Sequências e Séries Numéricas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
 
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 
 
1. Conceitos Preliminares 
 
Representamos por { }K,4,3,2,1,0=IN o conjunto dos números naturais e 
{ }K,4,3,2,1=∗IN . O subconjunto de IN constituído dos números pares será 
representado por { }*;2 INnnINP ∈= e o subconjunto dos números ímpares será 
representado por { }*;12 INnnINI ∈−= 
 
Definição 1: Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função 
IRINf →*: , que associa a cada número *INn ∈ um número real ( )nf . 
 
O n-ésimo termo ou termo geral da sequência f é representado genericamente por 
nnn xba ,, , etc. Para simplificar, denotaremos o termo geral na como a sequência f tal 
que ( ) nanf = 
 
Ex.:(1) 





K,
16
1,
9
1,
4
1,1 representa a sequência cujo termo geral é 2
1
n
an = . 
 
 (2) ( )K,1,1,1,1 −− representa a sequência cujo termo geral é ( )nna 1−= . 
 
 Definição 2: Dada uma sequência IRINf →*: , as restrições de f a subconjuntos 
infinitos de *IN serão denominadas subsequências de f . 
 
 Representamos a sequência f pelo seu termo geral ( )na , *INn ∈ , podemos afirmar 
que as subsequências de f , ou de ( )na , são as sequências ( )ka , com NIk ′∈ , sendo NI ′ 
um subconjunto não limitado (isto é, infinito) do conjunto *IN . 
 
 Ex.: As sequências 





K,
7
1,
5
1,
3
1,1 , 





K,
8
1,
6
1,
4
1,
2
1 e 





K
7
1,
5
1,
3
1,
2
1 são 
subsequências da sequência 





n
1 , onde consideramos para domínio o subconjunto NI ′ 
dado, respectivamente, por { }*;12 INnnINNI I ∈−==′ , { }*;2 INnnINNI P ∈==′ e 
{ }primoénINnNI ;*∈=′ . 
 
 Definição 3: Uma sequência ( )na é dita limitada superiormente quando existir um 
número real M, chamado cota superior da sequência, tal que *, INnMan ∈∀≤ . 
 
 Definição 4: Uma sequência ( )na é dita limitada inferiormente quando existir um 
número real m, chamado cota inferior da sequência, tal que *, INnam n ∈∀≤ . 
 
 Definição 5: Uma sequência ( )na é dita limitada quando é limitada superiormente e 
inferiormente, isto é, quando existir uma constante positiva C tal que 
*, INnCan ∈∀≤ . 
 
 Definição 6: Uma sequência ( )na é denominada monótona crescente ou não 
decrescente quando *1 , INnaa nn ∈∀≤ + . 
 
 Definição 7: Uma sequência ( )na é denominada monótona decrescente ou não 
crescente quando *1 , INnaa nn ∈∀≥ + . 
 
2. Sequências Convergentes 
 
 Definição 8: Dizemos que um número real l é limite de uma sequência ( )na , ou que 
a sequência ( )na converge para l, quando a seguinte condição for satisfeita: 
*
0,0 INn ∈∃>∀ε tal que 0, nnlan ≥∀<− ε 
 
* Obs.: 1. O número natural 0n da definição de limite em geral depende do número ε 
dado. 
 2. A desigualdade ε<− lan , 0nn ≥∀ estabelece que fora do intervalo aberto 
( )εε +− ll , existe no máximo um número finito de termos da sequência ou, em outras 
palavras, que todos os termos da sequência a partir do termo de ordem 0n estão dentro 
do intervalo aberto ( )εε +− ll , . 
 3. A convergência e o valor do limite da sequência não são alterados quando se 
retira ou acrescenta um número finito de termos nesta sequência. 
 4. Uma sequência convergente tem um único limite. 
 
Ex: 1. Considere a sequência cujo termo geral é 
1+
=
n
nan . Neste caso 1lim =+∞→ nn a . De 
fato, seja 0>ε dado, e observe que: 
11
1
11
1
−>⇔<
+
⇔<−
+ ε
εε n
nn
n 
A última desigualdade nos sugere escolher 0n como o primeiro natural maior do que 
11 −
ε
. É claro que outro número natural maior do que este 0n estabelecido também 
atende a definição de convergência. 
 
 Teorema: Toda sequência convergente é limitada. 
 Demonstração: 
 Seja ( )na uma sequência convergente com limite l. De acordo com a definição de 
limite, seja 1=ε , existe um índice *0 INn ∈ a partir do qual se tem 1<− lan . Usando a 
desigualdade triangular, podemos assegurar que: 
0,1 nnlllallaa nnn ≥∀+<+−≤+−= .(I) 
Os únicos termos da sequência ( )na , que possivelmente não atendem à condição (I) são: 
121 0
,,, −naaa K . Considerando o número real C como o maior entre os números 
121 0,,,,1 −+ naaal K , tem-se 
∗∈∀≤ INnCan , , logo ( )na é limitada. 
 
* OBS.: 1. Podemos verificar que uma dada sequência não converge, mostrando que ela 
não é limitada. 
 2. A recíproca do Teorema não é verdadeira, isto é, existem sequências que são 
limitadas e divergentes. Por exemplo: A sequência cujo termo geral é ( )nna 1−= é 
limitada, pois INnan ∈∀= ,1 , mas é divergente, pois não existe nn a+∞→lim . 
 3. Se uma sequência ( )na possui duas subsequências que convergem para 
limites diferentes, então não existe nn a+∞→lim e portanto a sequência ( )na é divergente. 
 
Ex: 1. A sequência cujo termo geral é ( )
n
nan
21ln +
= é convergente, pois: 
 
( ) 01lnlimlim
2
=
+
=
+∞→+∞→ n
na
nnn
 
 
 2. A sequência ( ) ( )( ) ( )K,1,1,1,1,1,1cos −−−== πnan é divergente, pois possui duas 
subsequências ( ) ( )K,1,1,112 −−−=−ka e ( ) ( )K,1,1,12 =ka que convergem para limites 
diferentes, pois 1lim 12 −=−+∞→ kk a e 1lim 2 =+∞→ kk a , logo não existe nn a+∞→lim . 
 
Teorema: Sejam ( )na e ( )nb sequências de números reais e sejam A e B números reais. 
Se Aann =+∞→lim e Bbnn =+∞→lim , então: 
 1. ( ) BAba nnn ±=±+∞→lim ; 
 2. ( ) BAba nnn ⋅=⋅+∞→lim ; 
 3. ,lim
B
A
b
a
n
n
n
=





+∞→
se 0≠B . 
A demonstração deste Teorema é semelhante a demonstração do teorema sobre as 
propriedades dos limites de funções de uma variável real. 
 
Ex: Sejam as sequências ( ) 





+
=
12n
nan e ( ) 










=
n
sennbn
π . Temos que: 
2
1lim =
+∞→ nn
a e π=
+∞→ nn
blim 
logo: ( ) π+=+
+∞→ 2
1lim nnn ba , ( ) π−=−+∞→ 2
1lim nnn ba , ( ) 2lim
π
=⋅
+∞→ nnn
ba e 
π2
1lim =





+∞→
n
n
n b
a . 
 
 
 
 
SÉRIES NUMÉRICAS 
 
 
DEFINIÇÃO 1: Seja a seguinte sequência numérica ( ) ( )KK ,,,,, 321 nn aaaaa = . A partir 
desta sequência, formamos uma nova sequência numérica ( )nS , cujos elementos são as 
somas parciais da sequência inicial ( )na , ou seja: 
KKK ,,,,, 21321321211 nn aaaSaaaSaaSaS +++=++=+== 
Esta nova sequência ( )nS , obtida a partir das somas parciais da sequência inicial, 
chama-se série numérica associada à sequência ( )na . 
 
* OBS.: 1) Usamos o seguinte simbolismo para denotar uma série infinita: 
KK ++++=∑
+∞
=
n
n
n aaaa 21
1
, 
onde KK ,,,, 21 naaa são os termos desta série. 
 
 2)Como 1211 −− +++= nn aaaS K e nnn aaaaS ++++= −121 K , temos 
nnn ass += −1 . 
 
 3) O problema principal da teoria das séries é determinar o seu caráter, ou seja, 
determinar quais das séries são convergentes e quais não são. 
 
DEFINIÇÃO 2: Dizemos que uma série ∑
+∞
=1n
na é convergente quando a sequência 
( )nS de suas somas parciais for convergente. Nesse caso, a soma da série é o limite da 
sequência ( )nS , isto é: 
nn
n
n Sa
+∞→
+∞
=
=∑ lim
1
. 
Quando uma série não converge, ela é denominada divergente. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Consideremos a série: K++++=∑
+∞
= 16
1
8
1
4
1
2
1
2
1
1n
n . Então, a seqüência 
das somas parciais é dada por: 
 
2
1
1 =S , 4
3
4
1
2
1
2 =+=S , 8
7
8
1
4
3
3 =+=S , 16
15
16
1
8
7
4 =+=S , 32
31
32
1
16
15
5 =+=S , K 
 
Então obtemos: nn
n
nS 2
11
2
12
−=
−
= , portanto 1
2
11limlim =




 −=
+∞→+∞→ nnnn
S , logo a série 
∑
+∞
=1 2
1
n
n converge e sua soma é 1=S . 
 
2) Consideremos a série harmônica K+++++=∑
+∞
= 5
1
4
1
3
1
2
111
1n n
. A figura a 
seguir representa o gráfico da função ( )
x
xf 1= , definida para 0>x . Observamos que 
sobre este gráfico estão os pontos 





n
n 1, . 
 
Comparando as áreas dos retângulos com a área sob o gráfico de f , concluímos 
que: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫≥+++++
n
dxxfnfffff
1
4321 K 
ou seja: 
INnn
n
∈∀≥+++++ ,ln1
4
1
3
1
2
11 K (1) 
 
 Como +∞=
+∞→
n
n
lnlim , de (1) deduzimos que: 
+∞=



 +++++=
+∞→+∞→ n
S
nnn
1
4
1
3
1
2
11limlim K 
 
Portanto a seqüência ( )nS é divergente. 
 
 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
 
Uma série do tipo ∑
∞
=
−
1
1
n
nrα é chamada de série geométrica, pois seus termos 
correspondem a uma progressão geométrica de razão 0≠r e 0≠α é o coeficiente 
desta série. A sequência de somas parciais ( )nS é dada por: 
132 −+++++= nn rrrrS ααααα K (1) 
e para 1=r , de (1) temos que nSn α= é divergente, nesse caso a se´rie geométrica 
diverge. Quando 1−=r , a sequência ( )nS é tal que 02 =nS e INnS n ∈∀=− ,12 α , o que 
mostra que ( )nS é uma sequência divergente e, nesse caso, a série também diverge. 
 Considerando 1≠r e multiplicando (1) por r, obtemos: 
n
n rrrrrSr ααααα +++++= K
432 (2) 
Então de (1) e (2) resulta: 
r
rSrSrS
n
n
n
nn −
−
=⇒−=−
1
1ααα (3) 
 Se 1<r , então 0lim =
+∞→
n
n
r , logo de (3) temos: 
rr
r n
n −
=





−
−
+∞→ 11
1lim αα e 
portanto a série converge e sua soma é 
r
S
−
=
1
α . 
 Se 1>r , então usando novamente (3), verificamos que a sequência 
( )nS diverge e, portanto, a série correspondente também diverge. 
 Resumindo: a série geométrica ∑
∞
=
−
1
1
n
nrα converge para 
r−1
α quando 1<r , e 
diverge quando 1≥r . 
 
 Exemplos de série geométrica: 
1) 
1
11 2
1
2
1
2
1 −∞
=
∞
=





= ∑∑
n
nn
n é uma série geométrica com razão 2
1
=r e coeficiente 
2
1
=α , logo esta série converge e sua soma é: 1
2
11
2
1
2
1
1
=
−
=∑
∞
=n
n 
2) ( ) K+−+−=−∑
∞
=
− 33331.3
1
1
n
n , é uma série geométrica com razão 1−=r e 
coeficiente 3=α , então temos: 02 =nS e INnS n ∈∀=− ,312 
3) K++++== ∑∑
∞
=
−
∞
=
168422.22
1
1
1 n
n
n
n , é uma série geométrica com razão 
2=r e coeficiente 2=α , neste caso temos: 
+∞=





−
−
=





−
−
=
+∞→+∞→+∞→ 21
212lim
1
1limlim
n
n
n
nnn r
rS α , logo a série diverge. 
4) K++++=∑
∞
=
22222
1n
, é uma série geométrica com razão 1=r e 
coeficiente 2=α , neste caso temos: +∞===
+∞→+∞→+∞→
nnS
nnnn
2limlimlim α , logo 
a série diverge. 
 
TEOREMA 1: (Teste do n-ésimo termo) Uma condição necessária para que a série 
∑
∞
=1n
na seja convergente é que 0lim =+∞→ nn a . 
Demonstração: 
 
 Seja ( )nS a sequência das somas parciais da série, temos que 1−−= nnn SSa . 
Suponha que a série ∑
∞
=1n
na é convergente, resulta que a sequência ( )nS converge para 
um número S, o mesmo ocorrendo com a subsequência ( )1−nS . Então: 
( ) 0limlimlimlim 11 =−=−=−= −+∞→+∞→−+∞→+∞→ SSSSSSa nnnnnnnnn . 
 
*OBS.: A condição 0lim =
+∞→ nn
a é necessária, mas não é suficiente para garantir a 
convergência da série ∑
∞
=1n
na .Por exemplo: já provamos que a série ∑
∞
=1
1
n n
 é divergente, 
embora 01lim =
+∞→ nn
. Mas podemos garantir que quando a sequência ( )na for divergente 
ou 0lim ≠
+∞→ nn
a , a série ∑
∞
=1n
na será divergente. 
 O Teorema 1 constitui-se no primeiro teste de convergência para séries. Ao 
investigarmos a convergência de uma série, em primeiro lugar observamos a 
convergência de seu termo geral, como mostra o esquema abaixo. 
 
 
 
*OBS.: Como no caso de sequências numéricas, o acréscimo ou a omissão de um 
número finito de termos não altera a convergência ou a divergência de uma série, 
podendo alterar o valor de sua soma. 
 
TEOREMA 2: Se as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb diferem apenas em uma quantidade finita de 
termos, então ambas são convergentes ou ambas são divergentes. 
 
Demonstração: 
 
 Por hipótese, existe um índice INn ∈0 a apartir do qual nn ba = e se ( )nS e 
( )nR são as sequências das somas parciais de ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb , respectivamente, para 
0nn > temos: 
nnn aaaaS +++++= KK 021 (4) 
nnn bbbbR +++++= KK 021 (5) 
E sendo nn ba = , a partir da ordem 0n , resulta de (4) e (5) que: 
 
( ) ( ) ( )[ ]
002211 nnnn
bababaRS −++−+−+= K (6) 
 Observando a relação (6) e levando em conta que a expressão entre colchete é 
constante, isto é, não depende de n, deduzimos que as sequências ( )nS e ( )nR são 
ambas convergentes ou ambas divergentes. 
TEOREMA 3: Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb duas séries numéricas e seja α um número real. 
(a) Se as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são convergentes, então as séries ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba e 
∑
∞
=1n
naα também convergem, e valem as relações: 
( ) ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
+=+
111 n
n
n
n
n
nn baba (7) 
 
∑∑
∞
=
∞
=
=
11 n
n
n
n aa αα (8) 
(b) Se ∑
∞
=1n
na é convergente e ∑
∞
=1n
nb é divergente, então a série ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba é 
divergente. 
(c) Se ∑
∞
=1n
na é divergente e 0≠α , então a série ∑
∞
=1n
naα é também divergente. 
 
Demonstração: 
 
 Prova da parte (a): Denotando ( )nS , ( )nR , ( )nU e ( )nV as sequências das 
somas parciais das séries ∑
∞
=1n
na , ∑
∞
=1n
nb , ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba e ∑
∞
=1n
naα , respectivamente, temos 
nnn RSU += e nn SV α= e, se as sequências ( )nS e ( )nR forem convergentes, então as 
sequências ( )nU e ( )nV também serão convergentes e, além disso: 
nnnnnn
RSU
+∞→+∞→+∞→
+= limlimlim e nnnn SV +∞→+∞→ = limlim α . 
 
 Prova da parte (b): Provaremos por absurdo. Se a série ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba fosse 
convergente, então a sequência ( )nU seria convergente e, portanto a sequência ( )nR 
também seria, já que nnn SUR −= . Isso implicaria na convergência da série ∑
∞
=1n
nb , o 
que contradiz a hipótese. 
 
 Prova da parte (c): Provaremos por absurdo. Se a série ∑
∞
=1n
naα fosse 
convergente, então a sequência ( )nV seria convergente, o mesmo ocorrendo com a 
sequência ( )nS , porque nn VS α
1
= . Novamente chegamos a uma contradição, já que, 
neste caso, a série ∑
∞
=1n
na é suposta divergente. 
 
*OBS.: Quando as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são ambas divergentes, o Teorema 3 não dá 
informação sobre a convergência da série ( )∑
∞
=
+
1n
nn ba , que pode convergir ou divergir. 
Por exemplo, as séries ∑
∞
=1
1
n n
 e ∑
∞
=
−
1
1
n n
 são ambas divergentes e a série obtida pela soma 
termo a termo é convergente, pois 011
1
=










−+∑
∞
=n nn
. 
 
 
SÉRIES DE TERMOS POSITIVOS 
 
 Uma série ∑
∞
=1n
na onde cada termo na é maior do que zero é denominada série de 
termos positivos. 
 
DEFINIÇÃO 3: Dizemos que a série ∑
∞
=1n
na é dominada pela série ∑
∞
=1n
nb quando 
INnba nn ∈∀≤ , . Nesse caso ∑
∞
=1n
na é a série dominada e ∑
∞
=1n
nb é a série dominante. 
 
TEOREMA 4: (Teste da Comparação) Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb duas séries de termos 
positivos. 
(a) Se a série ∑
∞
=1n
nb converge e INnba nn ∈∀≤ , , então a série ∑
∞
=1n
na também 
converge. 
(b) Se a série ∑
∞
=1n
na diverge e INnba nn ∈∀≤ , , então a série ∑
∞
=1n
nb também 
diverge. 
 
Demonstração: 
 
 Prova da parte (a): Sejam ( )nS e ( )nR as sequências das somas parciais das 
séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb , respectivamente. Pela hipótese temos que a série ∑
∞
=1n
nb 
converge e 
INnRS nn ∈∀≤≤ ,0 . (9) 
 Como ( )nR é uma sequência crescente, de limite R, temos que o número R é o 
menor limite superior (supremo) de ( )nR . 
 Por (9), R também é cota superior para a sequência crescente ( )nS , portanto 
existe nn S+∞→lim e este limite é menor ou igual a R. Logo a série ∑
∞
=1n
na converge. 
 Prova da parte (b): Se a sequência ( )nS das somas parciais da série ∑
∞
=1n
na 
diverge, então, pela definição de limite de uma sequência, temos 
que: εε >∈∃>∀ nSINn /,0 0 , se 0nn > . 
 Como INn ∈∀ e 0>∀ε temos ε≥≥ nn SR , então a sequência ( )nR também 
diverge. Logo a série ∑
∞=1n
nb diverge. 
 
*OBS.: Embora os resultados que envolvem uma série dominada por outra sejam, 
em geral, enunciados e demonstrados, admitindo-se que esse domínio ocorra para 
todos os termos das séries, eles continuam válidos quando uma das séries é 
dominada pela outra a partir de uma certa ordem. 
 
Exemplos: 
1) Considere a série ∑
∞
=1
ln
n n
n . A partir da relação ,3,1ln ≥∀≥ nn segue que 
3,1ln ≥∀≥ n
nn
n e, como a série harmônica ∑
∞
=1
1
n n
 é divergente, logo pelo Teste 
da Comparação temos que a série ∑
∞
=1
ln
n n
n é também divergente. 
2) Seja a série ∑
∞
=1 !
1
n n
. Podemos mostrar por indução que INnnn ∈∀≤− ,!2 1 , logo 
INn
n n
∈∀≤ − ,2
1
!
1
1 e, como a série geométrica ∑
∞
=
−
1
12
1
n
n converge, então a série 
∑
∞
=1 !
1
n n
 também converge. 
3) Se a série dominada for convergente, então a série dominante pode convergir ou 
divergir. Por exemplo, considerando a série ∑∑
∞
=
∞
=






+
−=
+ 11
2 1
111
nn nnnn
, cujo 
termo geral da sequência das somas parciais é: 
1
11
1
11
4
1
3
1
3
1
2
1
2
11
+
−=





+
−++




 −+




 −+




 −=
nnn
Sn K , 
é convergente, pois 1
1
11limlim =





+
−=
+∞→+∞→ n
S
nnn
. Entretanto temos que esta série 
é dominada pela série divergente ∑
∞
=1
1
n n
, pois INn
nnn
∈∀≤
+
,112 . 
De modo análogo, se a série dominante for divergente, então a série dominada 
pode convergir ou divergir. 
 
TEOREMA 5: (Teste da Integral) Consideremos uma função [ ) IRf →+∞,1: contínua 
e suponhamos que f seja não negativa e monótona decrescente, isto é: 
(a) ( ) 1,0 ≥∀≥ xxf ; 
(b) ( ) ( )yfxf ≥ , sempre que yx ≤≤1 . 
Nessas condições, a série ( )∑
∞
=1n
nf é convergente se, e somente se, a integral 
imprópria ( )∫
+∞
1
dxxf for convergente. 
 
Demonstração: Sendo ( )xf uma função monótona decrescente e não negativa, temos 
que: 
( ) ( ) ( ) 2,10
1
≥∀−≤≤≤ ∫ − nnfdxxfnf
n
n
 (10) 
E essas desigualdades podem ser facilmente deduzidas por observação das figuras 
abaixo. 
 
 
 Fazendo ( ) ( )∫==
n
nn dxxfRnfa 1, e denotando por ( )nS as somas parciais da 
série ( )∑
∞
=1n
nf , temos: 
( )∑
=
=++++=
n
k
nn kfaaaaS
1
321 K 
e usando (10) obtemos: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )10
,340
,230
,120
1
4
3
3
2
2
1
−≤≤≤
≤≤≤
≤≤≤
≤≤≤
∫
∫
∫
∫
−
nfdxxfnf
fdxxff
fdxxff
fdxxff
n
n
M
 (11) 
 Então de (11) temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1120
1
2
1
−++≤++≤++≤ ∫∫ − nffdxxfdxxfnff
n
n
KKK (12) 
ou seja: 
.2,0 11 ≥∀≤≤−≤ − nSRaS nnn (13) 
 Sendo monótonas as sequências ( )nS e ( )nR , segue das relações (13) que a 
limitação e, portanto, a convergência, de uma delas implica a limitação e, portanto, a 
convergência da outra. Isso prova que as sequências ( )nS e ( )nR são ambas 
convergentes ou ambas divergentes. 
Exemplos: 1) A função ( ) 2
1
x
xf = é contínua, não negativa e como ( ) 3
2
x
xf −=′ é 
negativa, 1≥∀x , então ( )xf é decrescente. A integral imprópria 11
1 2
=∫
∞+
dx
x
, logo a 
série correspondente ∑
∞
=1
2
1
n n
 converge. 
2) Podemos verificar que função ( )
xx
xf
ln
1
= também atende às condições do 
Teorema 5 para 2≥x e a integral imprópria ( )[ ] +∞==
+∞→
∞+
∫ tt xdxxx 22 lnlnlimln
1 , sendo 
divergente, o que implica na divergência da série ∑
∞
=2 ln
1
n nn
. 
 
*OBS.: 1) Quando utilizamos o Teste da Integral, o valor da integral imprópria não é 
necessariamente igual ao valor da soma da série, no caso desta convergir. O teste dá 
informação sobre a convergência sem indicar o valor da soma da série. 
 2) O Teste da integral é utilizado também para investigar a convergência das 
séries do tipo ∑
∞
=1
1
n
pn
, que são chamadas p-séries. 
 Quando 0≤p a p-série é divergente, pois neste caso o termo geral converge 
para 1, se 0=p e terá limite infinito se 0<p . 
 Para 0>p , a função ( ) pxxf
1
= definida para 1≥x atende as condições do 
Teorema 5 e, nesse caso, teremos: 
+∞=∫
∞+
dx
x1
1 e ( ),1
1
1lim1 1
1
−
−
= −
+∞→
∞+
∫ ptp tpdxx para 1≠p 
 Mas ,lim 1 +∞=−
+∞→
p
t
t se 1<p e ,0lim 1 =−
+∞→
p
t
t se 1>p , de modo que a integral 
imprópria dx
x p∫
∞+
1
1 converge quando 1>p e diverge quando 1≤p . Portanto a p-série 
∑
∞
=1
1
n
pn
 converge quando 1>p e diverge quando 1≤p . 
 
TEOREMA 6: (Teste da Comparação no Limite) Sejam ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb duas séries de 
termos positivos e seja 
n
n
n b
al
+∞→
= lim . 
(a) Se 0>l , então as séries ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são ambas convergentes ou ambas 
divergentes. 
(b) Se 0=l e ∑
∞
=1n
nb converge, então ∑
∞
=1n
na também converge. 
(c) Se ∞=l e ∑
∞
=1n
nb diverge, então ∑
∞
=1n
na também diverge. 
Demonstração: A demonstração é conseqüência imediata do Teste da Comparação. 
Na parte (a), fixando 0
2
>=
lε , na definição de limite de sequência, encontramos um 
índice INn ∈0 tal que 0,2
nnll
b
a
n
n ≥∀<− e, portanto 0,2
3
2
nnblabl nnn ≥∀≤≤ . 
Então se ∑
∞
=1n
nb converge, então ∑
∞
=1 2
3
n
nb
l converge e ∑
∞
=1n
na converge pelo teste da 
comparação. Se ∑
∞
=1n
nb diverge, então ∑
∞
=1 2n
nb
l diverge e ∑
∞
=1n
na diverge pelo teste da 
comparação. 
Na parte (b), fixando 0>ε , na definição de limite de sequência, encontramos um 
índice INn ∈0 tal que 0, nnb
a
n
n ≥∀< ε e como ∑
∞
=1n
na e ∑
∞
=1n
nb são duas séries de 
termos positivos tem-se 00 ,,0 nnbannb
a
nn
n
n ≥∀<⇔≥∀<< εε , logo se 
∑
∞
=1n
nb converge, então ∑
∞
=1n
nbε também converge e ∑
∞
=1n
na converge pelo teste da 
comparação. 
Na parte (c), dado 0>M , encontramos um índice INn ∈0 tal que 0, nnMb
a
n
n ≥∀> e 
portanto 0, nnbMa nn ≥∀> , então se ∑
∞
=1n
nb diverge, ∑
∞
=1n
nMb também diverge e ∑
∞
=1n
na 
diverge pelo teste da comparação. 
Exemplos: 1) Considere a série ∑
∞
= +1 53
2
n n
n , vamos compará-la com a série ∑
∞
=1
1
n n
, que é 
uma p-série com 1<p , logo é divergente. Através do teste da comparação pelo limite 
temos: 
0
3
2
53
2lim
1
53
2
lim >=
+
=+
+∞→+∞→ n
n
n
n
n
nn
, portanto a série ∑
∞
= +1 53
2
n n
n também diverge. 
2) Considere a série ∑
∞
=
−
1
2
n
ne , vamos compará-la com a série ∑
∞
=1
2
1
n n
, que é uma p-série 
com 1>p , logo é convergente. Através do teste da comparação pelo limite e 
considerando “x” como uma variável real, temos: 
01lim
2
2limlim1lim 222
2 20
0
2
====
+∞→+∞→
∞
∞
+∞→
−
+∞→ xxxxxx
x
x exe
x
e
x
x
e , então 01lim
2
2
=
−
+∞→
n
e n
n
 
Portanto a série ∑
∞
=
−
1
2
n
ne também converge. 
 
3) Considere a série ∑
∞
=2 ln
1
n n
, vamos compará-la com a série divergente ∑
∞
=1
1
n n
. Através 
do teste da comparação pelo limite e considerando “x” como uma variável real, temos: 
 
+∞====
+∞→+∞→
∞
∞
+∞→+∞→
x
x
x
x
x
x
nnxx
lim1
1lim
ln
lim1
ln
1
lim
0
0
, então +∞=
+∞→
n
n
n 1
ln
1
lim 
Portanto a série ∑
∞
=2 ln
1
n n
 também diverge. 
 
TEOREMA 7: (Teste da razão) Seja ∑
∞
=1n
na uma série de termos positivos e suponha 
que 
l
a
a
n
n
n
=+
+∞→
1lim 
Então: 
(a) a série ∑
∞
=1n
na converge se 1<l , 
(b) a série ∑
∞
=1n
na diverge se 1>l ou se ∞=l , 
(c) o teste é inconcludente se 1=l . 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
 Parte (a) Suponha que 1lim 1 <=+
+∞→
l
a
a
n
n
n
. Pela propriedade do conjunto dos 
números reais 0>∃k tal que 1<< kl . Além disso, se kl
a
a
n
n
n
<=+
+∞→
1lim , então 
k
a
aNnINN
n
n <⇒≥∈∃ +1/ , ou seja: 
N
m
mNmN
NNN
NNN
NN
akkaa
akkaa
akkaa
kaa
<<
<<
<<
<
−++
++
++
+
1
3
23
2
12
1
M
 
 
Essas desigualdades mostram que os termos da nossa série, depois do n-ésimo termo, se 
aproximam de zero mais rapidamente do que os termos em uma série geométrica com 
razão 1<k . Mais precisamente, considere a série∑
∞
=1n
nc , onde nn ac = para Nn ,,2,1 K= 
e KK ,,,, 221N
m
mNNNNN akcakckac === +++ Agora INnca nn ∈∀≤ , . 
 
( )KK
KK
++++++++=
=++++++++=
−
−
∞
=
∑
32
121
32
121
1
1 kkkaaaa
akakkaaaaac
NN
NNNNN
n
n 
 
A série geométrica K++++=∑
∞
=
− 32
1
1 1 kkkk
n
n converge porque 1<k , então ∑
∞
=1n
nc 
converge. Como INnca nn ∈∀≤ , , ∑
∞
=1n
na também converge. 
Parte (b) Suponha que l
a
a
n
n
n
=+
+∞→
1lim , onde ∞≤< l1 . A partir de algum índice M, 
11 >+
n
n
a
a e K<<< ++ 21 MMM aaa 
O termos da série ∑
∞
=1n
na não se aproximam de zero quando +∞→n , portanto a série 
diverge pelo teste do n-ésimo termo. 
 
Parte (c) Suponha que 1lim 1 ==+
+∞→
l
a
a
n
n
n
, neste caso, as séries ∑
∞
=1
1
n n
 e ∑
∞
=1
2
1
n n
 
mostram que algum outro teste para a convergência deve ser usado. 
Para ∑
∞
=1
1
n n
, temos 1
1
lim1
1
1
limlim 1 =
+
=+=
+∞→+∞→
+
+∞→ n
n
n
n
a
a
nn
n
n
n
 
Para ∑
∞
=1
2
1
n n
, temos ( )
( )
1
1
lim
1
1
1
limlim 2
2
2
2
1 =
+
=+=
+∞→+∞→
+
+∞→ n
n
n
n
a
a
nn
n
n
n
 
Em ambos os casos 1=l , mas a primeira série diverge, enquanto a segunda 
converge. 
 
*OBS.: O teste da razão frequentemente é eficaz quando: os termos da série contém 
fatoriais de expressões que envolvem n ou expressões elevadas a uma potência que 
envolva n. 
 
Exemplos: Investigue a convergência das séries a seguir: 
 
1) ∑
∞
=
+
0 3
52
n
n
n
 
Solução: Através do teste da razão temos: 
1
3
2
2.51
2.52lim
3
1
52
52lim
3
1
3
52
3
52
limlim
11
1
1 <=
+
+
=
+
+
=
+
+
= −
−
+∞→
+
+∞→
+
+
+∞→
+
+∞→ n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n a
a 
Logo a série ∑
∞
=
+
0 3
52
n
n
n
 converge. Isto não significa que a soma da série seja igual a 
3
2 . 
Na verdade temos: 
2
21
3
11
5
3
21
1
3
1.5
3
2
3
1.5
3
2
3
52
1
1
1
1
000
=
−
+
−





+




=




+




=
+ ∑∑∑∑∑
∞
=
−∞
=
−∞
=
∞
=
∞
= n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
 
2) ( )
( )∑
∞
=1
2!
!2
n n
n 
Solução: Através do teste da razão temos: 
( )
( )[ ]
( )
( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )
( ) 14
1
122lim
!2!1!1
!21222!!lim
!
!2
!1
!22
limlim
2
2
1 >=
+
+
=
++
++
=
+
+
=
+∞→+∞→+∞→
+
+∞→ n
n
nnnnn
nnnnn
n
n
n
n
a
a
nnn
n
n
n
 
Logo a série ( )
( )∑
∞
=1
2!
!2
n n
n diverge. 
 
TEOREMA 8: (Teste da raiz) Seja ∑
∞
=1n
na uma série com 0≥na para Nn ≥ e suponha 
que 
lan nn =+∞→lim 
Então: 
(a) a série ∑
∞
=1n
na converge se 1<l , 
(b) a série ∑
∞
=1n
na diverge se 1>l ou se ∞=l , 
(c) o teste é inconcludente se 1=l . 
 
Demonstração: 
 
 Parte (a) Suponha que 1lim <=
+∞→
lan nn . Escolha um 0>ε pequeno o suficiente 
para que 1<+ εl . Como lan n → , os termos n na acabam se aproximando de l a 
menos de ε . Em outras palavras, existe um índice INM ∈ tal que 
 
ε+< lan n , quando Mn ≥ 
Portanto também é verdade que ( )nn la ε+< para Mn ≥ . Mas ( )∑
∞
=
+
Mn
nl ε é 
uma série geométrica com razão 1<+ εl , logo converge. Por comparação, a série 
∑
∞
=Mn
na converge o que nos leva a concluir que ∑∑
∞
=
−
∞
=
+++=
Mn
nM
n
n aaaa 11
1
K converge. 
Parte (b) Suponha que lan nn =+∞→lim , onde ∞≤< l1 . Para todos os índices além 
de algum inteiro M, temos 1>n na , de modo que 1>na para Mn > . Os termos da 
série ∑
∞
=1n
na não convergem para zero, logo a série ∑
∞
=1n
na diverge pelo teste do n-ésimo 
termo. 
Parte (c) Suponha que 1lim ==
+∞→
lan nn . As séries ∑
∞
=1
1
n n
 e ∑
∞
=1
2
1
n n
 mostram que o 
teste não é conclusivo quando 1=l . A primeira série diverge e a segunda converge, mas 
em ambos os casos 1lim =
+∞→
n
nn
a . 
 
Exemplos: Investigue a convergência das séries a seguir: 
 
1) ∑
∞
=1
2
2n n
n 
Solução: Aplicando o teste da raiz temos: 
1
2
1
2
lim
2
limlim
22
<===
+∞→+∞→+∞→
n
n
n
nn
n
nn
nna , logo a série ∑
∞
=1
2
2n n
n converge 
 
2) 
( )∑
∞
=2 lnn n
n
n
n 
Solução: Aplicando o teste da raiz temos: 
( )
∞+===
∞
∞
+∞→+∞→+∞→ n
n
n
na
n
n n
n
n
n
nn ln
lim
ln
limlim , 
pois considerando “x” como uma variável real temos 
+∞===
+∞→+∞→
∞
∞
+∞→
x
x
x
x
nxx
lim1
1lim
ln
lim 
logo a série 
( )∑
∞
=2 lnn n
n
n
n é divergente. 
 
 
SÉRIES ALTERNADAS 
 
 
Uma série na qual os termos são alternadamente positivos e negativos é uma 
série alternada. 
 
Exemplos: 
1) ( ) K+−+−+−=−∑
∞
=
+
6
1
5
1
4
1
3
1
2
111
1
1
n
n
n
 
2) ( ) K+−+−+−=
+
−∑
∞
= 6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1n
n
n
n 
 
 
 
 
TEOREMA 9: (Teste da série alternada – Teorema de Leibniz) 
 
 A série 
( )∑
∞
=
+ +−+−=−
1
4321
11
n
n
n aaaaa K 
é convergente se todas as três condições a seguir forem satisfeitas: 
(a) os na forem todos positivos, 
(b) 1+≥ nn aa para todo Nn ≥ , para algum N natural, 
(c) 0lim =
+∞→ nn
a . 
Demonstração: 
 
 Se n é um inteiro par, digamos mn 2= , então a soma dos n primeiros termos é: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) mmm
mmm
aaaaaaaa
aaaaaaS
2122254321
21243212
−−−−−−−−=
=−++−+−=
−−
−
K
K
 
A primeira igualdade mostra que mS2 é a soma de m termos não negativos, uma 
vez que cada termos entre parênteses é positivo ou zero. Consequentemente, 
mm SS 222 ≥+ e a sequência ( )mS2 é crescente. A segunda igualdade mostra que 12 aS m ≤ . 
Como ( )mS2 é crescente e limitada superiormente, tem um limite: 
LS mm =+∞→ 2lim (14) 
Se n é um inteiro ímpar, digamos 12 += mn , então a soma dos n primeiros 
termos é 12212 ++ += mmm aSS . Como 0lim =+∞→ nn a , então 
0lim 12 =++∞→ mm a 
e, como +∞→m 
( ) LLaSS mmmmm =+=+= ++∞→++∞→ 0limlim 12212 (15) 
A partir dos resultados (14) e (15), temos que as sequências das somas parciais 
( )mS2 e ( )12 +mS tem um limite único, então LSnn =+∞→lim e a série ( )∑
∞
=
+−
1
11
n
n
n a converge. 
 
Exemplo: A série ( ) K+−+−+−=−∑
∞
=
+
6
1
5
1
4
1
3
1
2
111
1
1
n
n
n
 satisfaz as três 
condições do Teorema de Leibniz e, portanto converge. 
 
DEFINIÇÃO 4: (Convergência absoluta) Uma série ∑
∞
=1n
na converge absolutamente 
(ou é absolutamente convergente) se a série de valores absolutos correspondente, 
∑
∞
=1n
na converge. 
 
DEFINIÇÃO 5: (Convergência condicional) Uma série que converge, mas não 
converge absolutamente, converge condicionalmente (ou é condicionalmente 
convergente). 
 
TEOREMA 10: (Teste da convergência absoluta) 
 Se ∑
∞
=1n
na converge, então ∑
∞
=1n
na converge. 
Demonstração: 
 Para cada n temos: 
nnn aaa ≤≤− , assim nnn aaa 20 ≤+≤ 
 Se ∑
∞
=1n
na converge, então ∑
∞
=1
2
n
na converge, e pelo teste de comparação, a série 
não negativa ( )∑
∞
=
+
1n
nn aa converge. A igualdade ( ) nnnn aaaa −+= nos permite 
expressar ∑
∞
=1n
na como a diferença de duas séries convergentes: 
( ) ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−+=
111 n
n
n
nn
n
n aaaa 
Portanto ∑
∞
=1n
na converge. 
 
*OBS.: Podemos dizer que toda série absolutamente convergente é convergente, 
entretanto, a afirmação contrária não é verdadeira, pois existem muitas séries 
convergentes que não são absolutamente convergentes, como por exemplo: a série 
alternada ( )∑
∞
=
+−
1
11
n
n
n
 é convergente, mas a série de valores absolutos correspondente 
∑
∞
=1
1
n n
 é divergente. 
 
Exemplos: 
1) Para a série ( )∑
∞
=
+−
1
2
11
n
n
n
, a série de valores absolutos correspondente é a série 
convergente ∑
∞
=1
2
1
n n
, portanto a ( )∑
∞
=
+−
1
2
11
n
n
n
 é absolutamente convergente. 
2) Para a série ∑
∞
=1
2
n n
senn , a série de valores absolutos correspondente é ∑
∞
=1
2
n n
senn , 
que converge por comparação com a série ∑
∞
=1
2
1
n n
 porque INnsenn ∈∀≤ ,1 . A 
série ∑
∞
=1
2
n n
senn converge absolutamente, logo é convergente. 
3) A série ( )
12
11
1
1
+
+
−∑
∞
=
+
n
n
n
n é divergente, pois 0
2
1
12
1lim ≠=
+
+
+∞→ n
n
n
. 
 
 
 
 
 
TEOREMA 11: (TESTE DA RAZÃO PARA A CONVERGÊNCIA ABSOLUTA) 
 
 Consideremos uma série ∑
∞
=1n
na , onde cada termo na é diferente de zero e o 
la
a
n
n
n
=+
+∞→
1lim . 
Então: 
(a) a série ∑
∞
=1n
na é absolutamente convergente se 1<l , 
(b) a série ∑
∞
=1n
na diverge se 1>l ou se ∞=l . 
 
DEMONSTRAÇÃO: 
 
 Supondo que 1lim 1 <=+
+∞→
l
a
a
n
n
n
, escolhemos um número real r tal que 1<< rl , 
e na definição de limite de uma sequência consideramos lr −=ε . Existe um índice 
INn ∈0 , a partir do qual é válida a relação: 
lrl
a
a
n
n −<−+1 
ou de modo equivalente 
lrl
a
alr
n
n −<−<+− +1 (1) 
Segue de (1) que 01 , nnara nn ≥∀<+ , e nessa desigualdade, fazendo sucessivamente 
K,3,2,1, 0000 +++= nnnnn , obtemos: 
K,3,2,1,
00
=∀<+ kara n
k
kn (2) 
e como 10 << r , então a série geométrica ∑
∞
=1n
kr converge e de (2) mais o Teste da 
Comparação, deduzimos que a série ∑
∞
=
+
1
0
n
kna também converge. Para concluir que a 
série ∑
∞
=1n
na é convergente, é só aplicar o Teorema 2, pois as séries ∑
∞
=
+
1
0
n
kna e ∑
∞
=1n
na 
diferem por apenas uma quantidade finita de termos, logo ambas convergem. Isto prova 
a parte (a). Para provar a parte (b), admitimos que 1lim 1 >=+
+∞→
l
a
a
n
n
n
 e consideramos 
agora r tal que lr <<1 . Novamente da definição de limite de sequência tomamos 
rl −=ε , fixamos um índice INn ∈0 , a partir do qual se tem: 
εε +<<−=< + l
a
alr
n
n 11 (3) 
e daí obtemos 0,0 0 nnaa nn ≥∀<< e portanto a sequência ( )na , caso seja 
convergente, possui limite diferente de zero. Portanto pelo teste do n-ésimo termo 
deduzimos que a série ∑
∞
=1n
na diverge. 
 Exemplos: 
 1) Considere a série ( )∑
∞
=
−
1 !
1
n
nn
n
n , temos que: 
( )
( ) 1!1
!1limlim
1
1 >=
+
+
=
+
+∞→
+
+∞→
e
nn
nn
a
a
n
n
n
n
n
n
, 
 logo pelo Teste da Razão concluímos que a série diverge. 
 
 2) Considerando a série ( ) ( )[ ]∑
∞
=
−⋅⋅−
1 !24
125311
n
nn
n
n
nL , temos que: 
( )( )[ ]
( )[ ] ( ) 14
1
!12412531
!241212531limlim 11
1 <=
+−⋅⋅
+−⋅⋅
= +++∞→
+
+∞→ nn
nnn
a
a
nn
nn
n
n
n
n L
L , 
logo pelo Teste da Razão a série é absolutamente convergente. 
 3) Para cada uma das séries ( )∑
∞
=
−
1
2
1
n
n
n
 e ( )∑
∞
=
−
1
1
n
n
n
, temos que 1lim 1 =+
+∞→
n
n
n a
a e o 
Teste da Razão não se aplica. 
 
TEOREMA 12: (TESTE DA RAIZ PARA A CONVERGÊNCIA ABSOLUTA) 
 
 Dada uma série ∑
∞
=1n
na e suponha que lan nn =+∞→lim . Então: 
(a) a série ∑
∞
=1n
na converge absolutamente se 1<l , 
(b) a série ∑
∞
=1n
na diverge se 1>l ou se ∞=l . 
DEMONSTRAÇÃO: Análoga a demonstração do Teorema 8. 
 
Exemplos: 
 1) Considere a série: 
n
n n
n∑
∞
=






+
−
1 13
, podemos verificar pelo Teste da Raiz que: 
1
3
1
13
limlim <=





+
−=
+∞→+∞→
n
n
n
n
nn n
na , 
logo a série converge absolutamente. 
 2) Consideremos a série ( )∑
∞
=
−
1
2
2
n
n
n
, pelo Teste da Raiz 
temos: ( ) 122limlim 2 >=
−
=
+∞→+∞→
n
n
n
n
nn n
a , logo a série diverge.