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Complementação Pedagógica Coordenação Pedagógica - IBRA DISCIPLINA GEOMETRIA ANALÍTICA 01. Introdução ---------------------------------------------------------------------------- 01 02. Retas ------------------------------------------------------------------------------------ 02 03. Plano Cartesiano ------------------------------------------------------------------- 03 04. Ponto médio -------------------------------------------------------------------------- 08 05. Equação de uma reta -------------------------------------------------------------- 13 06. Equação segmentária ------------------------------------------------------------- 15 07. Coeficiente angular ---------------------------------------------------------------- 18 08. Concorrência ------------------------------------------------------------------------ 25 09. Bissetrizes ---------------------------------------------------------------------------- 28 10. Sistema de coordenadas cartesiano ---------------------------------------- 29 11. Coordenadas cartesianas ------------------------------------------------------- 32 12. A esfera -------------------------------------------------------------------------------- 35 13. Vetores --------------------------------------------------------------------------------- 36 14. Referências Bibliográficas ------------------------------------------------------ 47 1 01. Introdução A Geometria Analítica introduzida por Pierre de Fermat e René Descartes, por volta de 1636, foi muito importante para o desenvolvi- mento da Matemática. Através da representação de pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais e pontos do espaço por ternos ordenados de números reais, curvas no plano e superfícies no espaço podem ser descritas por meio de equações, tornando possível tratar algebricamente muitos problemas geométricos e, reciprocamente, interpretar de forma geométrica diversas questões algébricas. Neste Capítulo vamos associar coordenadas numéricas a pontos de uma reta e de um plano, veremos como determinar a distância entre pontos numa reta e num plano. Caracterizaremos também os conceitos de ponto médio de um segmento, mediatriz e círculo. Ao longo destas notas, admitiremos que o leitor tenha conheci- mento dos principais axiomas e resultados da Geometria Euclidiana no plano e no espaço, relativos aos seus elementos básicos: pontos, retas e planos. Por exemplo: por dois pontos distintos passa uma, e somente uma reta; por três pontos do espaço não situados na mesma reta passa um, e somente um plano; fixada uma unidade de medida de comprimento, a cada par de pontos A e B corresponde um número real não negativo, denominado distância entre os pontos A e B ou comprimento do segmento AB, que designamos por d(A, B) e satisfaz as seguintes propriedades: Fig. 1: O ponto C está entre A e B, logo d(A, B) = d(A, C) + d(C, B). 2 02. Retas Entre os pontos de uma reta e os números reais existe uma correspondência biunívoca, isto é, a cada ponto de reta corresponde um único número real e vice- versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitário e não-nulo, temos que dois números inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u: Medida algébrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os números reais xA e xB , temos: A medida algébrica de um segmento orientado é o número real que corresponde à diferença entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento. 3 03. Plano cartesiano A geometria analítica teve como principal idealizador o filósofo francês René Descartes (1596-1650). Com o auxílio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice- versa. Quando os eixos desse sistemas são perpendiculares na origem, essa correspondência determina um sistema cartesiano ortogonal (ou plano cartesiano). Assim, há uma reciprocidade entre o estudo da geometria (ponto, reta, circunferência) e da Álgebra (relações, equações etc.), podendo-se representar graficamente relações algébricas e expressar algebricamente representações gráficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes: Exemplos: A(2, 4) pertence ao 1º quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3º quadrante (xB < 0 e yB < 0) 4 Observação: Por convenção, os pontos localizados sobre os eixos não estão em nenhum quadrante. Distância entre dois pontos Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distância entre eles, temos: Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, vem: Como exemplo, vamos determinar a distância entre os pontos A(1, -1) e B(4, - 5): 5 Razão de secção Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma reta , o ponto C divide numa determinada razão, denominada razão de secção e indicada por: Em que , pois se , então A = B. 6 Observe a representação a seguir: Como o , podemos escrever: Vejamos alguns exemplos: Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razão em que o ponto P divide é: 7 Se calculássemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteríamos o mesmo resultado: Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos: Assim, para um ponto P qualquer em relação a um segmento orientado contido em um eixo, temos: se P é interior a , então rp > 0 se P é exterior a , então rp < 0 se P = A, então rp =0 se P = B, então não existe rp (PB = 0) se P é o ponto médio de , então rp =1 8 04. Ponto médio Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide ao meio, temos: Assim: Logo, as coordenadas do ponto médio são dadas por: Baricentro de um triângulo Observe o triângulo da figura à seguir, em que M, N e P são os pontos médios dos lados , respectivamente. Portanto, são as medianas desse triângulo: 9 Chamamos de baricentro (G) o ponto de intersecção das medianas de um triângulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vértice até o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro até o ponto médio do lado. Veja: Cálculo das coordenadas do baricentro Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vértices de um triângulo, se N é ponto médio de , temos: 10 Mas: Analogamente, determinamos . Assim: 11 O vetor (condições de alinhamento de três pontos) Se três pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), estão alinhados, então: Para demonstrar esse teorema podemos considerar três casos: a) três pontos alinhados horizontalmente Neste caso, as ordenadas são iguais: yA = yB = yC e o determinante é nulo, pois a 2ª e a 3ª coluna são proporcionais. b) três pontos alinhados verticalmente 12 Neste caso, as abscissas são iguais: xA = xB = xC e o determinante é nulo, pois a 1ª e a 3ª coluna são proporcionais. c) três pontos numa reta não paralela aos eixos Pela figura, verificamos que os triângulos ABD e BCE são semelhantes. Então: 13 Desenvolvendo, vem: Como: Então, . Observação: A recíproca da afirmação demonstrada é válida, ou seja, se , então os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) estão alinhados. 05. Equação de uma reta Equação geral Podemos estabelecer a equação geral de uma reta a partir da condição de alinhamento de três pontos. 14 Dada uma reta r, sendo A(xA, yA)e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genérico, também de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever: Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b não são simultaneamente nulos , temos: ax + by + c = 0 (equação geral da reta r) Essa equação relaciona x e y para qualquer ponto P genérico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n): se am + bn + c = 0, P é o ponto da reta; se am + bn + c 0, P não é ponto da reta. Acompanhe os exemplos: Vamos considerar a equação geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4). Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos: Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem à reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos: 15 -3 - (-1) + 2 = 0 -3 + 1 + 2 = 0 Como a igualdade é verdadeira, então P r. Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos: 1 - 2 + 2 0 Como a igualdade não é verdadeira, então Q r. 06. Equação segmentária Considere a reta r não paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com : A equação geral de r é dada por: 16 Dividindo essa equação por pq , temos: Como exemplo, vamos determinar a equação segmentária da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o gráfico: Equações paramétricas São equações equivalentes à equação geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parâmetro t. Assim, por exemplo, , são equações paramétricas de uma reta r. Para obter a equação geral dessa reta a partir das paramétricas, basta eliminar o parâmetro t das duas equações: 17 x = t + 2 t = x -2 Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos: y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0 ( equação geral de r). Equação Reduzida Considere uma reta r não paralela ao eixo Oy: Isolando y na equação geral ax + by + c = 0, temos: Fazendo , vem: y = mx + q Chamada equação reduzida da reta, em que fornece a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 18 Quando a reta for paralela ao eixo Oy, não existe a equação na forma reduzida. 07. Coeficiente angular Chamamos de coeficiente angular da reta r o número real m tal que: O ângulo é orientado no sentido anti-horário e obtido a partir do semieixo positivo Ox até a reta r. Desse modo, temos sempre . Assim: para ( a tangente é positiva no 1º quadrante) para ( a tangente é negativa no 2º quadrante) Exemplos: 19 20 Determinação do coeficiente angular Vamos considerar três casos: a) o ângulo é conhecido 21 b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta são conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB) Como (ângulos correspondentes) temos que . Mas, m = Então: Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(- 2, 5) é: c) a equação geral da reta é conhecida Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos: Aplicando o Teorema de Laplace na 1ª linha, vem: 22 (YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0 Da equação geral da reta, temos: Substituindo esses valores em , temos: Equação de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r. Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X0, Y0), P r, e Q(x,y) um ponto qualquer de P), podemos escrever: Como exemplo, vamos determinar a equação geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X0=1 e Y0=2. Logo: y-y0=m(x-x0)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0 que é a equação geral de r. 23 Representação gráfica de retas Para representar graficamente as retas de equação ax + by + c = 0 ( 0), isolamos a variável y e atribuímos valores a x, obtendo pares ordenados que são pontos da reta. Assim, é mais conveniente usar a equação na forma reduzida, já que ela apresenta o y isolado. Coordenadas do ponto de intersecção de retas A intersecção das retas r e s, quando existir, é o ponto P(x, y), comum a elas, que é a solução do sistema formado pelas equações das duas retas. Vamos determinar o ponto de intersecção, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos: Substituindo esse valor em x -y = -1, temos: 1 - y = -1 y = 2 Logo, P(1, 2) é o ponto de intersecção das retas r e s. Graficamente, temos: 24 Posições relativas entre retas Paralelismo Duas retas, r e s, distintas e não verticais, são paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais. 25 08. Concorrência Dadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes: Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 são concorrentes: Perpendicularismo Se r e s são duas retas não verticais, então r é perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. Lê-se . Acompanhe o desenho: 26 Ângulo entre duas retas Sendo r e s duas retas não verticais e não perpendiculares entre si, pelo teorema do ângulo externo , temos: Dependendo da posição das duas retas no plano, o ângulo pode ser agudo ou obtuso. Logo: 27 Essa relação nos fornece o ângulo agudo entre r e s, pois . O ângulo obtuso será o suplemento de . Distância entre ponto e reta Dados um ponto P(x1, y1) e uma reta r:ax + by + c = 0, a distância entre eles (dpr)é dada por: Vamos calcular a distância, por exemplo, do ponto P(-1,2) à reta r:x - 2y + 1= 0. Temos P(-1, 2) = P(x1, y1), a = 1, b= - 2 e c=1. Assim: 28 09. Bissetrizes Dadas as retas concorrentes r: a1x + b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, o que se interceptam em um ponto Q, se P(x, y) é um ponto qualquer de uma das bissetrizes, Q, então P equidista de r e s: Considerando o sinal positivo, obtemos uma bissetriz; considerando o sinal negativo, obtemos a outra. Vejamos um exemplo: Se r: 3x + 2y - 7 = 0 e s: 2x - 3y + 1 = 0, então suas bissetrizes são: 29 10. Sistema de coordenadas cartesiano Coordenadas cartesianas de alguns pontos do plano. Chama-se Sistema de Coordenadas no plano cartesiano ou espaço cartesiano ou plano cartesiano um esquema reticulado necessário para especificar pontos num determinado "espaço" com dimensões. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático francês e filósofo Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria https://pt.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana 30 euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.1 A ideia para este sistema foi desenvolvida em 1637 em duas obras de Descartes: Discurso sobre o método o Na segunda parte, Descartes apresenta a ideia de especificar a posição de um ponto ou objeto numa superfície, usando dois eixos que se intersectam. La Géométrie o onde desenvolve o conceito que apenas tinha sido referido na obra anterior. Um sistema de referência consiste em um ponto de origem, direção e sentido, isto pode ser obtido de diversas formas, como já tivemos oportunidade de estudar anteriormente, porém, o sistema de coordenadas cartesianas é o mais próximo do mundo real, ele nos permite observar as formas da maneira mais aproximadapossível do nosso modo de ver o universo. Índice 1 Propriedades o 1.1 Localização de pontos o 1.2 Planos primários o 1.3 Distância entre pontos o 1.4 Distância entre um ponto e uma reta o 1.5 A esfera 2 Referências 3 Ver também https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_euclidiana https://pt.wikipedia.org/wiki/Geometria_anal%C3%ADtica https://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo https://pt.wikipedia.org/wiki/Cartografia https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#cite_note-1 https://pt.wikipedia.org/wiki/1637 https://pt.wikipedia.org/wiki/Discurso_sobre_o_m%C3%A9todo https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=La_G%C3%A9om%C3%A9trie&action=edit&redlink=1 https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Propriedades https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Localiza.C3.A7.C3.A3o_de_pontos https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Planos_prim.C3.A1rios https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Dist.C3.A2ncia_entre_pontos https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Dist.C3.A2ncia_entre_um_ponto_e_uma_reta https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#A_esfera https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Refer.C3.AAncias https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#Ver_tamb.C3.A9m 31 Propriedades Com base nestes princípios, imaginemos que o nosso universo é uma linha, ou seja, imagine se não pudéssemos enxergar mais que uma direção e dois sentidos. Então nessa linha teríamos um ponto de partida, ao qual chamamos de origem, ao passo que temos dois lados para ir, adotamos a convenção em que o sinal nos informa o sentido em que caminhamos, para a direita -> +, para a esquerda -> -, cada ponto sobre a reta tem uma distância da origem, à qual chamamos amplitude, ou módulo; desta forma, temos o nosso sistema bem caracterizado. Um sistema de referência como tal é chamado de sistema em uma dimensão, porém não é algo muito útil, no entanto se adicionarmos mais uma reta na origem, formando um ângulo reto com a reta anterior, poderemos referenciar uma segunda direção, agora temos um sistema em duas dimensões, que nos permite localizar um ponto acima e abaixo, além da direita ou esquerda... Se fizermos a mesma analogia e colocarmos uma terceira reta sobre a origem do sistema anterior, fazendo um ângulo reto com ambas as retas anteriores, poderemos localizar um objeto para frente ou para trás, além de acima ou abaixo e além da direita e esquerda, então teremos um sistema em três dimensões.2 A convenção mais usada nos sistemas de referência, estabelece que os sentidos: Para frente, para a direita e para cima são positivos e os seus opostos são negativos. Um sistema de coordenadas tridimensionais pode ser obtido através desta estrutura de três eixos que se interceptam em um único ponto, ao qual chamamos de origem e que também marca uma distinção angular entre os eixos, fazendo com que cada um seja reto em relação aos vizinhos. Nos sentidos positivos coloca-se uma seta para indicar a progressão crescente dos valores. Num sistema como este cada eixo recebe o nome associado a variável que é expressa, ou seja, , que representam as três direções do sistema. https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#cite_note-C.C3.A1lculo-2 32 Localização de pontos 11. Coordenadas cartesianas Agora observe o sistema acima, nele podemos observar a distribuição das variáveis em seus eixos, note que o eixo vertical correspondente à altura é convencionado como eixo , o horizontal, correspondente à largura é convencionalmente chamado de eixo , enquanto que o último, na diagonal em relação ao observador, correspondente à profundidade, é chamado de eixo , cada segmento de eixo partindo da origem gera um octante, visto que o sistema tem oito subplanos partindo da origem. A tripla ordenada no formato ,corresponde a um único ponto no sistema, o qual é encontrado através do reflexo dos valores nos eixos, da seguinte forma: 33 Se desejarmos encontrar o ponto localizamos o valor 3 no eixo , depois o zero no eixo , estes dois valores determinam uma linha sobre o eixo , depois localizamos o valor 5 no eixo e traçamos uma subreta paralela à linha que encontramos anteriormente, nesta altura, no lado oposto ao eixo na direção da subreta está o ponto. Por outro lado se desejarmos encontrar o ponto localizamos o valor -5 no eixo , depois o -5 no eixo , estes dois valores determinam um plano sobre os eixos e , depois localizamos o valor 7 no eixo e traçamos um sub plano paralelo ao plano anteriormente encontrado, nesta altura, no lado oposto ao eixo , na direção do encontro das duas sub retas que definem o plano, está o ponto. Planos primários Definimos planos primários como o conjunto de pontos sobre o gráfico que estão equidistantes dos planos formados por qualquer combinação de dois eixos.2 Suponha que definimos um dos valores da tripla ordenada, por exemplo: ou, ou, . Onde é uma constante. Temos, em cada caso, um plano definido como paralelo ao plano dos dois eixos restantes, pois qualquer valor que seja dado às demais variáveis da tripla ordenada será projetado sobre o plano que foi definido. https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#cite_note-C.C3.A1lculo-2 34 Distância entre pontos Em um sistema bidimensional, a distância entre dois pontos é encontrada utilizando o Teorema de Pitágoras em que: levando à: Para um sistema tridimensional a analogia segue o mesmo raciocínio, ou seja, aplicamos dois teoremas de Pitágoras, o que nos revela a seguinte fórmula: Comprovação: No plano a distância entre os dois pontos do sub plano é , para obter a distância no espaço, precisamos encontrar a distância ., mais precisamente a distância do ponto extremo, resultante do encontro dos valores de e , com o valor em . Esta distância corresponde a , logo: O que define o seu valor após a substituição de , resultando na fórmula definida anteriormente.2 https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras https://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas_cartesiano#cite_note-C.C3.A1lculo-2 35 Distância entre um ponto e uma reta Quando se deseja descobrir a distância de um ponto a uma reta , deseja- se saber o menor caminho entre os dois. Para isso devemos achar um ponto da reta, tal que a distância entre esse ponto e o ponto seja mínimo. 12. A esfera Por definição, a esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço que estão equidistantes de um ponto específico, ao qual denominamos centro. Considerando que as coordenadas de qualquer ponto são e que podemos especificar um ponto de coordenadas , a distância entre os pontos é: Definimos , que é o raio da esfera, consequentemente: Quaisquer conjuntos de pontos que constituem uma esfera também são delimitadores de um espaço no interior da mesma que gera um volume, o qual pode ser calculado pelo cálculo de volumes com a técnica de secionamento por Lâminas paralelas; 36 13. Vetores Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos: • comprimento (denominado módulo). • direção • sentido (de A para B) Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. Assim, a ideia de vetor nos levaria a uma representação do tipo: Na prática, para representarum vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe. Guarde esta ideia, pois ela é importante! Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo símbolo: 37 Para facilitar o texto, representaremos o vetor acima na forma em negrito u. Todas as representações de letras em negrito neste arquivo, representarão vetores. O módulo do vetor u, será indicado simplesmente por u, ou seja, a mesma letra indicativa do vetor, sem o negrito. Podemos classificar os vetores em três tipos fundamentais: Vetor livre – aquele que fica completamente caracterizado, conhecendo-se o seu módulo, a sua direção e o seu sentido. Exemplo: o vetor u das figuras acima. Vetor deslizante – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos conhecer além da sua direção, do seu módulo e do seu sentido, também a reta suporte que o contém. Os vetores deslizantes são conhecidos também como cursores. Notação: (u, r) – vetor deslizante (cursor) cujo suporte é a reta r. Exemplo: ver figura abaixo Vetor ligado – aquele que para ficar completamente caracterizado, devemos conhecer além da sua direção, módulo e sentido, também o ponto no qual está localizado a sua origem. Notação: (u, O) – vetor ligado ao ponto O. Exemplo: ver figura abaixo. 38 Notas: a) o vetor ligado também é conhecido como vetor de posição. b) os vetores deslizantes e os vetores ligados, possuem muitas aplicações no estudo de Mecânica Racional ou Mecânica Geral, disciplinas vistas nos semestres iniciais dos cursos de Engenharia. c) neste trabalho, ao nos referirmos aos vetores, estaremos sempre considerando os vetores livres. O Vetor Oposto Dado o vetor u, existe o vetor – u, que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u, porém, de sentido oposto. O Vetor Unitário (Versor) Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja: | u | = u = 1. O Vetor Nulo Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados. Notação: 0 39 A Projeção De Um Vetor Sobre Um Eixo Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo q com o eixo r. Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r, de medida algébrica igual a ux = u . cosq . Observe que se q = 90º, teremos cosq = 0 e, portanto, a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula. 3 – a notação de grassmann para os vetores Considere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final do vetor. Grassmann (matemático alemão – 1809/1877) interpretou a situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de vetor u. Assim, pode-se escrever: B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B – A Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de dois pontos permitirá a simplificação na resolução de questões, conforme veremos na sequência deste trabalho. 40 Um Vetor No Plano Como Um Par Ordenado Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo: Pela notação de Grassmann, poderemos escrever: P = O + u u = P – O Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por conseguinte, O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y). Substituindo acima, vem: u = P – O = (x, y) – (0, 0) = (x – 0 , y – 0 ) = (x, y). Portanto, u = (x, y) Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de coordenadas cartesianas. Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u, conforme convenção adotada acima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por: 41 Um vetor no plano, em função dos versores dos eixos coordenados Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y, conforme figura abaixo: O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano R2, ou seja, base do plano cartesiano Oxy. Verifica-se que um vetor u = (x, y), pode ser escrito univocamente como: u = x.i + y.j Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço R3, poderíamos considerar os versores i, j e k, respectivamente dos eixos Ox, Oy e Oz, conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço seria: u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k Analogamente, o terno (i, j, k), será a BASE do espaço R3. 42 O módulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por: A demonstração desta fórmula é fácil, quando soubermos determinar o produto interno de vetores, conforme você mesmo confirmará na sequência deste trabalho. Operações Com Vetores 1- adição Dados dois vetores u e v, define-se o vetor soma u + v, conforme indicado nas figuras abaixo. 43 Regra do triângulo Regra do paralelogramo 2- subtração Considerando-se a existência do vetor oposto -v, podemos definir a diferença u – v, como sendo igual à soma u + ( -v ) . Veja a figura abaixo: 3- multiplicação por um escalar Dado um vetor u e um escalar l Î R, define-se o vetor l .u , que possui a mesma direção de u e sentido coincidente para l > 0 e sentido oposto para l < 0. O módulo do vetor l.u será igual a |l |.u . 44 4- produto interno de vetores Dados dois vetores u e v, define-se o produto interno desses vetores como segue: u . v = u . v . cos b onde u e v são os módulos dos vetores e b o ângulo formado entre eles. Da definição acima, infere-se imediatamente que: a) se dois vetores são paralelos, (b = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno deles, coincidirá com o produto dos seus módulos. b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu módulo, pois neste caso, b = 0º e cos 0º = 1 u.u = u.u.1 = u2 c) se dois vetores são perpendiculares, (b = 90º e cos 90º = 0) então o produto interno deles será nulo. d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real. e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar. Cálculo do produto interno em função das coordenadas do vetor Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v. u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j Lembrando que os versores i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos: i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0 45 Daí, fazendo as substituições, vem: u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos produtos das componentes correspondentes ou homônimas. Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, chegamos a uma importante fórmula, a saber: Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d) Já sabemos que: u.v = u.v.cosb = ac + bd Logo, o ângulo formado pelos vetores, será tal que: Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas coordenadas. Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o coseno, o ângulo estará determinado. Veremos um exercício de aplicação, no final deste arquivo. Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de vetores. Seja o triângulo retângulo da figura abaixo: 46 É óbvio que: w = u + v Quadrando escalarmente a igualdade vetorial acima, vem: w2 = u2 + 2.u.v + v2 Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w2, u2 = u2, v2 = v2 e u.v =0 (lembre-se que os vetores u e v são perpendiculares). Assim, substituindo, vem: w2 = u2 + 2.0 + v2, ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos). Agora, convidamos ao visitante, a deduzir o teorema dos cossenos, ou seja: em todo triângulo, o quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. 47 14. Referências Bibliográficas Boulos, Paulo; Camargo, Ivan de. Geometria Analítica: Um Tratamento Vetorial. 3 ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005. ISBN 9788587918918 Lima, Elon Lages. Geometria analítica e álgebra linear. 2 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008. ISBN 9788524401855 Venturi, Jacir J.. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 8 ed. Curitiba: [s.n.]. ISBN 85.85132-48-5 Sebastiani, Marcos. Introdução à Geometria Analítica Complexa. Rio de Janeiro: IMPA, 2004. ISBN 85-244-0218-0 Pogorelov, A. V.. Analytical Geometry (em inglês). [S.l.]: Mir Pub, 1984. Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo. Geometria Analítica. [S.l.]: McGraw-Hill, 1987. http://www.geometriaanalitica.com.br/livros/av.pdf