Geometria-Analítica Faveni

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP
 
SUMÁRIO 
1 A ORIGEM DA GEOMETRIA ANALÍTICA ............................................................ 4 
1.1 O que é Geometria Analítica? ............................................................................... 4 
1.2 Onde usá-la ou encontrá-la? ................................................................................. 6 
1.3 As bases da Geometria Analítica .......................................................................... 7 
1.4 O que a Geometria Analítica estuda? ................................................................... 9 
2 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO E NO ESPAÇO ............... 11 
3 COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA ..................................................... 13 
4 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL .............................. 16 
4.1 Conceitos Básicos .............................................................................................. 16 
5 OPERAÇÕES COM VETORES .......................................................................... 17 
5.1 O Plano Cartesiano e o Espaço Tridimensional .................................................. 17 
5.2 Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar ................................................... 20 
6 PRODUTO ESCALAR ........................................................................................ 24 
6.1 Propriedades do produto escalar ........................................................................ 25 
6.2 Ângulo entre dois vetores ................................................................................... 25 
7 APLICAÇÃO DE VETORES NA FÍSICA ............................................................. 26 
7.1 Soma de vetores ................................................................................................. 27 
7.2 Diferença de vetores ........................................................................................... 27 
7.3 Produto de um número escalar por um vetor ...................................................... 28 
7.4 Produto escalar ................................................................................................... 30 
7.5 Ângulo entre dois vetores ................................................................................... 31 
8 ACELERAÇÃO E VELOCIDADE VETORIAIS .................................................... 32 
8.1 Velocidade Vetorial ............................................................................................. 32 
8.2 Aceleração Vetorial ............................................................................................. 34 
9 EQUAÇÕES DA RETA ....................................................................................... 37 
9.1 Equações fundamental da reta ........................................................................... 37 
 
 
 
9.2 Equação geral da reta ......................................................................................... 38 
9.3 Equação reduzida da reta ................................................................................... 39 
9.4 Equação segmentária da reta ............................................................................. 39 
10 CÍRCULOS NO PLANO ...................................................................................... 40 
10.1 Circunferência ................................................................................................... 40 
10.2 Equações da circunferência .............................................................................. 41 
11 RETAS E ESFERAS NO PLANO TRIDIMENSIONAL ........................................ 42 
11.1 Equação vetorial e paramétrica de uma reta no espaço ................................... 42 
11.2 A equação da esfera ......................................................................................... 46 
12 SEÇÕES CÔNICAS ............................................................................................ 47 
12.1 Elipse ................................................................................................................ 48 
12.2 Elementos ......................................................................................................... 49 
12.3 Relação fundamental ........................................................................................ 50 
12.4 Excentricidade .................................................................................................. 50 
12.5 Equações da elipse ........................................................................................... 50 
12.6 Hipérbole .......................................................................................................... 51 
12.7 Elementos ......................................................................................................... 53 
12.8 Equações de hipérbole ..................................................................................... 54 
12.9 Assíntotas da hipérbole .................................................................................... 56 
12.10 Medida algébrica de um segmento ................................................................. 62 
13 SUPERFÍCIES QUADRÁTICAS ......................................................................... 62 
13.1 A história das superfícies quádricas ............................................................... 62 
14 TIPOS DE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS ............................................................ 63 
15 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ..................................................................................... 74 
 
 
 
 
4 
 
1 A ORIGEM DA GEOMETRIA ANALÍTICA 
Todas as ideias matemáticas relacionam-se entre si, num dado momento ou 
em outro, porém o fato é que existe uma relação explícita ou implícita entre elas. Foi 
dessa forma, que o matemático e filósofo francês René Descartes concebeu 
a geometria analítica. Como à época álgebra e geometria eram cartas do mesmo 
baralho, mas tratadas como disjuntas, Descartes se dedicou a união dessas duas 
áreas do conhecimento matemático, para ele claramente correlacionáveis. 
Em seu livro, o discurso do método, publicado em 1637, Descartes mostra que 
as ciências deveriam ser guiadas pela matemática, isso devido a sua exatidão e 
possibilidades de experimentação. Foi nesse mesmo livro que René demonstrou o 
grande campo de aplicabilidades da geometria analítica. Porém, as indicações sobre 
quem possivelmente seria o patrono da G.A. (Geometria Analítica) não formam um 
senso comum. Muitos historiadores dão crédito também ao matemático Pierre de 
Fermat, vistos os seus estudos no campo das equações que representavam curvas 
no plano. Além disso, outros estudiosos apontam esse conhecimento como advindo, 
ora dos egípcios, ora dos gregos ou romanos. 
 
 
Fonte: www.infoescola.com 
1.1 O que é Geometria Analítica? 
 A geometria analítica, veio do ideal de unir álgebra e geometria. Num plano 
coordenado, podem ser localizadas retas, curvas, círculos, ou seja, todos os conceitos 
https://www.infoescola.com/filosofos/rene-descartes/
https://www.infoescola.com/profissoes/historiador/
 
5 
 
fundamentados na ideia primitiva de ponto, afinal todas essas figuras nada mais são 
que conjuntos de pontos. 
 
 
Plano Cartesiano 
 
 
O plano coordenado, mais conhecido como Plano Cartesiano, é formado por 
dois eixos, um vertical, eixo y (eixo das ordenadas) e um horizontal, eixo x (eixo das 
abcissas), que formam quatro quadrantes, como mostra a figura ao lado. Esses dois 
eixos se coincidem num ponto comum chamado origem do plano, ou ponto (0,0). Um 
ponto é, desta forma, representado por dois valores numéricos, sendo que o primeiro 
corresponde a x e o segundo a y – (x,y) –. Esse par, ou par ordenado, ou ainda 
coordenadas cartesianas, no plano,indica um ponto. 
Perceba que, a partir da álgebra, poderemos chegar a uma representação 
geométrica no plano, e vice-versa. No Plano de Descartes estão localizadas as 
definições matemáticas, antes apenas embutidas na geometria euclidiana (plana). 
Vejam na figura a seguir a representação de pontos no plano e entenda como ele 
funciona. 
 
https://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2013/07/plano-cartesiano.jpg
 
6 
 
1.2 Onde usá-la ou encontrá-la? 
A geometria analítica é a base de grandes campos de estudos matemáticos em 
dias atuais, mas também é muito utilizada em atividades não explicitamente 
matemáticas. Seja na geometria algébrica, física, geometria diferencial, engenharia e 
outras, ou ainda na vida prática como nos mapas, satélites e no moderno Sistema de 
Posicionamento Global, GPS (sigla em inglês) ela está presente. 
Podemos utilizar o sistema de coordenadas para nos localizar, localizar 
pessoas ou imóveis, tendo por referência um ponto de origem (no qual estamos no 
momento), os eixos (ruas, avenidas, etc.) e um ponto de chegada (local no qual 
queremos chegar), como ilustra a imagem ao lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fonte: www.infoescola.com 
EXEMPLOS: 
 
 Igreja (D, 9) 
 Cinema (L, 5) 
Não importa quem foi o criador da geometria analítica, embora todos os seus 
contribuintes tenham muito mérito e mereçam a nossa admiração, gratidão e respeito, 
o importante é que essa descoberta revolucionou as nossas vidas, tornando-as mais 
práticas, convenientes e esclarecidas. Saber se deslocar num determinar espaço, 
mesmo que ele ainda lhe seja desconhecido, nos permite conhecer novos mundos, 
novos campos de conhecimentos, de conquistas, de descobertas. 
A geometria analítica guia os nossos passos a cada instante das nossas vidas. 
Em momentos ela é útil aos profissionais da matemática, da física, da engenharia, etc. 
http://www.infoescola.com/
 
7 
 
Em outros ela favorece aqueles que utilizam a matemática ou outras ciências 
inconscientemente, os leigos dos aspectos técnicos, porém essenciais ao 
funcionamento do mundo. 
“A cada ponto, uma localização; a cada localização, um mundo que se revela”.1 
 
 
Fonte: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
1.3 As bases da Geometria Analítica 
A base da geometria analítica está em representar os pontos de uma reta 
utilizando os números reais. Cada ponto de uma reta é representado por (ou 
representa) um único número real. Esse número real é obtido pela distância entre o 
referido ponto e a origem da reta, que é o ponto relacionado com o número zero. 
O conceito de distância, portanto, é um dos mais importantes dentro 
da Geometria Analítica. Por meio dele são definidos outros conceitos importantes, 
como os de círculo e circunferência. Além disso, a maioria das definições algébricas 
de figuras geométricas é obtida por intermédio do conceito de distância. 
 
 
1 Texto extraído de https://www.infoescola.com/geometria-analitica/ 
http://www.mundoeducacao.bol.uol.com.br/
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/distancia-entre-dois-pontos.htm
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/circulo-circunferencia.htm
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
Posteriormente, essa ideia foi expandida para a representação de pontos no 
plano, de modo que cada ponto do plano é representado por um único par de números 
reais conhecido como par ordenado. 
A imagem abaixo ilustra como o par ordenado (2,1) representa o ponto A. 
 
 
 
Já os pontos do espaço são representados por um conjunto de três números 
reais, conhecidos como ternos ordenados. Cada terno ordenado representa apenas 
um único ponto no espaço. 
 
9 
 
 
 
Se um ponto pertence a uma reta e é representado por um número real, 
dizemos que o espaço onde esse ponto está localizado (a reta) possui apenas uma 
dimensão e o número real é chamado de coordenada do ponto. 
Caso o ponto pertença a um plano, é representado por um par de números 
reais. O espaço onde está localizado (o plano) possui duas dimensões e esse ponto 
possui duas coordenadas. 
Desse modo, o número de coordenadas que um ponto possui é igual ao número 
de dimensões que possui o espaço onde esse ponto está localizado. O ponto 
pertencente ao espaço tridimensional, por exemplo, possuirá três dimensões e será 
representado por três coordenadas. A figura acima retrata o ponto A, que pertence ao 
espaço tridimensional e é representado pelo terno ordenado (x,y,z). 
1.4 O que a Geometria Analítica estuda? 
Qualquer objeto matemático, figura geométrica, forma, etc., que esteja no 
espaço pode ser representado geometricamente por um desenho ou algebricamente 
por uma fórmula matemática. Essa fórmula é o que materializa a Geometria 
Analítica e conecta a geometria à álgebra. 
O estudo de Geometria Analítica geralmente é dividido nos seguintes tópicos: 
 
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Estudo Analítico do Ponto 
1 – O que é ponto e localização? 
2 – Plano Cartesiano 
3 – Distância entre dois pontos 
4 – Conjuntos de pontos 
 
Estudo Analítico da Reta 
1 – Equação geral da reta 
2 – Posições relativas entre retas 
3 – Ângulo entre retas 
4 – Paralelismo 
5 – Perpendicularidade 
6 – Distância entre ponto e reta 
 
Estudo analítico da circunferência 
1 – Equação da circunferência 
2 – Posição relativa entre ponto e circunferência 
3 – Posição relativa entre reta e circunferência 
4 – Posição relativa entre circunferência e circunferência 
 
Vetores 
1 – O que são e representação de vetores 
2 – Operações básicas envolvendo vetores 
3 – Ângulo entre vetores 
 
Cônicas 
 
1 – Elipse 
2 – Hipérbole 
3 – Parábola2 
 
 
2 Texto extraído de https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/geometria-analitica.htm 
 
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2 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
 
 
 Sistema cartesiano ortogonal no plano: um sistema de eixos 
ortogonais no plano é constituído de duas retas orientadas x e y, perpendiculares entre 
si e de mesma origem O. Denominamos a reta orientada x de eixo das abcissas, eixo 
x ou ainda eixo horizontal, enquanto a reta orientada y é o eixo das ordenadas, eixo y 
ou ainda eixo vertical. Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, ordenados no 
sentido horário. É uma mera convenção de sentido, não haveria nenhum ganho ou 
prejuízo escolhendo-se o sentido anti-horário para ordenar os quadrantes. 
Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos 
eixos, determinando neles os pontos Px e Py, de tal sorte que x = OPx e y = OPy. As 
coordenadas x e y de um ponto são casos particulares de projeção ortogonal de um 
ponto P sobre um eixo. 
Desta forma, podemos associar a cada ponto P do plano um par de 
coordenadas de números reais. Assim o ponto P fica determinado pelas suas 
coordenadas cartesianas ou também chamadas de coordenadas retangulares: 
P= (x, y) 
 
 
12 
 
Temos, respectivamente, a primeira (x) e a segunda (y) coordenadas de P. 
Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único 
ponto P. Observe que a correspondência biunívoca entre pontos e pares de 
coordenadas no plano é uma função bijetora. No espaço de três ou mais dimensões 
a mesma correspondência se repete. Cuidado com a confusão entre gráfico de função 
e equações que representam figuras geométricas! As coordenadas de cada ponto de 
uma função de uma ou mais variáveis sempre são únicas, independentemente da 
função ser bijetora ou não. Mas o valor da função em um ponto não necessariamente 
é calculado por apenas um valor ou valor (es) real (is). Ex: uma função par. 
Observação: o sistema cartesiano pode não ser ortogonal, com eixos não 
perpendiculares entre si. O fato dos eixos serem perpendiculares entre si nos oferece 
algumas propriedades algébricas e geométricas que não seriam possíveis num 
sistema não ortogonal. Neste site não são abordados sistemas de coordenadas não 
ortogonais.Sistema cartesiano ortogonal no espaço: no espaço tridimensional adiciona-
se um terceiro eixo, o eixo z ou eixo das cotas. Os três eixos: ordenada, abscissa e 
cota, dividem o espaço em oito partes chamadas de octantes ou oitantes. 
No espaço um ponto fica caracterizado por uma tripla, chamada de terna: 
P= (x, y, z) 
 
 
13 
 
Dimensões maiores: para quatro ou mais dimensões o eixo adicional não tem 
mais nomes, mas a propriedade deles serem ou não ortogonais para definirmos 
sistemas de coordenadas ortogonais ou não continua válida. A função bijetora que 
associa pontos no espaço e as suas respectivas coordenadas continua sendo válida. 
Na grande maioria dos casos utiliza-se uma base ortonormal para encontrar 
pontos no espaço. Adota-se um ponto O chamado de origem e uma 
base E={e→x,e→y,e→z}. As coordenadas de qualquer ponto no espaço ficam 
determinadas pela soma do ponto O com uma combinação linear dos vetores da base, 
assim: P=O+ae→x+be→y+ce→z, de maneira que o vetor que desloca o ponto origem 
até P é OP−→−=ae→x+be→y+ce→z. Note que se O=(0,0,0) teremos que a 
terna (a,b,c) coincidirá, numericamente, tanto com as coordenadas do 
vetor OP−→− quanto do ponto P. 
Os vetores da base não precisariam ser dois a dois ortogonais, mas o fato de 
termos uma base ortogonal permite utilizar as propriedades geométricas do produto 
escalar, vetorial e misto. As normas dos vetores também poderiam ser diferentes entre 
si, mas tendo todos os vetores norma 1 facilita muito na expressão das coordenadas 
de um ponto.3 
 
3 COORDENADAS CARTESIANAS NA RETA 
Definições 
I) Eixo cartesiano 
Toda reta orientada, com uma base estável e com um segmento adotado como 
unitário é denominado Eixo cartesiano 
 
(o) = origem 
(U) = unidade 
(e) = eixo 
 
 
 
3 Texto extraído de http://vectorsandgeometry.wikidot.com/1-2-coordenadas-no-plano 
 
14 
 
II) Medida Algébrica 
 
A medida algébrica de um segmento orientado entre o eixo (e) é um número 
verdadeiro, do qual o módulo representa o tamanho do segmento e cujo sinal seja 
positivo ou negativo, assim como o sentido do segmento concorde ou discorde do 
sentido de eixo: 
Vejamos o exemplo: 
 
 
 
 
 
III) Abscissa 
 
(e) representa o eixo cartesiano. 
A cada ponto P de e equivale a um único número verdadeiro xp e mutuamente. 
Desta forma: 
“Há uma aplicação bijetora entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos 
pontos de eixo cartesiano e”. 
Circunstancialmente: 
“A abscissa de um ponto P sobre um eixo cartesiano e é o número 
verdadeiro xp que a ele corresponde. 
 
 
 
15 
 
Na representação: 
 
P (Xp) ………. abscissa de P é XP. 
A (XA)………. abscissa de A é XA. 
 
Note que a abscissa de um ponto de um eixo é na verdade a medição algébrica 
do segmento . 
A base separa o eixo em dois grupos de pontos: Abscissas positivas e 
negativas. 
 
 
Medida algébrica de um segmento orientado 
 
Sendo as abscissas de pontos A e B de e, determinaremos o cálculo algébrico 
(AB) do segmento orientado . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando A (XA) e B (XB), a Relação de Chasles, temos: 
OA + AB + BO = 0 ⇔ OA + AB – OB = 0 AB = OB – OA 
Assim: AB = XB – XA4 
 
4 Texto extraído de https://www.colegioweb.com.br/coordenadas-cartesianas-no-plano/coordenadas-
cartesianas-na-reta.html 
 
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4 VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 
4.1 Conceitos Básicos 
Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A, B) de pontos do 
espaço Euclidiano, no qual o ponto A é a origem e o ponto B é a extremidade. Os 
segmentos orientados (A, A) são ditos nulos. É importante observar que se A 6= B, o 
segmento orientado (A, B) é diferente do segmento orientado (B, A). 
 
 
 
 
 
 Ilustração do segmento orientado (A, B), com origem no ponto A e extremidade no ponto B. A 
utilização da flecha, indica que o foi fixada uma orientação. 
Dizemos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) tem o mesmo 
comprimento, módulo ou norma, se os segmentos geométricos AB e CD tem o mesmo 
comprimento. 
 
 
Considere os segmentos orientados (A, B) e (C, D) não–nulos. Dizemos que os 
segmentos orientados (A, B) e (C, D) tem a mesma direção se os segmentos 
geométricos AB e CD são paralelos, que indicamos AB k CD, incluindo o caso em que 
as retas suportes são coincidentes. Assim, dizemos que os segmentos orientados (A, 
B) e (C, D) são paralelos. 
Considere os segmentos orientados (A, B) e (C, D) com a mesma direção, e as 
 
17 
 
retas suportes dos segmentos geométricos AB e CD distintas. Dizemos que os 
segmentos orientados (A, B) e (C, D) tem o mesmo sentido se os segmentos 
geométricos AC e BD tenham intersecção vazia. Caso contrário, dizemos que os 
segmentos orientados (A, B) e (C, D) tem sentido contrário. 
 
5 OPERAÇÕES COM VETORES 
5.1 O Plano Cartesiano e o Espaço Tridimensional 
O plano cartesiano IR2 = IR × IR é o exemplo mais importante de produto 
cartesiano. Os elementos (x, y) ∈ IR2 são os pares ordenados de números reais. Os 
pares ordenados, de certa forma, podem representar as coordenadas cartesianas de 
um ponto P de um plano Π, onde x é a abscissa e y é a ordenada, quando fixamos 
nesse plano um par de eixos ortogonais, que vamos indicar por OX e OY, denominado 
eixo das abscissas e eixos das ordenadas, respectivamente, que se interceptam no 
ponto O = (0, 0), chamado origem do sistema de coordenadas. 
Dado o ponto P ∈ Π, a abscissa de P é o número x, coordenada do pé da 
perpendicular baixada do P sobre o eixo OX, enquanto a ordenada de P é o número 
y, coordenada do pé da perpendicular baixada de P sobre o eixo OY. Assim, dizemos 
que (x, y) é o par de coordenadas do ponto P relativamente ao sistema de eixos 
ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
Podemos observar que os eixos OX e OY dividem o plano em quatro regiões, 
chamadas quadrantes, caracterizadas pelos sinais das coordenadas de seus pontos. 
Desse modo, no primeiro quadrante, tem–se x ≥ 0 e y ≥ 0. No segundo quadrante, 
tem–se x ≤ 0 e y ≥ 0. No terceiro quadrante, tem–se x ≤ 0 e y ≤ 0. No quarto quadrante, 
tem–se x ≥ 0 e y ≤ 0. 
A aplicação f: Π −→ IR2 que associa a cada ponto P do plano Π seu único par 
de coordenadas f (P) = (x, y), relativamente ao sistema de eixos ortogonais, é uma 
bijeção, isto é, uma correspondência biunívoca entre os elementos de IR2 e de Π. 
Dessa maneira, temos que a aplicação f −1: IR2 −→ Π associa a cada par de 
coordenadas (x, y) de IR2 um único ponto f −1 (x, y) = P do plano Π. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a aplicação f permite traduzir conceitos e propriedades geométricas 
para uma linguagem algébrica e, reciprocamente, permite interpretar 
geometricamente relações entre números reais. Assim, podemos dizer que IR2 é o 
modelo aritmético do plano Π, enquanto o plano Π é o modelo geométrico do plano 
numérico IR2. Assim, com a identificação entre IR2 e um plano Π do espaço 
Euclidiano, realizada pela bijeção f, podemos olhar para o IR2 como um plano, plano 
numérico, e chamaremos seus elementos P = (x, y) de pontos. Utilizando essa nova 
linguagem, que relaciona conceitos algébricos com conceitos geométricos, vamos 
melhorar nosso entendimento sobre as propriedades das funções reais. 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualmente aos vetores, cada ponto do plano é dado por duas coordenadas e 
cada ponto do espaço tridimensional por três coordenadas. Assim, A = (2, −1) e Q = 
(x, y) são os pontos marcados. Podemos entender que o vetor ~w = (x, y) representa 
a classe de equivalência definida pelo segmento orientado (O, Q) que tem por origem 
o ponto O = (0, 0) e por extremidade o ponto Q. O vetor ~v = (−1, 1) representa a 
classe de equivalência associada ao segmento orientado (A, B) com origem no ponto 
A = (2, −1) e com extremidade no ponto B = (1, 0). 
De modo análogo, o espaço numéricotridimensional IR3 = IR×IR×IR ´e um 
outro exemplo importante de produto cartesiano. Os elementos (x, y, z) ∈ IR3 são as 
ternas ordenadas de números reais. As ternas ordenadas surgem como as 
coordenadas cartesianas de um ponto P do espaço tridimensional IE3, quando 
fixamos nesse espaço tridimensional um sistema de três eixos ortogonais, que vamos 
indicar por OX, OY e OZ, que se interceptam no ponto O = (0, 0, 0), chamado origem 
do sistema de coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A aplicação f: IE3 −→ IR3 que associa a cada ponto P do espaço tridimensional 
IE3 sua única terna de coordenadas f (P) = (x, y, z), relativas a um sistema de três 
 
20 
 
eixos ortogonais, é uma bijeção, isto é, uma correspondência biunívoca entre os 
elementos de IR3 e de IE3. Desse modo, temos que a aplicação f −1: IR3 −→ IE3 
associa a cada terna ordenada (x, y, z) de IR3 um único ponto f −1 (x, y, z) = P do 
espaço tridimensional IE3 
Assim, podemos dizer que o espaço numérico tridimensional IR3 é o modelo 
aritmético do espaço tridimensional IE3, enquanto que o espaço tridimensional IE3 é 
o modelo geométrico do espaço numérico IR3 . Desse modo, com a identificação entre 
o espaço numérico IR3 e o espaço tridimensional IE3, da Geometria Euclidiana, 
realizada pela bijeção f, podemos olhar para o IR3 como sendo o espaço numérico 
tridimensional, e chamaremos seus elementos P = (x, y, z) de pontos. 
5.2 Adição de Vetores e Multiplicação por Escalar 
Podemos definir uma bijeção de IE3 em IR3, e uma bijeção de IR3 em V 3. 
Assim, para cada ponto P = (x, y, z) do espaço tridimensional IE3, podemos associar 
um único vetor ~v = (x, y, z) de V 3, onde (x, y, z) são as coordenadas do vetor ~v 
com relação a um sistema de três eixos ortogonais, que estamos indicando por OX, 
OY e OZ, que se interceptam no ponto O = (0, 0, 0), chamado origem do sistema de 
coordenadas, como ilustra a Figura 2.13. Desse modo, o vetor ~v representa a classe 
de equipolência associada ao segmento orientado (O, P). 
 
 
Considere o espaço de vetores V 3. Definimos a operação de adição de vetores, 
que a cada par de vetores ~u e ~v faz corresponder um novo vetor ~w = ~u + ~v de V 
3. Chamando ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2), definimos a operação de adição de 
vetores da forma: 
 
21 
 
w = ~u + ~v = (x1 + x2, y1 + y2 , z1 + z2) . 
 
Considera o espaço de vetores V 3. Definimos a operação de multiplicação de 
vetor por escalar, que a cada vetor ~u e a cada escalar λ faz corresponder um novo 
vetor ~w = λ~u de V 3. Chamando ~u = (x1, y1, z1) e λ um escalar qualquer, definimos 
a operação de multiplicação por escalar da seguinte forma: 
 
w = λ~u = (λx1 , λy1 , λz1) . 
 
Neste texto consideramos que os escalares são números reais. Além disso, No 
caso em que λ = 0IR ou ~v = ~0, definimos λ~v = ~0. 
 
Note que para λ 6= 0IR e ~v 6= ~0, o vetor ~w = λ~v tem a mesma direção do 
vetor ~v. Além disso, para λ > 0 o vetor ~w = λ~v tem o mesmo sentido do vetor ~v e 
para λ < 0 o vetor ~w = λ~v tem sentido contrário do vetor ~v. 
 
A operação de adição de vetores tem as seguintes propriedades: 
 
 
22 
 
 
 
O espaço de vetores V3 munido com a operação de adição de vetores e com 
operação de multiplicação de vetor por escalar, e essas operações com as respectivas 
propriedades, recebe o nome de Espaço Vetorial Real. O termo real vem do fato que 
os escalares são números reais. Os espaços vetoriais são estudados de maneira 
detalhada na disciplina de Álgebra Linear. 
De maneira análoga, o conjunto IR3 = { (x1, x2, x3) / xi ∈ IR }, conjunto de todas 
as ternas reais ordenadas, com a operação de adição de elementos definida por: 
 
(x1, x2, x3) + (y1, y2, y3) = (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3) 
 
É com a operação de multiplicação por escalar definida por: 
 
λ(x1, x2, x3) = (λx1 , λx2 , λx3) , ∀ λ ∈ IR , é também um espaço vetorial real. 
 
Podemos mostrar que a operação de adição de elementos e a operação de 
multiplicação por escalar definidas em IR3, verificam as propriedades (A1) – (A4) e 
(M1) – (M4) definidas acima. Para isso, basta utilizar as propriedades da adição e da 
multiplicação de números reais. 
É importante observar que pelo fato que podemos estabelecer uma 
correspondência biunívoca entre os elementos do espaço de vetores V 3 e os 
elementos de IR3, e que nos dois conjuntos definimos uma operação de adição de 
elementos e uma operação de multiplicação por escalar que satisfazem as 
propriedades (A1) – (A4) e (M1) – (M4), podemos chamar os elementos de IR3 de 
 
23 
 
vetores e utilizar a notação de flecha, isto ´e, indicando ~u = (x, y, z) ∈ IR3. 
Temos a representação geométrica da soma dos vetores ~u e ~v. Para isso, 
consideramos o segmento orientado (A, B) um representante do vetor ~u, e o 
segmento orientado (B, C) um representante do vetor ~v. Assim, definimos o 
segmento orientado (A, C) com sendo um representante do vetor ~u + ~v, que 
indicamos −→AC = ~u + ~v. 
 
 
 
É importante observar que a escolha do segmento orientado para representar 
o vetor ~u é arbitrária, e que esse fato não altera o resultado da adição dos vetores 
~u e ~v. De fato, escolhendo um outro segmento orientado (A′ , B′ ) para representar 
o vetor ~u, e um outro segmento orientado (B′ , C′ ) como representante do vetor ~v, 
teremos obrigatoriamente que os segmentos orientados (A, B) e (A′ , B′ ) são 
equipolentes, (A, B) ≈ (A′ , B′ ), e que os segmentos orientados (B, C) e (B′ , C′ ) são 
equipolentes, (B, C) ≈ (B′ , C′ ). Portanto, os segmentos orientados (A, C) e (A′, C′ ) 
são equipolentes, (A, C) ≈ (A′ , C′ ). Assim, temos −→AC = −−→ A′C ′ = ~u + ~v 
 
A propriedade do elemento simétrico, ou elemento oposto, permite a definição 
da operação de subtração de vetores. Assim, tem–se 
 
Note que o elemento simétrico −~v tem a mesma direção, mas sentido 
contrário, do vetor ~v. 
 
24 
 
 
 
Temos a representação geométrica da operação de subtração de vetores. Para 
isso, consideramos os vetores ~u e ~v com o segmento orientado (0, A) um 
representante do vetor ~u, e o segmento orientado (0, B) um representante do vetor 
~v. Assim, definimos o segmento orientado (B, A) um representante do vetor ~u − ~v, 
que indicamos −→BA = ~u − ~v., portanto, os segmentos orientados (0, C) e (B, A) 
são equipolentes.5 
 
6 PRODUTO ESCALAR 
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d), definimos o produto escalar entre os 
vetores u e v, como o número real obtido por: 
u.v = a.c + b.d 
 
Exemplos: 
O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é: 
u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14 
 
O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é: 
u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19 
 
5 Texto extraído de https://www.ime.unicamp.br/~pulino/GeometriaAnalitica/CapituloVetores.pdf 
 
25 
 
6.1 Propriedades do produto escalar 
 
6.2 Ângulo entre dois vetores 
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: 
 
u.v = |u| |v| cos(x) 
 
onde x é o ângulo formado entre u e v. 
 
 
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x 
entre dois vetores genéricos u e v, como: 
 
 
 
 
26 
 
Desde que nenhum deles seja nulo. 
 
Vetores ortogonais 
Dois vetores u e v são ortogonais se: 
u.v = 06 
 
7 APLICAÇÃO DE VETORES NA FÍSICA 
Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os 
segmentos orientados equipolentes a AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever: 
 
 
 
 
O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou . 
Um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos 
orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes 
entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um 
destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa 
capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentosorientados 
de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade 
 
6 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/vetores/vetores6.php 
 
27 
 
dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um 
só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele 
conjunto que imaginamos. 
As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus 
representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a 
direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. 
 
O módulo de se indica por | | . 
7.1 Soma de vetores 
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por: 
 
 
 
 
7.2 Diferença de vetores 
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por: 
v - w = (a-c,b-d) 
 
 
28 
 
7.3 Produto de um número escalar por um vetor 
Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por 
v como: 
c.v = (ca,cb) 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
Observação: 
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um 
escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos: 
 
 
Decomposição de vetores em Vetores Unitários 
Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se 
apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos 
apresentados. 
Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como 
vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três 
dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado 
por , e sua projeção no eixo y do plano será: . Este vetor pode ser escrito 
como: 
 
30 
 
=( , ), respeitando que sempre o primeiro componente entre 
parênteses é a projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um 
terceiro componente, será o componente do eixo z. 
 
No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para 
que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é 
projetado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4 Produto escalar 
Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores 
u e v, como o número real obtido por: 
 
u.v = a.c + b.d 
 
 
 
31 
 
 
 
7.5 Ângulo entre dois vetores 
O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma: 
 
u.v = |u| |v| cos(x) 
 
Onde x é o ângulo formado entre u e v. 
 
 
 
 
 
Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x 
entre dois vetores genéricos u e v, como, 
 
32 
 
 
 
 
 
Desde que nenhum deles seja nulo. 
 
8 ACELERAÇÃO E VELOCIDADE VETORIAIS 
Vetor Posição 
Imagine um móvel deslocando-se em uma trajetória aleatória, com uma origem 
O. Se colocarmos um plano cartesiano situado nesta origem, então poderemos 
localizar o móvel nesta trajetória por meio de um vetor. 
O vetor é chamado vetor deslocamento e possui módulo, direção e sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.1 Velocidade Vetorial 
Vetor Velocidade Média: Considere-se um móvel percorrendo a trajetória do 
gráfico acima, ocupando posições e nos instantes e , respectivamente. 
 
 
33 
 
Sabendo que a velocidade média é igual ao quociente do vetor deslocamento 
pelo intervalo de tempo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
O vetor velocidade média tem a mesma direção e sentido do vetor 
deslocamento, pois é obtido quando multiplicamos um número positivo pelo 
vetor . 
 
Vetor Velocidade Instantânea: Análogo à velocidade escalar instantânea, 
quando o intervalo de tempo tender a zero ( ), a velocidade calculada será a 
velocidade instantânea. 
 
então: 
 
 
34 
 
8.2 Aceleração Vetorial 
Vetor Aceleração Média: Considerando um móvel que percorre uma trajetória 
qualquer com velocidade em um instante e velocidade em um instante 
posterior , sua aceleração média será dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Assim como para o vetor velocidade, o vetor aceleração terá o mesmo sentido 
e mesma direção do vetor velocidade, pois é resultado do produto deste vetor ( ) 
por um número escalar positivo, . 
 
Vetor Aceleração Instantânea: A aceleração vetorial instantânea será dada 
quando o intervalo de tempo tender a zero ( ). 
 
 
 
 
 
35 
 
Sabendo esses conceitos, podemos definir as funções de velocidade em 
função do tempo, deslocamento em função do tempo e a equação de Torricelli para 
notação vetorial: 
 
 
Por exemplo: 
Um corpo se desloca com velocidade , e aceleração 
constante , da forma como está descrita abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Qual o vetor velocidade após 10 segundos? 
(b) Qual a posição do móvel neste instante? 
 
(a) Para calcularmos a velocidade vetorial em função de um tempo, precisamos 
decompor os vetores velocidade inicial e aceleração em suas projeções 
em x e y: 
 
 
 
Assim, podemos dividir o movimento em vertical (y) e horizontal (x): 
 
36 
 
Em x: 
 
Em y: 
 
 
A partir destes valores podemos calcular o vetor velocidade: 
 
 
 
(b) Sabendo o vetor velocidade, podemos calcular o vetor posição pela equação 
de Torricelli, ou pela função horária do deslocamento, ambas na forma de 
vetores: 
 
 
 
Por Torricelli: 
 
 
37 
 
Na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade. 
Pela Função horária da Posição: 
 
Na mesma direção e sentido dos vetores aceleração e velocidade.7 
 
9 EQUAÇÕES DA RETA 
9.1 Equações fundamental da reta 
Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. 
Essa equação pode ser obtida a partir de um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular 
m dessa reta. 
Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo 
ponto A(xA, yA). Vamos obter a equação dessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que 
P ≠ A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A equação fundamental da reta é: 
 
7 Texto extraído de https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Cinematica/vetores2.php 
 
38 
 
 
9.2 Equação geral da reta 
Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo: 
 
ax+by+c=0 
 
Em que: 
• a, b, e c são números reais; 
• a e b não são simultaneamente nulos. 
 
Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não 
coincidentes de r: 
 
A(xa,ya) e B(xb,yb) 
 
Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico 
P(x,y) de r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
 
39 
 
9.3 Equação reduzida da reta 
Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q (0,q), e tem coeficiente 
angular m = tg(α): 
 
 
Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em 
que m é o coeficiente angular e q a ordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. 
A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax + by + c = 0: 
 
ax+by+c=0→by=−ax−c 
 
Onde: 
 
 
 
 
9.4 Equação segmentária da reta 
Considere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0). 
https://www.infoescola.com/matematica/equacao-segmentaria-da-reta/
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos escrever a equação da reta r: 
 
 
 
 
 
 
Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:8 
 
 
 
10 CÍRCULOS NO PLANO 
10.1 Circunferência 
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de 
um ponto fixo desse mesmo plano, denominado centro da circunferência: 
 
 
 
 
 
 
 
8 Texto extraído de https://www.infoescola.com/geometria-analitica/equacoes-da-reta/ 
 
41 
 
10.2 Equações da circunferênciaEquação reduzida 
 
Sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da circunferência, a 
distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da circunferência e permite 
determinar os elementos essenciais para a construção da circunferência: as 
coordenadas do centro e o raio. 
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na origem (C(0,0)), a equação 
da circunferência será x2 + y2 = r2. 
 
Equação geral 
 
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral da 
circunferência: 
 
 
 
 
42 
 
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circunferência de 
centro C(2, -3) e raio r = 4. 
A equação reduzida da circunferência é: 
 
 
 
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:9 
 
 
 
11 RETAS E ESFERAS NO PLANO TRIDIMENSIONAL 
11.1 Equação vetorial e paramétrica de uma reta no espaço 
Observemos inicialmente que dada uma reta no espaço coordenado, fixando-
se dois pontos distintos P0 e P sobre a mesma, e tomando-se um vetor v na origem 0 
do sistema de coordenadas, paralelo ao vetor e contido no plano determinado 
por 0, P0 e P (conforme a Figura 1 a seguir), vê-se que de modo natural estão 
associados à reta um ponto P0 , sobre ela, e uma direção dada por um vetor v, paralelo 
a ela. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/circunferencia/circunf.php 
 
43 
 
Reciprocamente, dado um vetor v, fixemos um ponto P0 fora da reta que contém 
v e mostremos que existe uma única reta passando por P0 e paralela a v. Para tanto, 
vamos recorrer a argumentos de Geometria Espacial. Construamos o único plano que 
contém P0 e v. Agora, tome, nesse plano, a única reta s que passa por P0 e é paralela 
à reta que contém v. Desse modo, s é paralela a v e é a reta procurada. Siga esse 
raciocínio observando a figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que quando t varia de menos infinito (- ∞) a mais infinito (+ ∞), o ponto P 
descreve toda a reta. 
 
 
 
 
 
 
Estas são chamadas de equações paramétricas da reta. 
 
Compare essas equações com as equações paramétricas, encontradas entre 
vetores no plano e no espaço tridimensional, para uma reta no plano. É conveniente 
 
45 
 
observar que o vetor v na direção da reta não é único, pois qualquer múltiplo escalar 
desse vetor tem também a mesma direção de v. 
 
Exemplo 
 
Ache as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos P0 (1,3,2) e P1 
(4,5,3). 
 
Solução 
 
 
No exemplo, se ao invés do ponto P0 tivéssemos escolhido o ponto P1 por onde 
a reta deve passar, suas equações paramétricas seriam 
 
 
 
46 
 
As quais são diferentes das anteriores. Ocorre que esses dois sistemas de 
equações paramétricas descrevem a mesma reta; só que com o mesmo valor de t, 
obtemos pontos diferentes sobre a mesma reta. Por exemplo, para t = 0 no primeiro 
sistema de equações, obtemos o ponto P0 e no segundo, o ponto P1; enquanto para t 
= 1, obtemos no primeiro sistema o ponto (4,5,3) e no segundo, o ponto (7,7,4). 
11.2 A equação da esfera 
 O análogo ao círculo no espaço é a esfera que é descrita como o conjunto dos 
pontos do espaço cujas distâncias a um ponto fixo, chamado centro, é uma constante 
chamada raio. Desse modo, se o centro é o ponto C (x0, y0, z0) e o raio r, então, um 
ponto P(x, y, z) qualquer sobre a esfera satisfaz a equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Ache a equação da esfera unitária que é a esfera de centro na origem e raio 
110 
 
 
10 Texto extraído de http://professor.luzerna.ifc.edu.br/daniel-ecco/wp-
content/uploads/sites/42/2017/08/Aula-13-Geo.pdf 
 
47 
 
 
12 SEÇÕES CÔNICAS 
Chamamos de cônicas as curvas geradas ou encontradas na intersecção de 
um plano que atravessa um cone. Estudaremos as seguintes cônicas: 
 Elipse: definida na interseção de um plano que atravessa a superfície 
de um cone; 
 Parábola: também definida na intersecção de um plano que penetra a 
superfície de um cone; 
 Hipérbole: definida na interseção de um plano que penetra num cone 
em paralelo ao seu eixo.11 
 
11 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas.php 
 
48 
 
 
12.1 Elipse 
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 e, sendo 2a um 
número real maior que a distância entre F1 e F2,chamamos de elipse o conjunto dos 
pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja 
sempre igual a 2a. 
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2pontos de um mesmo plano e F1F2 < 2a, 
temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura obtida é uma elipse. Observações: 
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos 
dessa trajetória. A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus 
respectivos planetas também apresentam esse comportamento. 
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos 
 
49 
 
focos. 
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito 
em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base. 
12.2 Elementos 
Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos: 
 
 
 
Focos: os pontos F1 e F2 
centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
Semieixo maior: a 
Semieixo menor: b 
Semidistância focal: c 
Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2 
 
eixo maior: 
 
eixo menor: 
distância focal: 
 
50 
 
12.3 Relação fundamental 
Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo OF2B2, 
retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental: 
 
a2 =b2 + c2 
12.4 Excentricidade 
Chamamos de excentricidade o número real e tal que: 
 
e = 
𝑐
𝑎
 
 
Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, consequentemente, 0 < e < 1. 
 
Observação: quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, 
a elipse se aproxima de uma circunferência. 
12.5 Equações da elipse 
Vamos considerar os seguintes casos: 
Elipse com centro na origem e eixo maior horizontal. 
 
Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0): 
 
 
 
51 
 
Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse: 
 
 
 
 
 
Elipse com centro na origem e eixo maior vertical 
 
Nessas condições, a equação da elipse é:12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12.6 Hipérbole 
Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 e, sendo 2a um 
número real menor que a distância entre F1 e F2, chamamos de hipérbole o conjunto 
dos pontos do plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos 
a F1e F2 seja sempre igual a 2a. 
Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2pontos de um mesmo plano e F1F2 = 
2c, temos: 
 
 
12 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas2.php 
 
52 
 
 
 
A figura obtida é uma hipérbole. 
 
Observação: os dois ramos da hipérbole são determinados por um plano 
paralelo ao eixo de simetria de dois cones circulares retos e opostos pelo vértice: 
 
 
 
 
 
53 
 
12.7 Elementos 
Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes 
elementos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Focos: os pontos F1 e F2 
 Vértices: os pontos A1 e A2 
 centro da hipérbole: o ponto O, que é o ponto médio de 
 Semieixo real: a 
 Semieixo imaginário: b 
 Semidistância focal: c 
 distância focal: 
 eixo real: 
 eixo imaginário:
 
 
Excentricidade 
 
Chamamos de excentricidade o número real e tal que: 
 
e = 
𝑐
𝑎
 
 
54 
 
Como c > a, temos e > 1.13 
12.8 Equações de hipérbole 
Vamos considerar os seguintes casos: 
 
hipérbolecom centro na origem e focos no eixo Ox 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas3.php 
 
55 
 
Hipérbole com centro na origem e focos no eixo Ou 
 
Nessas condições, a equação da hipérbole é:14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Hipérbole equilátera 
 
Uma hipérbole é chamada equilátera quando as medidas dos semieixos real e 
imaginário são iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas3_2.php 
 
56 
 
12.9 Assíntotas da hipérbole 
Assíntotas são retas que contêm as diagonais do retângulo de lados 2a e 2b. 
 
 
Equação 
 
Vamos considerar os seguintes casos: 
 
a) eixo real horizontal e C(0, 0) 
As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, 
suas equações são da forma: 
 
Eixo vertical e C(0, 0) 
b) As assíntotas passam pela origem e têm coeficiente angular ; logo, 
suas equações são da forma:15 
 
 
 
15 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas4_1.php 
 
57 
 
Parábola 
 
Dados uma reta d e um ponto F , de um plano , chamamos 
de parábola o conjunto de pontos do plano equidistantes de F e d. 
Por exemplo, sendo F, P, Q e R pontos de um plano e d uma reta desse 
mesmo plano, de modo que nenhum ponto pertença a d, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
1ª) A parábola é obtida seccionando-se obliquamente um cone circular reto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas 
parabólicas. 
 
 
58 
 
3ª) As trajetórias de alguns cometas são parábolas, sendo que o Sol ocupa o 
foco. 
 
4ª) A superfície de um líquido contido em um cilindro que gira em torno de seu 
eixo com velocidade constante é parabólica. 
 
Elementos 
 
Observe a parábola representada a seguir. Nela, temos os seguintes 
elementos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Foco: o ponto F 
 Diretriz: a reta d 
 Vértice: o ponto V 
 Parâmetro: p 
 
 Então, temos que: 
 
 O vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eixo de simetria e. 
 Assim, sempre temos . 
 
59 
 
 DF =p 
 V é o ponto médio de 16 
 
Equações de parábola 
 
Vamos considerar os seguintes casos: 
 
a) parábola com vértice na origem, concavidade para a direita e eixo de simetria 
horizontal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a reta d tem equação e na parábola temos: 
 ; 
 P(x, y); 
 dPF = dPd ( definição); 
 
16 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas4.php 
 
60 
 
 Obtemos, então, a equação da parábola: 
y2 = 2px 
 
b) parábola com vértice na origem, concavidade para a esquerda e eixo de 
simetria horizontal 
 
Nessas condições, a equação da parábola é: 
 
 
 
 
y2 = -2px 
 
c) parábola com vértice na origem, concavidade para cima e eixo de simetria 
vertical 
 
 
 
61 
 
x2=2py 
 
d) parábola com vértice na origem, concavidade para baixo e eixo de simetria 
vertical 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x2= - 2py17 
 
Geometria Analítica 
 
Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência 
biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice-versa. 
Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), 
e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitário e não-
nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo 
um segmento de reta de comprimento u: 
 
 
 
 
 
 
17 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/conicas/conicas5.php 
 
62 
 
12.10 Medida algébrica de um segmento 
Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números 
reais xA e xB , temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que 
corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse 
segmento.18 
 
13 SUPERFÍCIES QUADRÁTICAS 
13.1 A história das superfícies quádricas 
No desenvolver da Álgebra na Europa, através da Introdução aos Lugares 
Planos e Sólidos, manuscrito esse descrito por Pierre de Fermat em 1629, que é 
reconhecido como o marco inicial da Geometria Análitica. Foi com a ajuda de Pierre 
que os estudos da Geometria Analitica facilitaram o desenvolver da Geometria Plana 
e Espacial, sendo considerado uma “estrada real”, causando assim, na perda de 
inúmeras obras de Euclides, pelo fato de ele ter afirmado ao rei Ptolomeu: “não há 
“estrada real” para aprender a Geometria”. Eis, que referencias que Euclides tenha 
escrito um tratado sobre elipsoides, paraboloides, hiperboloides, esfera, cilindro e 
cone. Pois, foi Euclides que fundou a Escola de Matemática na Biblioteca de 
Alexandria, onde que alcançou 700.000 papiros e pergaminhos escritos. 
 
18 Texto extraído de https://www.somatematica.com.br/emedio/retas/retas.php 
 
63 
 
Arquimedes, um dos discípulos de Euclides, apresentou estudos aprofundados 
referente aos sólidos de revolução. Como é o caso dos: 
 Conóides e Esferóides: descrição dos sólidos gerados pelas elipses, 
parábolas e hipérboles em torno dos seus eixos. As demais descritas 
por Arquimedes geram uma área de elipse. 
 Esfera e Cilindro: contém demonstrações sobre áreas e volumes dos 
referidos sólidos, estudos de áreas e volumes da esfera (calotas e 
segmentos) e do cilindro. 
 
Apolônio de Perga é outro matemático que desenvolveu estudos perante as 
quádricas, foi o primeiro a mostrar que a elipse, a parábola e a hipérbole podem ser 
obtidas variando a inclinação do plano de seção sobre um cone de duas folhas. 
Foi Euler que deu uma das mais significativas contribuições a geometria no E³, 
no seu livro Introdução à Análise Infinita, apresenta em esse livro as superfícies de 
segundo grau no E³, também há representações de cones, paraboloides, elipsoides e 
dos hiperboloides, feitos no sistema cartesiano E³. Durante o século XVIII, as 
superfícies tem uma notável participação no surgimento da Geometria Diferencial, 
com inter aplicações do Cálculo Diferencial e Integral e da Geometria Analítica. 
 
14 TIPOS DE SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 
Entende-se que uma equação geral do segundo grau costuma possuir três 
variáveis (x,y,z), sendo que um dos coeficientes da equação (a,b,c,d,e ou f) deve ser 
diferente de zero, sendo assim obtém-se uma superfície quádrica. No momento em 
que a quádrica for cortada em planos coordenados ou em planos paralelos a eles, a 
curva que se formará é reconhecida como a cônica. 
 
Superficie esférica 
É uma superfície esférica S que possui um centro C e o raio r > 0, sendo 
considerado o local geométrico dos pontos de espaço que mantém uma distância r de 
C. Sendo assim descrita: 
 
64 
 
 
 
 
Superfície cilíndrica 
Quando há uma curva C e uma reta r e a superfície é a união das retas paralelas 
a r e que passam por C. E quando a curva C for uma quadrática plana, então pode-se 
dizer que a superfície será uma quádrica no espaço. 
 
Superfície cônica 
No momento em que há a formação de uma curva C em um ponto V, que não 
pertence a C, sendo assim S a união das retas VQ, na qual Q percorre C. Assim como 
na superfície cilíndrica, no instante em que a curva C for uma quádrica plana, então a 
sua superfície será uma quádrica no espaço. 
 
Superfície de rotação 
Havendo uma reta r e uma curva C sendo a superfície S uma união das 
circunferências com centro em r e que acabam tangenciado em C, sendo r o eixo de 
rotação de S. Na maioria dos casos, quando a curva C é uma quádrica disposta demaneira plana, tendo uma superfície de grau maior que 2. E somete será quádrica 
quando C, além de ser quádrica, possui r como eixo de simetria. 
 
Superfícies centradas e não centradas 
É possível por meio das alterações de coordenadas na rotação e/ou translação, 
sendo a equação geral, disposta antes, transformada em uma das formas: 
 
 
 
 
A partir dessa forma são denominadas as formas canônicas ou os padrões de 
superfícies quádricas centradas. Com as combinações de sinais nesta equação, 
conclui-se que existem apenas três possibilidades na formação de superfícies, 
 
65 
 
conforme o número de coeficientes positivos dos termos do 1º membro da equação. 
Se os coeficientes estiverem todos negativos, não existirá lugar geométrico. 
 
Elipsóide 
A Elipsóide é uma superfície regular determinada pela rotação de uma elipse 
em volta de seu eixo menor formando uma Superfície Elipsoidal. A mesma é 
determinada pela equação: 
 
 
 
 
Traçando nos planos as coordenadas geram elipses, bem como os traços em 
planos paralelos aos planos coordenados, interceptando a superfície em mais de um 
ponto. Mas para tal é necessária a equivalência de a>0,b>0 e c>0 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
Hiperboloide de uma folha 
No hiperboloide de uma folha, dois coeficientes dos termos do primeiro membro 
são positivos e um é negativo, determinando assim a hiperboloide de uma folha. 
Seguem as equações que as determinam, de acordo com os eixos coordenados da 
mesma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De acordo com as imagens define-se assim a equação da hiperboloide de uma 
folha em: 
 
 
 
 
Os hiperboloides são superfícies quadricas que se caracterizam por apresentar 
três tipos de seções planas, sendo as mesma hipérboles, elipses e retas. O hiperbolide 
de uma folha é simétrico relativamente com cada um dos planos coordenados e com 
a origem. Sua intersecção com o plano paralelo XOY é uma elipse, e sua intersecção 
com o plano YOZ ou XOZ é uma hipérbole. Os traços nos planos perpendiculares a 
dois dos eixos coordenados são hipérboles e nos planos perpendiculares ao outro 
eixo coordenado são elipses ou círculos. 
Um hiperboloide de uma folha pode-se obter girando uma hipérbole ao redor 
de seu eixo transversal. Além disso, é uma superfície com regras duplas. Suas 
utilizações são amplas na construção civil. 
 
 
 
 
69 
 
Hiperboloide de duas folhas 
 
Um hiperboloide de duas folhas, com eixos AB é contraído como em conjunto 
com os pontos P tais que AP-BP é constante, originando-se AP da distância entre A 
e P, além disso A e B são titulados como focos do hiperboloide. 
Um hiperboloide de duas folhas consegue ser adquirido por meio da rotação de 
uma hipérbole ao redor do seu eixo focal. A partir disso, definida ela equação geral de 
ordem: 
 
 
 
 
 
70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paraboloide 
 
É uma superfície quádrica, que pode ser dividida em duas partes: Paraboloide 
Elíptica tem molde como copo de forma oval e pode possuir ponto máximo ou mínimo, 
em um sistema de coordenadas: x,y,x. 
 
 
 
 
Na qual a e b são constantes que determinam o grau da curva nos planos x-z 
e y-z, e é uma paraboloide com abertura para cima. Parabolóide Hiperbólico: é uma 
superfície em forma de sela, e representado pela equação: 
 
 
 
 
Onde que c > 0, na qual possui abertura para baixo ao longo do eixo x e ao 
longo do eixo y. 
 
 
 
71 
 
 
 
 
 
 
 
72 
 
Superfícies cilíndrica 
 
Uma superfície cilíndrica, ou simplesmente cilindro é a superfície gerada por 
uma reta que se move ao longo de uma curva plana, denominada diretriz, 
paralelamente a uma reta, denominada geratriz. Quando a geratriz for perpendicular 
ao plano que contem a curva diretriz o cilindro é denominado cilindro reto. Se o vetor 
diretor da reta g, então o ponto P (x; y; z) est· sobre a superfície S se, e somente se, 
a reta que passa por P, paralela ao vetor v intercepta a curva diretriz, os cilindros 
quádricos são o lugar tridimensional das equações de segundo grau com duas 
variáveis, todos os valores atribuídos satisfazem a função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por meio da exploração de conceitos da Geometria Analítica, foi possível 
através do software Geogebra, demonstrar a disposição de superfícies quádricas no 
espaço tridimensional. O estudo permitiu a aproximação da teoria para com a 
aplicação visual de como são encontradas as formas no espaço das coordenadas 
cartesianas. Denotada como um estudo antigo, as superfícies quádricas são 
conteúdos práticos de inúmeras profissões, como é o caso de engenheiros e 
arquitetos. Sua exploração em sala de aula, feita basicamente com estudos teóricos 
deveria voltar-se para estudos complementares para a visualização da disposição de 
cada superfície estudada no contexto espacial. Garantindo dessa forma uma 
aproximação visual dos conteúdos programáticos vistos em sala de aula, com objetos 
 
73 
 
presentes em nosso meio visual. Além disso, pode-se destacar a importância do 
estudo voltado a Matemática em sala de aula, com possibilidades de exploração 
prática das mais diversas formas. Assim, pode-se afirmar que a Matemática surgira 
da necessidade humana, evoluindo para estudos abstratos apenas a nossos olhos, 
pois cada conteúdo e situação há uma razão matemática por existir. Garantindo dessa 
maneira, a aproximação de conteúdos abstratos a nossos olhos com inúmeras 
situações cotidianas, afinal, tudo isso surgira para explicar fenômenos práticos.19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 Texto extraído de http://eventos.seifai.edu.br/eventosfai_dados/artigos/semic2016/524.pdf 
 
74 
 
15 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
ANTON, H; BIVENS, I; DAVIS, S. Cálculo V.1. Bookman, 2007. 
CAMARGO, I.; BOULOS, P. Geometria Analítica. 3.ed. São Paulo: Prentice Hall, 
2005. 
CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto César; WAGNER, 
Eduardo. 
 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
CARVALHO, João Bosco Pitombeira de. Vetores, Geometria Analítica e Álgebra 
Linear: um tratamento moderno. Ao Livro Técnico. Rio de Janeiro, 1975. 
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Plano: com as soluções dos 
exercícios.SBM. Rio de Janeiro, 2002. 
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Espaço. SBM. Rio de Janeiro, 1998. 
MEDEIROS, Luís Adauto; ANDRADE, Nirzi Gonçalves; WANDERLEY, Augusto 
MAURÍCIO. Álgebra Vetorial e Geometria. Campus. Rio de Janeiro, 1980. 
MURDOCK, David C. Geometria Analítica: uma introdução sobre Cálculo 
Vetorial e Matrizes. Livros Técnicos e Científicos. Rio de Janeiro, 1969. 
SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes. Livros Técnicos e Científicos. 
Rio de Janeiro, 1931. 
STEWART, James. Cálculo Vol. I. Editora Pioneira. 4a. Edição. São Paulo, 2001. 
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 1. ed. São Paulo: Pearson Makron 
Books, 2000.