Geometria Plana - Triângulos e Quadriláteros - Resumo 04

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Geometria Plana:
triângulos e quadriláteros
Prof.ª: Rafael Câmera
Temas: definição, classificação, elementos, pontos notáveis 
e Teorema de Pitágoras
Triângulos
São um tipo de polígono, formados por três lados e três ângulos. Os polígonos, por sua vez, são figuras geométricas formadas por segmentos de reta que, dois a dois, tocam-se em seus pontos extremos, mas que não se cruzam em qualquer outro ponto. 
Sendo assim, os triângulos herdam dos polígonos algumas características e propriedades básicas.
Elementos de um triângulo
Os triângulos possuem os mesmos elementos dos polígonos, com exceção das diagonais. 
Os outros elementos dos polígonos que os triângulos possuem são:
· Lados são os segmentos de reta que formam o polígono.
· Vértices são os pontos de encontro entre os lados.
· Ângulos internos são os ângulos que podem ser observados entre dois lados adjacentes de um triângulo.
· Ângulos externos são os ângulos que podem ser observados entre um lado de um triângulo e o prolongamento do lado adjacente a ele.
· Perímetro de um triângulo é a soma das medidas de seus lados.
· Altura do triângulo é a distância da base do triângulo ao vértice oposto. Sendo a altura é a distância entre um vértice e o lado oposto.
· Mediana do triângulo é o segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
· Mediatriz do triângulo é a perpendicular que passa pelo ponto médio de cada um de seus lados. Logo, todo triângulo possui três mediatrizes.
Classificação dos triângulos
A classificação depende da disposição dos ângulos, assim, existem 7 tipos, são eles:
· Triângulo equilátero – aquele que possui os três lados congruentes.
· Triângulo isósceles – aquele que possui apenas dois lados com medidas congruentes.
· Triangulo escaleno – aquele que possui cada lado com medida diferente.
· Triângulo acutângulo aquele que possui os três ângulos agudos (menores que 90º).
· Triângulo retângulo – aquele que possui um ângulo reto.
· Triângulo obtusângulo – aquele que tem um ângulo obtuso (maior que 90º).
Pontos notáveis de um triângulo
a) Ortocentro 
É a interseção das três alturas de um triângulo.
Assim, em triângulos acutângulos o Ortocentro estará no interior do triângulo. Em triângulos obtusângulos, estará em região exterior ao triângulo. E em triângulos retângulos, coincidirá com o vértice que corresponde ao ângulo reto.
b) Baricentro
Partindo-se da definição de Mediana, segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto de um triângulo. Teremos que seu ponto de encontro é o Baricentro.
Além disso, curiosamente, ele divide cada uma das medianas na proporção de 1/3.
c) Incentro
Partindo-se da definição de Bissetriz, cada uma das retas que, passando pelo vértice, divide o ângulo que lhe corresponde em duas partes iguais. Teremos que seu ponto de cruzamento é o incentro. 
É nele que se faz centro quando se pretende circunscrever triângulos.
d) Circuncentro 
Sabendo se que Mediatriz é a perpendicular que passa pelo ponto médio de cada lado do triângulo, entenderemos que a interseção das três mediatrizes dos lados de um triângulo qualquer será o circuncentro. 
Ou seja, as mediatrizes se cruzam em um ponto chamado Circuncentro, que é equidistante do vértice e, portanto, o centro da circunferência que circunscreve o triângulo. 
O circuncentro, conforme o formato do triângulo, apresenta se em posições variadas.
Aplicação do Teorema de Pitágoras
Pitágoras foi um dos maiores filósofos da Grécia Antiga, nasceu cerca de 580 anos a.C. 
O Teorema de Pitágoras anuncia que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
 
Se montarmos um triângulo cujos lados pertencem a três quadrados que possuem lados medindo 3, 4 e 5 unidades teremos, então, construído um triângulo retângulo.
O triângulo retângulo com catetos medindo 3 e 4 unidades e com a hipotenusa 5 unidades, é o exemplo clássico do teorema de Pitágoras.
Assim, são conceitos importantes:
1. Teorema - afirmação que pode ser comprovada por meio de argumentações matemáticas.
2. Catetos - os dois lados que formam o ângulo reto do triângulo retângulo.
3. Hipotenusa - lado oposto ao ângulo reto do triângulo.
Quadriláteros
Quadriláteros são polígonos de quatro lados.
Com isso, são elementos do quadrilátero:
· Lados: AB, BC, CD e AD.
· Vértices: A, B, C e D.
· Ângulos: A, B, C e D.
· Diagonais: segmentos que unem dois vértices opostos. 
Neste caso, os segmentos AC e BD são as duas diagonais do polígono.
Classificação dos quadriláteros
São classificados de acordo com a medida de seus lados, sendo eles:
A. Paralelogramos - quadriláteros que têm os lados opostos paralelos.
B. Quadrado - polígono de quatro lados congruentes e ângulos internos medindo 90º.
C. Retângulo - quadrilátero com lados paralelos congruentes dois a dois e ângulos internos medindo 90º.
D. Paralelogramo - paralelogramo com os lados opostos iguais dois a dois e os ângulos opostos iguais entre si, mas diferentes de 90º.
E. Losango - quadrilátero com quatro lados congruentes e ângulos internos opostos congruentes entre si dois a dois.
F. Trapézios - quadriláteros com apenas dois lados paralelos, denominados base maior e base menor. A distância entre essas duas bases é denominada altura do trapézio. 
Assim, de acordo com as medidas de seus lados não paralelos possui as seguintes classificações:
i. Trapézio retângulo - aquele que contém dois ângulos retos, ou seja, um de seus lados é perpendicular às duas bases, formando dois ângulos de 90º.
ii. Trapézio isósceles – aquele que tem os lados não paralelos congruentes. Tendo os ângulos da mesma base iguais, assim como suas diagonais.
iii. Trapézio escaleno – aquele que tem os lados não paralelos diferentes (medidas diferentes) e não possui ângulo reto.
iv. Trapezoides - quadriláteros que não têm lados paralelos.