atividade calculo iv

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Universidade Anhanguera 
Curso de Engenharias 
Disciplina: Calculo Diferencial e Integral IV 
Prof. Antonio C. Zena 
 
1. Um exemplo de série importante é a chamada série telescópica. A série 
1
1
( 1)n n n

= +
 é 
uma série desse tipo. Uma soma telescópica é uma soma do tipo: 
2 1 3 2 4 3 1 1( ) ( ) ( ) ... ( ) .n n na a a a a a a a a a−− + − + − + + − = − Denominam-se séries 
telescópicas aquelas que são o limite de uma soma telescópica: 
1 1
1
( ) lim( )n n n
xn
a a a a

+
→=
− = − 
Portanto, se a série telescópica for convergente, então existe e é finito o limite 
1lim( )n
x
a a
→
− 
Por outro lado, se existir e for finito o limite 1lim( )n
x
a a
→
− , então a série telescópica será 
convergente. 
Outros exemplos de séries telescópicas são: 
1
1 1
1n n n

=
 
− 
+ 
 e 
1
3
(2 1)(2 1)n n n

= − +
 
 
Considere a série ( )
1
1
n
n n

=
− + . Determine se a série é convergente ou divergente. 
 
2. Determine a soma da series infinitas e responda se as series convergem ou divergem: 
a) 
1
1
( 1)n n n

= +
 b) 
1
4 4 4 4
....
3 3 9 27nn

=
= + + + c) 0,012012012... 
 
3. Lembremos a definição de série convergente. 
Dizemos que a série 
1
i
i
a

=
 é convergente se a sequência  nS de suas somas parciais, 
definida por 
1
n i
n
S a

=
= for convergente. Se a sequência das somas parciais não for 
convergente, dizemos que a série 
1
i
i
a

=
 é divergente. 
Existe um outro critério para a verificação de convergência de séries. É o teste da Integral. 
Teste da Integral: considere f uma função contínua, decrescente para todo [1, )x  e 
tal que ( ) 0f x  . Para aplicar o teste da integral, adotamos ( )na f n= . Então vale que: 
i) Se a integral 
1
( )f x dx

 for convergente, então a série 
1
n
n
a

=
 será convergente. 
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ii) Se a integral 
1
( )f x dx

 for divergente, então a série 
1
n
n
a

=
 será divergente. 
Uma p-série será convergente se p > 1 e será divergente se 1p  . 
Existem vários testes para determinar se uma série é convergente, divergente ou 
absolutamente convergente. 
A seguir, apresentamos uma sugestão de estratégia para testar a convergência de séries: 
1. Teste se o limite lim 0n
x
a
→
= , a série diverge. Se o limite for nulo, a série pode 
convergir ou divergir. 
2. Avalie se a série é uma série geométrica. 
3. Avalie se a série é uma p- série. 
4. Avalie se é possível efetuar o teste da Integral. 
5. Avalie se os testes da razão ou da raiz são conclusivos. 
Usando os testes para convergência de séries estudados, análise a convergência ou 
divergência da série 
3
1
( )
n
sen n
n

=
 . 
4. Uma bola cai desde uma altura de 20 m. Cada vez que toca o solo sobe até ¾ de sua 
altura máxima anterior. Determine a distância que percorre a bola 
 
 
 
 
 
 
 
5. A expansão em série de Taylor de uma função f no ponto x a= é 
( ) (1) (2)
2
0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...
! 1! 2!
n
n
n
f a f a f a
f x x a f a x a x a
n

=
= − = + − + − + Se f e g são duas funções 
cujas séries de potencias sejam 
0
( ) nn
n
f x a x

=
= e 
0
( ) nn
n
g x b x

=
= , então, a série de 
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potências da função ( ). ( )f x g x é obtida pelo produto das séries 
0
n
n
n
a x

=
 e 
0
n
n
n
b x

=
 . 
Considere a função 2( ) 7 cos( )f x x x= . Determine uma representação em série de 
MacLaurin. 
 
6. Determine o intervalo de convergência da série de potência: 
3
1
( 1) ( 1)
3
n n
n
n
x
n

=
− +

 
 
 
 
7. Se uma função f é periódica com período T = 2L, os coeficientes de sua expansão em 
série de Fourier serão dados por: 
1
( )cos , 0,1,2,...
L
n
L
n x
a f x dx n
L L

−
 
= = 
 
 
 
1
( ) , 1,2,...
L
n
L
n x
b f x sen dx n
L L

−
 
= = 
 
 
A série de Fourier para f é dada por 0
1 1
( ) cos s
2
n n
n n
a n x n x
f x a b en
L L
  
= =
   
= + +   
   
  . 
Considere a função definida por: 
0, 4 0
( )
, 0 4
para x
f x
c para x
−  
= 
 
 , com período igual a 8. Determine os coeficientes 
da expansão em série de Fourier. 
 
8. Uma série infinita é uma expressão que pode ser escrita na forma 
.....aaaa 321
1n
n +++=

=
 onde os números a1, a2, a3, .... são chamados de termos da 
série e an de termo geral da série. Determine a soma da série infinita e responda se as 
serie converge ou diverge: 
1
1
( 1)n n n

= +
