[Dimensão de um Subespaço] (1,5 ponto) Determine a dimensão (dim S) e uma base para o seguinte subespaço: S={(x , y , z )∈ℝ3 /3 x+ y=0, 5 x+ y−2...

Para determinar a dimensão e uma base para o subespaço S, precisamos analisar o sistema de equações lineares que define esse subespaço. O sistema de equações é: 3x + y = 0 5x + y - 2z = 0 -x + z = 0 Podemos reescrever o sistema na forma matricial: | 3 1 0 | | x | | 0 | | 5 1 -2 | x | y | = | 0 | |-1 0 1 | | z | | 0 | Podemos resolver esse sistema utilizando o método da eliminação de Gauss-Jordan ou calculando a matriz aumentada e aplicando operações elementares. Vou utilizar o método da eliminação de Gauss-Jordan para simplificar o sistema: 1) Subtrair 5 vezes a primeira linha da segunda linha: | 3 1 0 | | x | | 0 | | 0 -4 -2 | x | y | = | 0 | |-1 0 1 | | z | | 0 | 2) Somar 1/3 vezes a primeira linha à terceira linha: | 3 1 0 | | x | | 0 | | 0 -4 -2 | x | y | = | 0 | | 0 1 1 | | z | | 0 | 3) Multiplicar a segunda linha por -1/4: | 3 1 0 | | x | | 0 | | 0 1/4 1/2 | x | y | = | 0 | | 0 1 1 | | z | | 0 | 4) Subtrair 1/4 vezes a segunda linha da primeira linha: | 3 0 -1/2 | | x | | 0 | | 0 1/4 1/2 | x | y | = | 0 | | 0 1 1 | | z | | 0 | 5) Subtrair a terceira linha da segunda linha: | 3 0 -1/2 | | x | | 0 | | 0 1/4 0 | x | y | = | 0 | | 0 1 1 | | z | | 0 | Agora, podemos escrever o sistema simplificado: 3x - (1/2)z = 0 (1/4)y = 0 y + z = 0 A partir disso, podemos ver que y = 0 e z = 0. Substituindo esses valores na primeira equação, temos 3x = 0, o que implica que x = 0. Portanto, a solução do sistema é x = 0, y = 0 e z = 0. Isso significa que o subespaço S é o subespaço nulo, que é um subespaço de dimensão zero. Uma base para o subespaço nulo é o conjunto vazio, pois não há vetores linearmente independentes que o geram. Portanto, a dimensão do subespaço S é 0 e uma base para esse subespaço é o conjunto vazio.