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Unoesc-Universidade do Oeste de Santa Catarina Campus de São Miguel do Oeste-SC ACSA – Área das Ciências Sociais Aplicadas Curso: ENGENHARIA CIVIL Componente Curricular: Álgebra Linear e Geometria Analítica Professor: Ms Erno Pedro Schwerz – erno.schwerz@unoesc.edu.br Quantidade de créditos 4 Período: 2014/1 Fase: 1 Acadêmico(a) ______________________________________________________________ MATRIZES Definição Intuitivamente, uma matriz é uma lista de números, dispostos em linhas e colunas, ou seja, é um tipo de tabela. apresenta-se uma matriz. A notação utilizada é bastante comum. A matriz acima tem 4 linhas e 3 colunas, então pode ser chamada de matriz 4 × 3 (matriz 4 por 3). Além disso, pode-se ter matrizes de muitas formas diferentes. A forma de uma matriz é o nome das dimensões da mesma (m por n, quando m é o número de linhas e n é o número de colunas). As matrizes são objetos matemáticos que além de permitirem uma boa organização espacial de conjuntos de dados numéricos, podem ser operadas com números (multiplicação por escalar) e com outras matrizes (sendo adicionadas, multiplicadas, etc). Entender as operações sobre matrizes é essencial para o aprendizado de Álgebra Linear. Uma matriz é formada por linhas, que são conjuntos de dados dispostos horizontalmente e por colunas, conjuntos de dados dispostos verticalmente. Cada elemento presente em uma matriz é indicado por uma letra minúscula que possui como índice um par ordenado que representa o número da linha e o da coluna. Costuma-se representar total de linhas de uma matriz pela letra m e o número total de colunas por n. Os valores de m e de n são as dimensões da matriz. De forma geral, numa matriz A de ordem m × n, o elemento é o símbolo na i-ésima linha e j-ésima coluna de A. Assim:. m x n As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, para de 1 a 3 e de 1 a 2, define a matriz 3×2 Tipos especiais de matrizes · Uma Matriz Quadrada é toda aquela na qual Isto é, ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. Na matriz quadrada, a diagonal principal é formada pelos elementos aij onde i = j. A outra diagonal recebe o nome de diagonal secundária. · Uma Matriz Linha é toda aquela na qual Isto é, ela possui apenas uma linha. · Uma Matriz Coluna é toda aquela na qual Isto é, ela possui apenas uma coluna. · Uma Matriz Diagonal é toda aquela na qual e cujo elemento se Isto é, possui todos os valores iguais à zero, exceto os elementos da diagonal principal . · Uma Matriz Escalar é toda aquela na qual cujo elemento se e Isto é, todos os valores são nulos, exceto os valores da diagonal principal que possuem sempre o mesmo valor. · Uma Matriz Nula é toda aquela cujos elementos Isto é, se todos os seus elementos forem nulos. · Uma Matriz Identidade é toda aquela na qual cujos elementos se e se Isto é, possui todos os valores nulos, exceto os valores da diagonal principal que valem sempre 1. Matriz Triangular Superior: E uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos (aij = 0 para todo i > j) 4 X 4 Matriz Triangular Inferior: E uma matriz quadrada onde todos os elementos acima da diagonal são nulos (aij = 0 para todo i < j) 4 X 4 Matriz Simétrica: É aquela onde m=n e aij=aji. É a matriz quadrada onde a primeira linha é igual a primeira coluna, a segunda linha é igual a segunda coluna e, assim, sucessivamente. 4 X 4 Matriz Anti-simétrica: É a matriz quadrada onde aij = -aij, ou seja, os elementos simétricos em relação à diagonal principal são opostos e os elementos da diagonal principal são nulos. Matriz Oposta: Dadas as matrizes A = (aij) mxn e B = (bij)mxn, dizemos que A é oposta de B se, e somente se, aij = -bij. e Matriz Transposta: Dada a matriz A, chamamos de transposta de A a matriz At, na qual as linhas de A são suas colunas , e vice-versa. · O número de linhas da matriz transposta será igual ao número de colunas da matriz original, assim como o número de colunas da transposta será igual ao número de linhas da original. Ou seja, se era será · Cada coluna de corresponderá a uma linha de e vice-versa. Igualdade de Matrizes Se duas matrizes A e B forem do mesmo tipo mxn, então os elementos com o mesmo índice são chamados elementos correspondentes. Duas matrizes A e B, do mesmo tipo sãoniguais se, e somente se, os elementos correspondentes de ambas forem iguais. Álgebra matricial Multiplicação por um escalar A multiplicação por um escalar é uma das operações mais simples que podem ser feitas com matrizes. Definição Exemplo Para multiplicar um número qualquer por uma matriz m×n basta multiplicar cada entrada de por Assim, a matriz resultante será também m×n e É impossível somar ou subtrair escalares de matrizes. A multiplicação por escalar possui as seguintes propriedades: · Associativa em relação ao Escalar: · Distributiva em relação ao Escalar: · Distributiva em relação à Matriz: · Elemento Neutro: Adição de Matrizes A adição de matrizes é outra operação bastante simples. Definição Sempre que uma matriz A é somada à uma matriz B, o resultado será uma matriz C, cujos elementos Exemplo Perceba que a operação de soma para matrizes de diferentes dimensões não é definida. A adição de matrizes possui as seguintes propriedades: · Propriedade Associativa: · Elemento Neutro: ( é uma Matriz Nula, não um escalar) · Simétrico Aditivo: · Comutatividade: Multiplicação de Matrizes A multiplicação de duas matrizes é bem definida apenas se o número de colunas da matriz da esquerda é o mesmo número de linhas da matriz da direita. Definição Se é uma matriz e é uma matriz então seu produto é a matriz (m linhas e p colunas) dada por: para cada par Exemplo Propriedades A multiplicação de matrizes tem as seguintes propriedades: · Associativa: · Distributivaem relação à Adição: · Elemento Neutro: se é uma matriz então onde representa a matriz identidade de ordem Note que, em geral, a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, geralmente tem-se Em muitos dos casos, a multiplicação pode não estar sequer definida: quando existe a multiplicação a multiplicação só pode existir no caso em que e são quadradas; mesmo assim, ainda pode ocorrer a não-comutatividade. EXERCÍCIOS 1. Escreva as matrizes: 1. A (2 x 3) = [aij], tal que aij = i + j 1. B (2 x 2) = [bij], tal que bij = i2 - 3j C (3 x 3) = [cij], tal que cij = i + j para i j e cij = 0 para i = j D(2, 4) = [dij], tal que dij = 0, se i j dij = 2i + 3j, se i < j dij = 1, se i = j 2) Construa a matriz A= (aij)2x3 de modo que aij = 3i2– j 3) (PUCC–SP - Adaptada) Seja a matriz A = ( aij ) 2 x 2, em que aij = i + j, se i = j e i – j, se i ≠ j. Determine a matriz respeitando essas condições e calcule A + A + A. 4) (PUC–SP–Adaptada) São dadas as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = – 4i – 3j. Considerando C = A + B, calcule a matriz C. 5) (CFTMG) Sendo as matrizes A = (aij) e B = (bij), quadradas de ordem 2 com aij = i2 – j2 e bij = - i2 + j2, o valor de A - B é 6) (UEL) Dadas as matrizes A = (aij)3x2, definida por aij = i - j; B = (bij)2x3, definida por bij = j; C = (cij) definida por C = A.B, é correto afirmar que o elemento c23 é: a) Igual ao elemento c12 b) Igual ao produto de a23 por b23 c) O inverso do elemento c32 d) Igual à soma de a12 com b11 e) Igual ao produto de a21 por b13 7) Dada a matriz A = ( aij)2x3 definida por aij = 3i + j , se i < j; 7 se i = j ; e i2 + j, se i > j. O valor da expressão 2.a23 + 3a22 - a21 = 8) Considere as matrizes e a) Obter a matriz tql que A + X = B b) Obter as matrizes X e Y tal que: 9) (FCMSCSP) Se A é uma matriz quadrada, define-se o TRAÇO de A como a soma dos elementos da diagonal principal de A. Nestas condições, o traço da matriz A = (aij) 3x3, onde , aij = 2i – 3j é:______________ 10) Determinea soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3x3 , onde aij = i + j se j ou aij = i – j se i < j . 11) Dadas as matrizes: e B = , 0 produto dos elementos da segunda linha de é : a) ( ) 1 b) ( ) -1 c) ( ) 0 d) ( ) 2 e) ( ) -2 12) Determine os valores de “x”, “y” e “z” para que as igualdades sejam verdadeiras. 1. = b) = 13) Dadas as matrizes A = , B = , C = e D = determine a matriz x, de modo que: a) X = 3A -2(B + A) b) X + 3C = B – C c) X = A . B – C d) X = A2 e) X = B x Dt f) X = D -D 14) Dadas as matrizes: e B = . Determine: a) A . B = b) B . A c) At . Bt = d) Bt . At e) A . I2 15) Sejam A = (aij)4x3 e B = (bij)3x4 duas matrizes definidas por aij = i + j e bij = 2i + j, respectivamente. Se A . B = C, então o elemento C32 da matriz C, é: 16) Sobre as sentenças: I – O produto de matrizes A3 x 2 . B2 x 1 é uma matriz 3 x 1. II – O produto de matrizes A5 x 4 . B 5 x 2 é uma matriz 4 x 2. III – O produto de matrizes A2 x 3 . B3 x 2 é uma matriz quadrada 2 x 2. É verdade que: a) ( ) somente I é falsa c) ( ) somente III e) ( ) I, II e III são falsas b) ( ) somente II é falsa d) ( ) somente I e III são falsas 17) Se . = , então a + b é igual a: 18) Resolva a equação matricial. . = 19) Calcule os seguintes determinantes: a= b) c) 20) Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem 2 e aij = j – i2 , o determinante da matriz A é: 21) ( CESCEM ) O produto M . N da matriz M = pela matriz N = : a) ( ) não se define b) ( ) é a matriz identidade de ordem 3 c) ( ) é uma matriz de uma linha e uma coluna d) ( ) é uma matriz quadrada de ordem 3 e) ( ) não é uma matriz quadrada 22) Determine o produto dos valores de x e y que satisfaçam a equação matricial: 23) Dadas as matrizes e seja P = ( 2A – C ) . B. Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz P. 24) Considere as matrizes A = e B = . Sejam M = ( A + Bt ) . ( At – B ), onde At e Bt são matrizes transpostas de A e B, respectivamente. O produto dos elementos mij com i = j da matriz M é: 25) Dada a matriz A = , determine o valor de A-1 + At – I2. 26) Resolva as equações: a) = 1 b) = -5x – 14 c) = 0 27) Calcule o determinante da matriz A, sendo: a) A = b) A = c)A = d) A = e) A = f)A = g) A = 28) ( PUC ) o co-fator do elemento a23 da matriz A = é : 29) Dadas as matrizes A e B tais que: e . O valor do determinante de A . B = 30) Dada a matriz , calcule a11 + a21 – a13 + 2a22. 31) Determine as inversas das matrizes: a) b) c) d) 32) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz A = (aij)3x3. Sendo 2j + 3i – 2. 33) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij = , determine a soma dos elementos a23 +a34. 34) Dada a matriz A = , obtenha a matriz x tal que x = A + At. 35) Calcular o det A, sendo A = (aij) 2x2 definida por ( - 1)i + j . 36)Calcule o det da matriz transposta da matriz 2 x 2,cujos elementos são: Aij = i + 2 j, se i j e aij = i2 – j, se i < j. 37) Resolva os seguintes sistemas de equações lineares a. b. c. 38) Calcule o determinante 21 30 A æö = ç÷ èø 03 12 B æö = ç÷ - èø 3 xyA xyB += -=- ³ 31 24 A - æö = ç÷ èø 22 04 B æö = ç÷ èø 11 42 BA - ú û ù ê ë é + - - 2 3 2 3 z y x z y x ú û ù ê ë é - - 25 21 8 2 ú û ù ê ë é - - 5 y x 5 x 3 x 9 x 2 ú û ù ê ë é - + - 5 9 x 10 20 ú û ù ê ë é - 4 2 5 3 ú û ù ê ë é - - 7 6 3 1 ú û ù ê ë é - - 1 1 4 0 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - 0 6 3 5 1 4 1 2 2 3 21 43 A æö = ç÷ èø 53 10 B æö = ç÷ - èø 32 14 æö ç÷ èø 1 2 a b æö ç÷ - èø 57 59 æö ç÷ - èø ú û ù ê ë é d c b a ú û ù ê ë é - 2 2 1 3 ú û ù ê ë é - 9 5 7 5 43 61 - æö ç÷ - èø 52 31 -- æö ç÷ - èø 325 413 234 æö ç÷ ç÷ ç÷ èø 1 1 1 æö ç÷ ç÷ ç÷ èø ( ) 111 43142 . 54273 x y --- æöæöæö = ç÷ç÷ç÷ - èøèøèø 102211100 013,030,010 412421001 ABC - æöæöæö ç÷ç÷ç÷ =-== ç÷ç÷ç÷ ç÷ç÷ç÷ - èøèøèø 10 21 12 æö ç÷ ç÷ ç÷ - èø 201 113 - æö ç÷ èø 53 32 A -- æö = ç÷ èø x 1 2 x 8 - + x 2 x 2 x 8 - + - x 1 0 0 x 1 1 5 4 - - - 336 479 821 A - æö ç÷ =- ç÷ ç÷ èø ú û ù ê ë é - - 2 7 4 5 ú û ù ê ë é - 5 1 10 0 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - - - 1 1 2 1 7 1 5 10 5 0 1 2 4 2 1 2 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 7 8 0 4 9 5 3 2 1 ú ú ú û ù ê ê ê ë é 4 3 2 1 5 1 2 4 3 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - 4 0 0 1 0 3 0 6 5 0 0 2 4 3 2 1 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é - - - 1 1 0 0 2 3 4 2 1 1 0 1 0 0 1 2 213 121 012 æö ç÷ ç÷ ç÷ èø 351 244 233 A -- æö ç÷ =- ç÷ ç÷ - èø 342 621 325 A - æö ç÷ =- ç÷ ç÷ - èø î í ì > £ + j i , . j i , se j i se j i ú ú ú û ù ê ê ê ë é 2 - 1 0 4 3 2 0 1 - 1 ( ) 258 A =- ³ 20 4 3 5 7 2 3 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = - + = + - - = - + x x x x x x x x x 1 4 4 2 3 2 5 2 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + - = + - = - + x x x x x x x x x 20 4 3 5 7 2 3 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = - + = + - - = - + x x x x x x x x x 1111 1111 1111 1111 æö ç÷ -- ç÷ ç÷ -- ç÷ -- èø 3 6 5 A æö ç÷ = ç÷ ç÷ èø 20 03 A æö = ç÷ èø 200 050 002 A æö ç÷ =- ç÷ ç÷ èø 20 02 A éù = êú ëû 500 050 005 A - æö ç÷ =- ç÷ ç÷ - èø 00 00 A æö = ç÷ èø ( ) 000 A = 2 10 10 I æö = ç÷ èø 3 100 010 001 I æö ç÷ = ç÷ ç÷ èø 2462 0535 0059 0000 - éù êú êú êú - êú ëû 3000 2500 1450 0423 éù êú êú êú - êú ëû 2312 3403 1010 2303 æö ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ èø 234 356 467 A æö ç÷ = ç÷ ç÷ èø 032 301 210 A æö ç÷ =- ç÷ ç÷ -- èø 23 143 302 x A - æö = ç÷ - èø 23 143 302 x B -- æö = ç÷ - èø 23 320 013 x A æö = ç÷ èø 32 30 21 03 t x A æö ç÷ = ç÷ ç÷ èø
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