Álgebra Linear Apol 1

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Álgebra Linear
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(k,0,3).
Assinale a alternativa com o valor de kk para que os vetores u,v e wu,v e w formem uma base do R3.R3. 
	
	A
	k≠8
	
	B
	k≠−7
	
	C
	k≠5
	
	D
	k≠−9
	
	E
	k≠6
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Considere os vetores u=(−4,10,5), v1=(1,1,−2), v2=(2,0,3) e v3=(−1,2,3).u=(−4,10,5),  
De acordo com os vetores dados acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que descreve o vetor uu como combinação linear dos vetores v1, v2 e v3:v1, v2 e v3:
	
	A
	u=v1−2v2+3v3
	
	B
	u=2v1−v2+4v3
	
	C
	u=−2v1+v2+4v3
	
	D
	u=10v1−7v2+4v3
	
	E
	u=2v1−v2−4v3.
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u).T(u).
	
	A
	T(u)=(−3,2,2)
	
	B
	T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)
	
	C
	T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)
	
	D
	T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)
	
	E
	T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Sejam B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)}B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)} bases de R2R2.  
De acordo com as bases acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, a matriz M de mudança de base de B1B1  para B2B2, [M]B1B2,[M]B2B1, é:
	
	A
	M=[2−111]M=[2−111]
	
	B
	M=[5−42 1]M=[5−42 1]
	
	C
	M=[−53−21]M=[−53−21]
	
	D
	M=[5−341]M=[5−341]
	
	E
	M=[5−1−23]M=[5−1−23]
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Sejam os vetores u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1)u=(1,2,3),v=(0,1,1) e w=(0,0,1), tais que eles formam uma base do espaço vetorial R3R3.  
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale  a alternativa com as coordenadas do vetor (1,1,0)∈R3(1,1,0)∈R3 com relação à base formada pelos vetores u,v e w.u,v e w. 
	
	A
	⎡⎢⎣1−1−2⎤⎥⎦[1−1−2]
	
	B
	⎡⎢⎣21−2⎤⎥⎦[21−2]
	
	C
	⎡⎢⎣1−22⎤⎥⎦[1−22]
	
	D
	⎡⎢⎣2−4−2⎤⎥⎦[2−4−2]
	
	E
	⎡⎢⎣2−2−2⎤⎥⎦[2−2−2]
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa:
I.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. (  ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3.
Agora, marque a sequência correta.
	
	A
	V-F-F
	
	B
	V-V-F
	
	C
	V-F-V
	
	D
	F-V-F
	
	E
	F-V-V
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Leia as informações que seguem:
Seja o espaço vetorial V=R4V=R4 e W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R}W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R} um subconjunto do espaço vetorial  VV.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale a sentença correta:
	
	A
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade da soma  u+v∈Wu+v∈W.
	
	B
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	C
	WW não é subespaço de VV, porque não satisfaz as duas propriedades da soma u+v∈Wu+v∈W e do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	D
	WW é um subespaço de VV.
	
	E
	WW não é subespaço, porque (x.y,0,0)∉R4(x.y,0,0)∉R4.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). 
De acordo com a transformação linear acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3)T(u)=(−7,7,−3).
	
	A
	u=(1,2,−1).u=(1,2,−1).
	
	B
	u=(2,2,−1).u=(2,2,−1).
	
	C
	u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1).
	
	D
	u=(6,4,−2).u=(6,4,−2).
	
	E
	u=(3,0,−5)
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa com a matriz das 
coordenadas do polinômio p=x−4p=x−4 em relação a base A.
	
	A
	[6   −5]t[6   −5]t
	
	B
	[5−8]t[5−8]t
	
	C
	[8   −6]t[8   −6]t
	
	D
	[7   −9]t[7   −9]t
	
	E
	[3   −2]t
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear definida por T(x,y)=(2x−y,5x+y).T(x,y)=(2x−y,5x+y).
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, se o vetor  v=(−4,−3)v=(−4,−3)  pertence à imagem de TT, assinale a alternativa com as coordenadas de vetor uu tal que  T(u)=v.T(u)=v. v.v.
	
	A
	u=(−2,3)u=(−2,3)
	
	B
	u=(−1,2)u=(−1,2)
	
	C
	u=(−2,5)u=(−2,5)
	
	D
	u=(2,−1)u=(2,−1)
	
	E
	u=(−3,−3)u=(−3,−3)
Questão 1/10 - Álgebra Linear
De acordo com os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre sistemas de equações lineares, as matrizes A=(aij)∈M2×3A=(aij)∈M2×3 e B=(bij)∈M3×3B=(bij)∈M3×3  são definidas por aij=2i+3j−2 e bij={2i+j, se i=j2j−i, se i≠jaij=2i+3j−2 e bij={2i+j, se i=j2j−i, se i≠j. O produto AB é a matriz:
Nota: 0.0
	
	A
		[054120474156][054120474156]
Construção das matrizes A e B.
A=[a11a12a13a21a22a23]=[3695811]A=[a11a12a13a21a22a23]=[3695811]  e B=⎡⎢⎣a11a12a13a21a22a23a31a22a33⎤⎥⎦=⎡⎢⎣335064−119⎤⎥⎦=[a11a12a13a21a22a23a31a22a33]=[335064−119].  O produto AB=[3695811][3695811]⎡⎢⎣335064−119⎤⎥⎦[335064−119]=[3695811][3695811]. 
(Livro-base p. 40-52)
	
	B
	⎡⎢⎣7294729284102⎤⎥⎦[7294729284102]
	
	C
	[72941207292156][72941207292156]
	
	D
	[05484472156][05484472156]
	
	E
	⎡⎢⎣7294729284102⎤⎥⎦
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Considere a seguinte equação ∣∣
∣∣x+123x1531−2∣∣
∣∣|x+123x1531−2|= ∣∣∣41x−2∣∣∣|41x−2| . 
De acordo com a equação acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa com o valor de x:
Nota: 0.0
	
	A
	x=−32x=−32
	
	B
	x=−18x=−18
	
	C
	x=−25x=−25
	
	D
	x=−22x=−22
Resolvendo os determinantes à direita e à esquerda, temos: 
−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x−2(x+1)+3x+30−9−5(x+1)+4x=−8−x−2x−2+3x+30−9−5x−5+4x=−8−x−2x+3x−5x+4x−2+30−9−5=−8−x14=−8−x14+8=−x22=−x−22=x
(Livro-base p. 39-42).
	
	E
	x=−20x=−20
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear definida por T(x,y)=(2x−y,5x+y).T(x,y)=(2x−y,5x+y).
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, se o vetor  v=(−4,−3)v=(−4,−3)  pertence à imagem de TT, assinale a alternativa com as coordenadas de vetor uu tal que  T(u)=v.T(u)=v. v.v.
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−2,3)u=(−2,3)
	
	B
	u=(−1,2)u=(−1,2)
Você acertou!
Para que vv pertença à imagem de TT, deve existir x e y tal que T(x,y)=(2x−y,5x+y)=(−4,−3).T(x,y)=(2x−y,5x+y)=(−4,−3).
Resolvendo o sistema linear:
{2x−y=−45x+y=−3{2x−y=−45x+y=−3
solução: x=−1 e y=2.x=−1 e y=2.
logo,  u=(−1,2)u=(−1,2)  
(Livro-base p. 119-123).
	
	C
	u=(−2,5)u=(−2,5)
	
	D
	u=(2,−1)u=(2,−1)
	
	E
	u=(−3,−3)u=(−3,−3)
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(2,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(2,0,3).  
Assinale a alternativa cujo vetor são as coordenadas para o vetor t=(1,2,3)t=(1,2,3) em relação aos vetores da base u,v e wu,v e w.
Nota: 0.0
	
	A
	(1,2,−3)(1,2,−3)
	
	B
	(1,−1,1)(1,−1,1)
	
	C
	(2,−1,0)(2,−1,0)
	
	D
	(1,0,−1)(1,0,−1)
	
	E
	(0,1,−1)(0,1,−1)
Considere o vetor ww, k=2k=2 e determine as coordenadas do vetor t=(2,3,4)t=(2,3,4) em relação aos vetores u,v e wu,v e w.
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+2c=1−a+b=2−2a+b+3c=3{a+2b+2c=1−a+b=2−2a+b+3c=3
Efetuando o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+2c=13b+2c=35b+7c=5⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+2c=13b+2c=3113c=0c=0,b=1,a=−1.{a+2b+2c=13b+2c=35b+7c=5{a+2b+2c=13b+2c=3113c=0c=0,b=1,a=−1.
(Livro-base p. 96-100)
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considerando osconteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre mudança de base e coordenadas de um vetor, e as bases 
A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3}A={p1=4−3x,p2=3−2x} e B={q1=x+2,q2=2x+3} do conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 1, assinale a alternativa cuja matriz é a 
matriz de mudança de base de A para B, [M]AB[M]BA.
Nota: 10.0
	
	A
	[M]AB=[M]BA=[1712−10−7].[1712−10−7].
Você acertou!
Para determinar a matriz de mudança de base de A para B, devemos fazer A como combinação linear de B.
p1=4−3x=a(x+2)+b(2x+3)p2=3−2x=c(x+2)+d(2x+3)[12|−3−223|43].p1=4−3x=a(x+2)+b(2x+3)p2=3−2x=c(x+2)+d(2x+3)[12|−3−223|43].
Escalonando
[10|171201|−10−7].[10|171201|−10−7].
[M]AB=[M]BA=[1712−10−7].[1712−10−7].
(Livro-base p. 108-112)
	
	B
	[M]AB=[M]BA=[182−12−8].[182−12−8].
	
	C
	[M]AB=[M]BA=[1813−11−6].[1813−11−6].
	
	D
	[M]AB=[M]BA=[2210−11−9].[2210−11−9].
	
	E
	[M]AB=[M]BA=[1813−158].[1813−158].
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). 
De acordo com a transformação linear acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3)T(u)=(−7,7,−3).
Nota: 0.0
	
	A
	u=(1,2,−1).u=(1,2,−1).
Basta verificar que T(1,2,−1)=(−7,7,−3)T(1,2,−1)=(−7,7,−3).  Outra forma de resolução é determinar a solução do sistema ⎧⎪⎨⎪⎩x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3{x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3 
(livro-base p. 124-129).
	
	B
	u=(2,2,−1).u=(2,2,−1).
	
	C
	u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1).
	
	D
	u=(6,4,−2).u=(6,4,−2).
	
	E
	u=(3,0,−5).u=(3,0,−5).
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Leia as informações que seguem:
Seja o espaço vetorial V=R4V=R4 e W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R}W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R} um subconjunto do espaço vetorial  VV.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale a sentença correta:
Nota: 10.0
	
	A
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade da soma  u+v∈Wu+v∈W.
	
	B
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	C
	WW não é subespaço de VV, porque não satisfaz as duas propriedades da soma u+v∈Wu+v∈W e do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	D
	WW é um subespaço de VV.
Você acertou!
Para WW ser subespaço de VV , deve satisfazer as propriedades:
1. u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈Wu+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈W
2. ku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈Wku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈W
Logo WW  é subespaço.  
(Livro-base p. 82-86).
	
	E
	WW não é subespaço, porque (x.y,0,0)∉R4(x.y,0,0)∉R4.
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 uma transformação linear, definida por T(x,y)=(x−2y,x).T(x,y)=(x−2y,x).  
De acordo com a transformação linear dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz de transformação, considerando a base canônica de R2,R2, {e1=(1,0),e2=(0,1)}{e1=(1,0),e2=(0,1)}. 
Nota: 0.0
	
	A
	[T]=[0−201][T]=[0−201]
	
	B
	[T]=[11−21][T]=[11−21]
	
	C
	[T]=[1011][T]=[1011]
	
	D
	[T]=[1−210][T]=[1−210]
A TL é definida por T(x, y) = (x-2y, x) =
[1−210][1−210].[xy][xy] , logo, 
A=[1−210]A=[1−210]  
(Livro-base p. 130-139).
	
	E
	[T]=[1−225][T]=[1−225]
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Observe a transformação linear T:R2→R3T:R2→R3, onde  T(x,y)=(x,y,x−y)T(x,y)=(x,y,x−y), sendo u= (1, 3) e v =(-2, -1).
De acordo com a transformação linear dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine T(u) e T(v).T(u) e T(v).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−1)T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−1)
Você acertou!
T(1,3)=(1,3,1−3)=(1,3,−2)T(−2,−1)=(−2,−1,−2+1)=(−2,−1,−1).T(1,3)=(1,3,1−3)=(1,3,−2)T(−2,−1)=(−2,−1,−2+1)=(−2,−1,−1).
(Livro-base p. 119-122)
	
	B
	T(u)=(1,−3,−2) e T(v)=(−2,1,−1)T(u)=(1,−3,−2) e T(v)=(−2,1,−1)
	
	C
	T(u)=(1,3,2) e T(v)=(−2,−1,1)T(u)=(1,3,2) e T(v)=(−2,−1,1)
	
	D
	T(u) = (1,3,-2) \ e \ T(v) = (-2, -1, 1)
	
	E
	T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−3)T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−3)
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa:
I.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. (  ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-F
	
	B
	V-V-F
	
	C
	V-F-V
	
	D
	F-V-F
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI).  
Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI.
Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD).
Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base.
Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103).
	
	E
	F-V-V
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre sistemas de equações lineares, resolva o problema: 
Usando escalonamento, assinale a alternativa com valor de kk de modo que o sistema linear: 
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
admita solução única.  
Nota: 10.0
	
	A
	k=1k=1
	
	B
	k=−1k=−1
	
	C
	k=0k=0
Você acertou!
Faça os escalonamentos:
−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3−5L1+L2→L2−2L1+L3→L3
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=35x−3y=22x−2y=k{x+2y=35x−3y=22x−2y=k
⎧⎪⎨⎪⎩x+2y=3−13y=−13−6y=k−6{x+2y=3−13y=−13−6y=k−6
k−6=−6k=0k−6=−6k=0
(Livro-base p. 96)
	
	D
	k=−2k=−2
	
	E
	k=2k=2
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre operações com matrizes, e as seguintes matrizes A=(xyz−w), B=(3x−yz+w6+y) e C=(x+y52z2w−z)A=(xyz−w), B=(3x−yz+w6+y) e C=(x+y52z2w−z).
Os valores de x,y,z e wx,y,z e w que satisfazem a equação matricial 2A−B=C2A−B=C são respectivamente:
Nota: 0.0
	
	A
	2,- 3, 4 e 7.
	
	B
	2, -1, -2 e 2.
	
	C
	7,4, 2 e -2.
2(xyz−w)−(3x−yz+w6+y)=(x+y52z2w−z)(2x−32y−x+y2z+z+w−2w−6−y)=(x+y52z2w−z)2(xyz−w)−(3x−yz+w6+y)=(x+y52z2w−z)(2x−32y−x+y2z+z+w−2w−6−y)=(x+y52z2w−z)
Temos os seguintes sistemas de equações:
{x−y=3−x+3y=5{−2z+w=2z−4w+z=−10x=7,y=4,z=2 e w=−2.{x−y=3−x+3y=5{−2z+w=2z−4w+z=−10x=7,y=4,z=2 e w=−2.
(Livro-base p. 8-10)
	
	D
	5, 2, 3 e  -3.
	
	E
	7, 4, -4 e 4.
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre matrizes de mudança de base e, as bases
B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B′={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}B={(1,0,1),(1,1,1),(1,1,2)} e B´={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, 
assinale a alternativa com a matriz de mudança da base B´B´  para BB, [I]BB´.[I]BB´.
Nota: 0.0
	
	A
	[I]BB´=⎡⎢⎣0−1111−2−111⎤⎥⎦[I]BB´=[0−1111−2−111]
	
	B
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−2301−1−1−31⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2301−1−1−31]
	
	C
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101]
Fazemos os vetores  de B´ combinação linear dos vetores da base B.
Resolvemos os três sistemas de equações, simultaneamente:
⎡⎢⎣111|100011|010112|001⎤⎥⎦[111|100011|010112|001]
⎡⎢⎣100|1−1001011−1001|−101⎤⎥⎦[100|1−1001011−1001|−101]
[I]BB´=⎡⎢⎣1−1011−1−101⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1011−1−101]
(Livro-base p. 108-112).
	
	D
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−1221−2−203⎤⎥⎦[I]BB´=[1−1221−2−203]
	
	E
	[I]BB´=⎡⎢⎣1−2011−2−121⎤⎥⎦[I]BB´=[1−2011−2−121]
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). 
De acordo com este conjunto e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas com V para verdadeira e F para falsa:
I.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II.(  )Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. (  ) O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma basepara o R3.R3.
Agora, marque a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-F-F
	
	B
	V-V-F
	
	C
	V-F-V
	
	D
	F-V-F
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI).  
Primeira afirmativa é falsa, pois os vetores são LD e não LI.
Segunda afirmativa é verdadeira, pois o determinante dos vetores é igual a zero (LD).
Terceira afirmativa é falsa, pois como os vetores são LD, não formam uma base.
Logo, a sequência correta é F-V-F (livro-base p. 96-103).
	
	E
	F-V-V
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Observe a transformação linear T:R2→R3T:R2→R3, onde  T(x,y)=(x,y,x−y)T(x,y)=(x,y,x−y), sendo u= (1, 3) e v =(-2, -1).
De acordo com a transformação linear dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine T(u) e T(v).T(u) e T(v).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−1)T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−1)
Você acertou!
T(1,3)=(1,3,1−3)=(1,3,−2)T(−2,−1)=(−2,−1,−2+1)=(−2,−1,−1).T(1,3)=(1,3,1−3)=(1,3,−2)T(−2,−1)=(−2,−1,−2+1)=(−2,−1,−1).
(Livro-base p. 119-122)
	
	B
	T(u)=(1,−3,−2) e T(v)=(−2,1,−1)T(u)=(1,−3,−2) e T(v)=(−2,1,−1)
	
	C
	T(u)=(1,3,2) e T(v)=(−2,−1,1)T(u)=(1,3,2) e T(v)=(−2,−1,1)
	
	D
	T(u) = (1,3,-2) \ e \ T(v) = (-2, -1, 1)
	
	E
	T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−3)T(u)=(1,3,−2) e T(v)=(−2,−1,−3)
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Uma livraria registrou as vendas de livros didáticos durante a semana que antecede a volta às aulas (tabela 1), e na semana em que as aulas se iniciaram (tabela 2), conforme as respectivas tabelas a seguir:
Tabela 1
SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1010151215Português1510101520Geografia51551012SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1010151215Português1510101520Geografia51551012
Tabela 2:
SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1051500Português2510150Geografia510052SegundaTerçaQuartaQuintaSextaMatemática1051500Português2510150Geografia510052
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a matriz que representa o total de vendas de livros nas duas semanas, por dia e o tipo de livro vendido:
Nota: 0.0
	
	A
	⎡⎢⎣20153012151515223020102551515⎤⎥⎦[20153012151515223020102551515]
	
	B
	⎡⎢⎣20153012151715203020102551514⎤⎥⎦[20153012151715203020102551514]
Comentário: Basta somar cada elemento correspondente da linha e coluna.  
(Livro-base p. 26-32).
	
	C
	⎡⎢⎣201530121515152030201225141515⎤⎥⎦[201530121515152030201225141515]
	
	D
	⎡⎢⎣25153010151515223520103051515⎤⎥⎦[25153010151515223520103051515]
	
	E
	⎡⎢⎣10153012151518223021102651515⎤⎥⎦[10153012151518223021102651515]
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Analise as matrizes A=[2002]A=[2002] e B=[3003]B=[3003].
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz XX, tal que X=A.Bt+B.X=A.Bt+B.
Nota: 0.0
	
	A
	X=[120012]X=[120012]
	
	B
	X=[180018]X=[180018]
	
	C
	X=[9009]X=[9009]
X=A.Bt+B=X=A.Bt+B= [2002][2002].[3003][3003]+ [3003][3003]=
=[6006][6006] +[3003][3003] =[9009][9009]
(Livro-base p. 26-38)
	
	D
	X=[8448]X=[8448]
	
	E
	X=[101110]X=[101110]
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). 
De acordo com a transformação linear acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3)T(u)=(−7,7,−3).
Nota: 10.0
	
	A
	u=(1,2,−1).u=(1,2,−1).
Você acertou!
Basta verificar que T(1,2,−1)=(−7,7,−3)T(1,2,−1)=(−7,7,−3).  Outra forma de resolução é determinar a solução do sistema ⎧⎪⎨⎪⎩x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3{x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3 
(livro-base p. 124-129).
	
	B
	u=(2,2,−1).u=(2,2,−1).
	
	C
	u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1).
	
	D
	u=(6,4,−2).u=(6,4,−2).
	
	E
	u=(3,0,−5).u=(3,0,−5).
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Na fabricação de três misturas de bolos, sabores chocolate, canela e baunilha, são usados três ingredientes: farinha de trigo, leite em pó e gordura vegetal. A quantidade de ingredientes para cada mistura, isto é, para cada embalagem, é dada pela tabela: 
ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524ChocolateCanelaBaunilhaFarinha(g)230250240Leite(ml)605040Gordura vegetal(g)302524
O número de misturas produzidas, de cada sabor, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400MaioJunhoChocolate1000500Canela400200Baunillha600400
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, sobre produto de matrizes, assinale a alternativa que apresenta o total de cada ingrediente usado nos meses de maio e junho:
Nota: 0.0
	
	A
	⎡⎢⎣640000161000204000560005440029600⎤⎥⎦[640000161000204000560005440029600]
	
	B
	⎡⎢⎣53000062100014000580003440026000⎤⎥⎦[53000062100014000580003440026000]
	
	C
	⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600]
O problema se resume na multiplicação de matrizes:
⎡⎢⎣230250240605040302524⎤⎥⎦[230250240605040302524].⎡⎢⎣1000500400200600400⎤⎥⎦[1000500400200600400] = ⎡⎢⎣474000261000104000560005440029600⎤⎥⎦[474000261000104000560005440029600] 
(Livro-base p. 36-39).
	
	D
	⎡⎢⎣2300001250000240005100001800010000⎤⎥⎦[2300001250000240005100001800010000]
	
	E
	⎡⎢⎣640000305000541000560001240039600⎤⎥⎦[640000305000541000560001240039600]
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Sejam A=[−1−2−3−5],A=[−1−2−3−5], B=[2−1]B=[2−1] , C=[14−4−8] e X=[xy]C=[14−4−8] e X=[xy] . 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale aquela que contém a matriz XX que satisfaz a equação A+BX=C.A+BX=C.
Nota: 0.0
	
	A
	X=[31].X=[31].
	
	B
	X=[−31].X=[−31].
	
	C
	X=[1−3].X=[1−3].
	
	D
	X=[13].X=[13].
Fazendo X=[xy],X=[xy], segue da equação A+BX=CA+BX=C que
[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].
Logo, x=1 e y=3x=1 e y=3
(Livro-base p. 26-39).
	
	E
	X=[−12].
Questão 1/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear, sobre base de um espaço vetorial e os vetores:
u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(2,0,3)u=(1,−1,−2),v=(2,1,1) e w=(2,0,3).  
Assinale a alternativa cujo vetor são as coordenadas para o vetor t=(1,2,3)t=(1,2,3) em relação aos vetores da base u,v e wu,v e w.
Nota: 10.0
	
	A
	(1,2,−3)(1,2,−3)
	
	B
	(1,−1,1)(1,−1,1)
	
	C
	(2,−1,0)(2,−1,0)
	
	D
	(1,0,−1)(1,0,−1)
	
	E
	(0,1,−1)(0,1,−1)
Você acertou!
Considere o vetor ww, k=2k=2 e determine as coordenadas do vetor t=(2,3,4)t=(2,3,4) em relação aos vetores u,v e wu,v e w.
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+2c=1−a+b=2−2a+b+3c=3{a+2b+2c=1−a+b=2−2a+b+3c=3
Efetuando o escalonamento
⎧⎪⎨⎪⎩a+2b+2c=13b+2c=35b+7c=5⎧⎪
⎪⎨⎪
⎪⎩a+2b+2c=13b+2c=3113c=0c=0,b=1,a=−1.{a+2b+2c=13b+2c=35b+7c=5{a+2b+2c=13b+2c=3113c=0c=0,b=1,a=−1.
(Livro-base p. 96-100)
Questão 2/10 - Álgebra Linear
Analise as matrizes A=[2002]A=[2002] e B=[3003]B=[3003].
De acordo com as matrizes acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a matriz XX, tal que X=A.Bt+B.X=A.Bt+B.
Nota: 10.0
	
	A
	X=[120012]X=[120012]
	
	B
	X=[180018]X=[180018]
	
	C
	X=[9009]X=[9009]
Você acertou!
X=A.Bt+B=X=A.Bt+B= [2002][2002].[3003][3003]+ [3003][3003]=
=[6006][6006] +[3003][3003] =[9009][9009]
(Livro-base p. 26-38)
	
	D
	X=[8448]X=[8448]
	
	E
	X=[101110]X=[101110]
Questão 3/10 - Álgebra Linear
Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra linear,  sobre transformações lineares,  e  T:R2→R3T:R2→R3  uma transformação linear tal que 
T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4),
assinale a alternativa cuja função é a transformação linear T(u).T(u).
Nota: 10.0
	
	A
	T(u)=(−3,2,2)T(u)=(−3,2,2)
	
	B
	T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)T(u)=12(2x+y,x+y,2x−y)
	
	C
	T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)T(u)=(52y,2x+32y,2x−12y)
	
	D
	T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)Você acertou!
Como {(1,2),(3,4)}{(1,2),(3,4)}  é uma base de R2R2,  existe uma única TL tal que T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4)T(1,2)=(3,2,1) e T(3,4)=(6,5,4).  Dado u=(x,y)u=(x,y), temos que:
u=r(1,2)+s(3,4)u=r(1,2)+s(3,4)
{r+3s=x2r+4s=y{r+3s=x2r+4s=y
Escalonando o sistema, temos:
{r+3s=x−2s=y−2x{r+3s=x−2s=y−2x
Logo, 
r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).r=12(−4x+3y) e s=12(2x−y).
Portanto,  T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).T(u)=rT(1,2)+sT(3,4)T(u)=12(−4x+3y).(3,2,1)+12(2x−y).(6,5,4)T(u)=(32y,x+12y,2x−12y).
T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).T(u)=(32y,x+12y,2x−12y)=(3,2,1)32y=3⇒y=2x+12y=2⇒x=1u=(1,2).
(Livro-base p. 119-122)
	
	E
	T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)T(u)=12(y,x+2y,2x−4y)
Questão 4/10 - Álgebra Linear
Sejam A=[−1−2−3−5],A=[−1−2−3−5], B=[2−1]B=[2−1] , C=[14−4−8] e X=[xy]C=[14−4−8] e X=[xy] . 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale aquela que contém a matriz XX que satisfaz a equação A+BX=C.A+BX=C.
Nota: 10.0
	
	A
	X=[31].X=[31].
	
	B
	X=[−31].X=[−31].
	
	C
	X=[1−3].X=[1−3].
	
	D
	X=[13].X=[13].
Você acertou!
Fazendo X=[xy],X=[xy], segue da equação A+BX=CA+BX=C que
[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].[2−1][xy]=[14−4−8]−[−1−2−3−5]⟹[2x2y−x−y]=[26−1−3].
Logo, x=1 e y=3x=1 e y=3
(Livro-base p. 26-39).
	
	E
	X=[−12].X=[−12].
Questão 5/10 - Álgebra Linear
Considere o vetor v=(3,2,1)v=(3,2,1) do R3R3 e o conjunto de vetores α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)}α={v1=(1,2,3),v2=(1,1,1),v3=(1,0,0)} também do R3R3. 
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas a seguir, assinale com V as sentenças verdadeiras e com F as falsas.
( ) vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
( ) αα é  uma base do R3R3.
( ) Os vetores v1,v2 e v3v1,v2 e v3 são linearmente independentes. 
Agora, assinale a alternativa com a sequência correta:
Nota: 0.0
	
	A
	V-V-F
	
	B
	V-V-V
Comentário:  A sequência correta é V-V-V.
Se vv é combinação linear dos vetores de αα, então existe a, b e c, tal que   v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
Como o determinante dos vetores de αα é diferente de zero, logo existe a, b e c e vv é uma combinação linear dos vetores do conjunto αα.
Alternativa I é verdadeira porque o determinante dos vetores é diferente de zero.
Alternativa II é verdadeira porque vv é uma combinação linear dos vetores.
Alternativa III é verdadeira porque o determinante é diferente de zero, 
v=av1+bv2+cv3v=av1+bv2+cv3
(Livro-base p. 89-103).
	
	C
	F-V-V
	
	D
	V-F-F
	
	E
	F-F-F
Questão 6/10 - Álgebra Linear
Leia as informações abaixo:
Um sistema de equações lineares pode ter uma única solução, nenhuma solução ou infinitas soluções. Sendo assim, podemos classificá-lo em possível e determinado, impossível, ou possível e indeterminado, respectivamente.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, determine a solução do seguinte sistema:
⎧⎪
⎪
⎪
⎪⎨⎪
⎪
⎪
⎪⎩x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0{x+y=2y+z=4x+y=5x+y+z=0
Assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	Este sistema é indeterminado.
	
	B
	Este sistema é possível e sua solução é (0,0,0).     
	
	C
	Este sistema é possível e sua solução é (0,1,1).
	
	D
	Este sistema é impossível.
Você acertou!
Comentário: Podemos somar as três primeiras equações e obter 2x + 2y + 3z = 11. Dividindo por 2 teremos: x + y + z = 11/2. Como a quarta equação é x + y + z = 0, temos que o sistema é impossível.
(Livro-base p. 56-58)
	
	E
	Este sistema é possível e sua solução é (1,2,3).
Questão 7/10 - Álgebra Linear
Sejam B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)}B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)} bases de R2R2.  
De acordo com as bases acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, a matriz M de mudança de base de B1B1  para B2B2, [M]B1B2,[M]B2B1, é:
Nota: 10.0
	
	A
	M=[2−111]M=[2−111]
	
	B
	M=[5−42 1]M=[5−42 1]
	
	C
	M=[−53−21]M=[−53−21]
Você acertou!
A matriz M é dada pelas coordenadas da combinação de B1B1 com B2.B2.
(1,1)=a11(−1,1)+a21(2,−3)(−1,0)=a12(−1,1)+a22(2,−3)(1,1)=a11(−1,1)+a21(2,−3)(−1,0)=a12(−1,1)+a22(2,−3)Resolvendo o sistema acima, tem-se M=[−53−21]M=[−53−21]
(Livro-base, 108-114).
	
	D
	M=[5−341]M=[5−341]
	
	E
	M=[5−1−23]M=[5−1−23]
Questão 8/10 - Álgebra Linear
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). 
De acordo com a transformação linear acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3)T(u)=(−7,7,−3).
Nota: 10.0
	
	A
	u=(1,2,−1).u=(1,2,−1).
Você acertou!
Basta verificar que T(1,2,−1)=(−7,7,−3)T(1,2,−1)=(−7,7,−3).  Outra forma de resolução é determinar a solução do sistema ⎧⎪⎨⎪⎩x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3{x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3 
(livro-base p. 124-129).
	
	B
	u=(2,2,−1).u=(2,2,−1).
	
	C
	u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1).
	
	D
	u=(6,4,−2).u=(6,4,−2).
	
	E
	u=(3,0,−5).u=(3,0,−5).
Questão 9/10 - Álgebra Linear
Leia as informações que seguem:
Seja o espaço vetorial V=R4V=R4 e W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R}W={(x,y,0,0)∈R4/x,y∈R} um subconjunto do espaço vetorial  VV.
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as afirmativas e assinale a sentença correta:
Nota: 10.0
	
	A
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade da soma  u+v∈Wu+v∈W.
	
	B
	WW não é um subespaço de VV, porque não satisfaz somente a propriedade do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	C
	WW não é subespaço de VV, porque não satisfaz as duas propriedades da soma u+v∈Wu+v∈W e do produto escalar kv∈Wkv∈W.
	
	D
	WW é um subespaço de VV.
Você acertou!
Para WW ser subespaço de VV , deve satisfazer as propriedades:
1. u+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈Wu+v=(x1+x2,y1+y2,z1+z2,t1+t2)=(x1+x2,y1+y2,0,0)∈W
2. ku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈Wku=(kx1,ky1,kz1,kt1)=(kx1,ky1,0,0)∈W
Logo WW  é subespaço.  
(Livro-base p. 82-86).
	
	E
	WW não é subespaço, porque (x.y,0,0)∉R4(x.y,0,0)∉R4.
Questão 10/10 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear definida por T(x,y)=(2x−y,5x+y).T(x,y)=(2x−y,5x+y).
De acordo com as informações acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, se o vetor  v=(−4,−3)v=(−4,−3)  pertence à imagem de TT, assinale a alternativa com as coordenadas de vetor uu tal que  T(u)=v.T(u)=v. v.v.
Nota: 10.0
	
	A
	u=(−2,3)u=(−2,3)
	
	B
	u=(−1,2)u=(−1,2)
Você acertou!
Para que vv pertença à imagem de TT, deve existir x e y tal que T(x,y)=(2x−y,5x+y)=(−4,−3).T(x,y)=(2x−y,5x+y)=(−4,−3).
Resolvendo o sistema linear:
{2x−y=−45x+y=−3{2x−y=−45x+y=−3
solução: x=−1 e y=2.x=−1 e y=2.
logo,  u=(−1,2)u=(−1,2)  
(Livro-base p. 119-123).
	
	C
	u=(−2,5)u=(−2,5)
	
	D
	u=(2,−1)u=(2,−1)
	
	E
	u=(−3,−3)u=(−3,−3)