Sea f : X → Y una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos A1 y A2 de X se verifica: (i) f(A1 −A2) ⊃ f(A1)− f(A2). (ii) A1 ⊂ A...

Para demonstrar as duas afirmações, vamos usar a definição de imagem de um conjunto pela função f. (i) Para demonstrar que f(A1 - A2) ⊃ f(A1) - f(A2), vamos começar mostrando que f(A1 - A2) ⊂ f(A1) - f(A2). Seja y um elemento de f(A1 - A2). Isso significa que existe um elemento x em A1 - A2 tal que f(x) = y. Como x está em A1 - A2, temos que x está em A1 e x não está em A2. Portanto, f(x) está em f(A1) e f(x) não está em f(A2). Assim, y = f(x) está em f(A1) - f(A2), o que mostra que f(A1 - A2) ⊂ f(A1) - f(A2). Agora, vamos mostrar que f(A1 - A2) ⊃ f(A1) - f(A2). Seja y um elemento de f(A1) - f(A2). Isso significa que y está em f(A1) e y não está em f(A2). Portanto, existe um elemento x em A1 tal que f(x) = y. Como y não está em f(A2), temos que x não está em A2. Portanto, x está em A1 - A2, o que implica que y = f(x) está em f(A1 - A2). Assim, f(A1) - f(A2) ⊂ f(A1 - A2), o que mostra que f(A1 - A2) ⊃ f(A1) - f(A2). (ii) Para demonstrar que A1 ⊂ A2 ⇒ f(A1) ⊂ f(A2), vamos usar a definição de imagem de um conjunto pela função f. Seja y um elemento de f(A1). Isso significa que existe um elemento x em A1 tal que f(x) = y. Como A1 ⊂ A2, temos que x está em A2. Portanto, f(x) = y está em f(A2), o que mostra que f(A1) ⊂ f(A2). Dessa forma, demonstramos as duas afirmações.