e cada um deles decidiu ir para um ponto turístico diferente. Um deles foi para uma Igreja muito antiga construída na época do Império, que é representada no mapa pelo ponto B de coordenadas cartesianas (3,2). Já o outro turista foi para o museu dos Inconfidentes que é representado no mapa pelo ponto C de coordenadas cartesianas (4,3). De acordo com as informações acima, qual das alternativas abaixo representa, respectivamente os vetores AB e BC?
		
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i - 1j
	 
	AB = 3i - 2j   e   BC = 4i - 3j
	 
	AB = 3i + 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	AB = 3i - 2j   e   BC = 1i + 1j
	
	AB = 3i + 2j   e   BC = 4i + 3j
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Dados dois vetores de módulos 8 cm e 22 cm, a resultante entre eles terá o módulo compreendido entre:
		
	
	21 cm e 26 cm
	 
	14 cm e 30 cm
	
	25 cm e 40 cm
	
	5 cm e 20 cm
	
	8 cm e 22 cm
	
	
	
AULA 8: CÔNICAS – PARABOLAS
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em .
		
	
	y = 4x²
	
	y = -x2 / 6 - 97 / 54
	
	y = -x2 / 6 + 4x / 9
	
	y = -x2 / 6
	 
	y = -x2 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54
	
	Explicação:
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar:
		
	
	Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário.
	
	O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens diferentes.
	
	O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
	
	Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
	 
	O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗.
	
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e d: x= -2
		
	
	x = y2 / 2
	
	x = y2 / 32
	
	x = y2 / 16
	
	x = y2 / 4
	 
	x = y2 / 8
	
	Explicação:
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação das parábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0
		
	 
	x = (-y2 + 4y + 3) / 2
	
	x = 4
	
	x = y2
	
	x = y
	
	x = y2 + 3y + 4 
	
	Explicação:
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, temos d(X,F)=d(X,P)
=
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, obtemos:
x2-6x+9+y2-4y+4=x2-8x+16
ou seja, 2x=3-y2+4y de onde x= 
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2
		
	
	(13/2, 8)
	
	(13, -9)
	
	(13/2, -8)
	 
	(13/2, -9)
	
	(13,9)
	
	Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0).
		
	
	(1, 3, -1)
	 
	(-2, 1, 1)
	
	(-1, 2, 1)
	
	(-1, 3, 1)
	
	(1, -4, 2)
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Ache a equação cartesiana da parábola que tem diretriz no eixo x e vértice em .
		
	
	y = 4x²
	 
	y = -x2 / 6 + 4x / 9 - 97 / 54
	
	y = -x2 / 6 + 4x / 9
	
	y = -x2 / 6 - 97 / 54
	
	y = -x2 / 6
	
	Explicação:
A parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Sobre os segmentos orientados pode-se afirmar:
		
	
	O módulo, a direção e o sentido de um vetor v ⃗ não é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes.
	
	Os vetores classificados como coplanares pertencem a planos diferentes.
	
	Mesmo sendo um vetor nulo, seu módulo é igual ao vetor unitário.
	 
	O vetor w ⃗, quando multiplicado por um escalar (α), o vetor resultante é paralelo a w ⃗.
	
	O ângulo entre os vetores não-nulos u ⃗ e v ⃗., é o ângulo Ɵ formado por duas semi-retas de origens diferentes.
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Dedução da equação da parábola no plano cartesiano num caso especial: F = (2,0) e d: x= -2
		
	
	x = y2 / 32
	
	x = y2 / 4
	 
	x = y2 / 8
	
	x = y2 / 16
	
	x = y2 / 2
	
	Explicação:
Parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine a equação dasparábola com foco em F = (3 , 2) e diretriz r : x - 4 = 0
		
	
	x = y
	 
	x = (-y2 + 4y + 3) / 2
	
	x = 4
	
	x = y2
	
	x = y2 + 3y + 4 
	
	Explicação:
Utilizando a definição de parábola como lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância até a diretriz, temos d(X,F)=d(X,P)
=
onde, elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, obtemos:
x2-6x+9+y2-4y+4=x2-8x+16
ou seja, 2x=3-y2+4y de onde x= 
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dados os vetores u=2i -3j , v=i-j e w =-2i+j , determine 3u-v/2-w /2
		
	
	(13,9)
	
	(13/2, 8)
	
	(13/2, -8)
	
	(13, -9)
	 
	(13/2, -9)
	
	Explicação: Substituir cada vetor na equação oferecida
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Determine as coordenadas do ponto médio do segmento AB, sendo A = (-1, 4, 2) e B = (-3, -2, 0).
		
	
	(-1, 2, 1)
	 
	(-2, 1, 1)
	
	(1, 3, -1)
	
	(1, -4, 2)
	
	(-1, 3, 1)
AULA 9 : CÕNICAS- ELIPSE
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de a, sabendo que os vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→+3j→+4k→ e → v=→i −3→j+ a→k →v=i→ -3j→+ ak→ são ortogonais
		
	
	2/4
	 
	5
	 
	7/4
	
	1
	
	2
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Chama-se Produto Escalar de dois vetores   →uu→ = x1→ii→ + y1→jj→+ z1→kk→  e  →vv→ = x2→ii→ + y2→jj→+ z2→kk→  denotado por  →uu→.→vv→ :
		
	
	ao vetor  →ww→  dado por  →ww→ = (x1 + x2)→ii→ + (y1 + y2 )→jj→ + (z1 + z2)→kk→
	
	ao número real k, dado por:  k = x+1x−1x+1x-1 = y+1y−1y+1y-1= z+1z−1z+1z-1
	
	ao número real k dado por  k = √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
	 
	ao número real k, dado por :  k = x1x2 + y1y2  + z1z2
	 
	ao vetor  →ww→  dado por  →ww→ = x1x2→ii→  + y1y2 →jj→  + z1z2 →kk→
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é  24. Determine a distância focal dessa elipse.
		
	
	22
	
	11
	 
	12/13
	
	13/12
	 
	10
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P.
		
	 
	1
	
	7
	
	3
	 
	6
	
	5
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a:
		
	
	-15
	
	-9
	 
	9
	 
	15
	
	NRA
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Dada a equação de uma Elipse a seguir
25x2 + 16y2 + 288y + 896 = 0
As medidas dos seus eixos Maior e Menor são , respectivamente:
 
		
	
	49 e 25
	
	20 e 10
	 
	25 e 16
	
	20 e 16
	 
	10 e 8
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que a distância focal de uma elipse é 16 e o eixo menor é igual a 12, qual o comprimento do eixo maior?
		
	 
	20
	 
	18
	
	10
	
	16
	
	12
	
	Explicação:
a² = b² + c²
a² = 16² + 12²
a = 20
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	(ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta.
		
	
	A distância focal é 4.
	
	Seu centro é (−2,1).
	 
	A medida do seu eixo menor é 9.
	
	A medida do seu eixo maior é 25.
	 
	Sua excentricidade é 0,8.
	
	Explicação:
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0
9x² - 36x + 25y² + 50y − 164 = 0
9(x² - 4x) + 25(y² + 2y) − 164 = 0
9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) − 164 - 9.4 - 25.1= 0
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 164+36+25
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225
[(x - 2)²] / 25 + [(y + 1)²] / 9 = 1
a² = 25 -> a = 5
b² = 9 -> b = 3
c² = 25 - 9
c = 4
e = c/ a = 4/ 5 = 0,8
	
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	(ESPCEX 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0, assinale a alternativa correta.
		
	
	A medida do seu eixo maior é 25.
	 
	A medida do seu eixo menor é 9.
	
	Seu centro é (−2,1).
	 
	Sua excentricidade é 0,8.
	
	A distância focal é 4.
	
	Explicação:
9x² + 25y² − 36x + 50y − 164 = 0
9x² - 36x + 25y² + 50y − 164 = 0
9(x² - 4x) + 25(y² + 2y) − 164 = 0
9(x² - 4x + 4) + 25(y² + 2y + 1) − 164 - 9.4 - 25.1= 0
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 164+36+25
9(x - 2)² + 25(y + 1)² = 225
[(x - 2)²] / 25 + [(y + 1)²] / 9 = 1
a² = 25 -> a = 5
b² = 9 -> b = 3
c² = 25 - 9
c = 4
e = c/ a = 4/ 5 = 0,8
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	P(0, 1, k), Q(2, 2k, k - 1) e R(- 1, 3, 1), determinar o valor inteiro de k de tal modo que o triângulo PQR seja retângulo em P.
		
	
	3
	 
	1
	
	7
	
	5
	
	6
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine o valor de a, sabendo que os vetores →u=2→i+3→j+4→ku→=2i→+3j→+4k→ e → v=→i −3→j+ a→k →v=i→ -3j→+ ak→ são ortogonais
		
	 
	7/4
	
	1
	
	5
	
	2
	
	2/4
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Chama-se Produto Escalar de dois vetores   →uu→ = x1→ii→ + y1→jj→+ z1→kk→  e  →vv→ = x2→ii→ + y2→jj→+ z2→kk→  denotado por  →uu→.→vv→ :
		
	 
	ao número real k, dado por :  k = x1x2 + y1y2  + z1z2
	
	ao vetor  →ww→  dado por  →ww→ = (x1 + x2)→ii→ + (y1 + y2 )→jj→ + (z1 + z2)→kk→
	
	ao número real k dado por  k = √(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2
	
	ao vetor  →ww→  dado por  →ww→ = x1x2→ii→  + y1y2 →jj→  + z1z2 →kk→
	
	ao número real k, dado por:  k = x+1x−1x+1x-1 = y+1y−1y+1y-1= z+1z−1z+1z-1
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Sabendo que a distância focal de uma elipse é 16 e o eixo menor é igual a 12, qual o comprimento do eixo maior?
		
	
	10
	 
	20
	
	16
	
	12
	
	18
	
	Explicação:
a² = b² + c²
a² = 16² + 12²
a = 20
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Numa elipse a medida do eixo maior é 26 e a medida do eixo menor é  24. Determine a distância focal dessa elipse.
		
	
	11
	
	12/13
	
	22
	 
	10
	
	13/12
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Determine o centro e o raio da circunferência de equação x²+y²-4x+6y-3=0.
		
	
	(-1,3) e 5
	 
	(2,-3) e 4
	 
	(3,-1) e 5
	
	(3,4) e 6
	
	(3,-2) e 4
	
	Explicação:
Temos que: -2a=-4 -> a=2
                   -2b=6 -> b=-3   , daí: o centro é O(2,-3)
a²+b²-r²=-3 -> 2²+(-3)² - r²= -3 -> 4+9-r²=-3 ->  -r²=-16 -> r=4
	
	
	 
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a:
		
	
	15
	
	-15
	
	NRA
	 
	9
	
	-9
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	A distância focal e a excentricidade da elipse com centro na origem e que passa pelos pontos (1, 0) e (0, -2) são, respectivamente,
		
	
	3 e 1/2
	 
	2√323  e  √3232
	
	√33  e  √3232
	
	1/2  e  √33
	 
	√3232 e  1212
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Dada a equação de uma Elipse a seguir
25x2 + 16y2 + 288y + 896 = 0
As medidas dos seus eixos Maior e Menor são , respectivamente:
 
		
	
	20 e 10
	
	20 e 16
	
	49 e 25
	
	25 e 16
	 
	10 e 8
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Determine os valores de p para que o ponto P(3,p) pertença à circunferência de equação x²+y²=18.
		
	 
	+/- 3
	 
	2 e -3
	
	-1 e 9
	
	+/- 9
	
	+/- 1
	
	Explicação:
Devemos ter: 3²+p²=18 -> 9+p²=18 -> p=+/- 3
Logo; P(3,3) ou P(3,-3)
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	80°
	 
	30°
	
	45°
	
	90°
	 
	60°
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	(IFB - 2017). Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse.
		
	
	(5, 0) e (-5, 0)
	 
	(13, 0) e ( -13, 0)
	 
	(0, 12) e (0, - 12)
	
	(12, 0) e (-12, 0)
	
	(0, 13) e (0, -13)
	
	Explicação:
De acordo com os dados, o eixo maior fica no eixo y, onde a = 13 e b = 5, logo c² = 13² - 5² -> c = 12
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Calcule a área da região delimitada pela circunferência x2 + y2 + 6x - 8y + 7 = 0.
		
	
	8 pi
	 
	16 pi
	
	s.r
	 
	18 pi
	
	12 pi
	
	Explicação:
Devemos determinar o raio da circunferência para podermos definir sua área. Temos então, utilizando as relações que envolvem a fórmula geral da circunferência:
-2a=6 -> a=-3
-2b=-8 -> b=4
a²+b²-r²=7 -> (-3)²+4²-r²=7 -> 9+16-r²=7 -> r²=18.
Logo, a área da circunferência será: S= pi r² -> S=18pi
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Sabe-se que o diâmetro de uma circunferência é 6 e seu centro tem coordenadas C(-2,0), a equação reduzida desta circunferência é:
		
	
	(E) (x + 2)^2 + y^2 = 36(A) (x - 2)^2 = 3
	 
	(B) (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	(C) (x + 2)^2 + y^2 = 3
	
	(D) (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 36
	
	Explicação:
Sendo o diâmetro 6, então r =3 Tendo-se C(-2, 0) e r = 3, a equação será: (x - (- 2))^2 + (y - 0)^2 = 3^2 = (x + 2)^2 + y^2 = 9
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere a equação geral do plano 3x + 2y - z + 1 = 0. Para que o ponto A(4, -2, m) pertença a este ponto, o valor de m tem que ser igual a:
		
	 
	9
	
	-9
	
	-15
	
	NRA
	
	15
AULA 10: CÔNICAS- HIPERBOLES
	
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4)
		
	
	20
	 
	10
	 
	10  x (2) 1/2 
	
	5x (2)1/2
	
	20 x(2)1/2
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ?
		
	 
	Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3
	
	Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5
	
	Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5
	
	Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3
	
	Uma circunferência de equação x2+y2 =3
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ?
		
	
	15 unidades de volume
	 
	16 unidades de volume
	
	14 unidades de volume
	 
	13 unidades de volume
	
	17 unidades de volume
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2).
		
	 
	-9x-3y+z+7=0
	 
	-5x-3y+z+7=0
	
	-9x-3y+z+=0
	
	-9x-8y+z+7=0
	
	-9x-3y+z+9=0
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da hipérbole.
		
	
	(-2,-1)
	 
	(2, -1)
	
	(-2,1)
	
	(2,1)
	
	(1,2)
	
	Explicação:
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 - 4x + 4 - 4]  - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2, - 1)
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais.
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados:
		
	 
	vértice e eixo
	
	centro e eixo
	 
	foco e diretriz
	
	centro e diretriz
	
	foco e eixo
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4)
		
	
	5x (2)1/2
	
	20 x(2)1/2
	 
	10  x (2) 1/2 
	
	10
	
	20
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ?
		
	 
	Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3
	
	Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5
	
	Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5
	
	Uma circunferência de equação x2+y2 =3
	 
	Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ?
		
	
	17 unidades de volume
	
	15 unidades de volume
	 
	13 unidades de volume
	
	14 unidades de volume
	
	16 unidades de volume
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2).
		
	
	-9x-3y+z+=0
	 
	-5x-3y+z+7=0
	
	-9x-3y+z+9=0
	
	-9x-8y+z+7=0
	 
	-9x-3y+z+7=0
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da hipérbole.
		
	 
	(2, -1)
	
	(-2,1)
	
	(-2,-1)
	
	(2,1)
	
	(1,2)
	
	Explicação:
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 - 4x + 4 - 4]  - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2, - 1)
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais.
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados:
		
	 
	foco e diretriz
	
	centro e diretriz
	
	foco e eixo
	
	vértice e eixo
	
	centro e eixo
	
		
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	Encontre a área do triângulo de vértices A(1, 2, 5) B(3, 4, -1) e C(-2, -1, 4)
		
	
	20
	
	20 x(2)1/2
	
	5x (2)1/2
	
	10
	 
	10  x (2) 1/2 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Consideremos num sistema de coordenadas cartesianas um ponto P=(2,0) e uma reta r de equação x-1=0.Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias ao ponto P e à reta r são iguais ?
		
	
	Duas semiretas cujas equações são x-y=1,5 e x+y=1,5,com x>1,5
	
	Uma circunferência com centro no ponto (3,0) e raio 1,5
	 
	Uma parábola cuja equação é y2 =2x-3
	 
	Uma parábola cuja equação é y = 2x2 -3
	
	Uma circunferência de equação x2+y2 =3
	
	
	
	 
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Qual volume do paralelepípedo formado pelos vetores u=(3,5,7) , v=(2,0,-1) e w=(0,1,3) ?
		
	
	15 unidades de volume
	
	17 unidades de volume
	
	14 unidades de volume
	
	16 unidades de volume
	 
	13 unidades de volume
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que mostra a equação geral do plano determinado pelos pontos: A(0,2,-1), B(1,-1,-1) e C(1,0,2).
		
	 
	-9x-8y+z+7=0
	
	-5x-3y+z+7=0
	
	-9x-3y+z+9=0
	 
	-9x-3y+z+7=0
	
	-9x-3y+z+=0
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Dada à hipérbole de equação 5x2 - 4y2- 20x - 8y - 4 = 0, determine o centro da hipérbole.
		
	 
	(2, -1)
	
	(-2,-1)
	
	(2,1)
	
	(-2,1)
	
	(1,2)
	
	Explicação:
Escrevendo a hipérbole da maneira convencional teríamos 5[x2 - 4x + 4 - 4]  - 4[y2 + 2y + 1] = 0 e daí, 5(x - 2)2 - 4(y + 1)2 = 20 e dividindo ambos os membros por 20 passamos a ter: (x - 2)2 / 4 + (y + 1)2 / 5 = 1. Então o centro é C(2, - 1)
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Uma parábola é um conjunto de pontos no plano cujas distâncias a um ponto fixo e a uma reta fixa são iguais.
O ponto e a reta citados, na definição acima, são chamados:
		
	
	vértice e eixo
	
	centro e diretriz
	 
	foco e diretriz
	
	foco e eixo
	
	centro e eixo
	
	
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