Encontre o valor médio de f(x,y,z) = xyz sobre o cubo no primeirto octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=2 e z=2.

Para encontrar o valor médio de f(x,y,z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=2 e z=2, podemos utilizar a fórmula: Média de f(x,y,z) = (1/V) * ∫∫∫ f(x,y,z) dV Onde V é o volume do cubo e a integral tripla é realizada sobre o cubo. Para encontrar o volume do cubo, podemos calcular a integral tripla: ∫∫∫ dV = ∫0² ∫0² ∫0² dx dy dz + ∫2² ∫0² ∫0² dx dy dz + ∫0² ∫2² ∫0² dx dy dz + ∫0² ∫0² ∫2² dx dy dz = 8 + 8 + 8 + 8 = 32 Portanto, o volume do cubo é 32. Agora, podemos calcular a integral tripla de f(x,y,z) = xyz sobre o cubo: ∫∫∫ f(x,y,z) dV = ∫0² ∫0² ∫0² xyz dx dy dz + ∫2² ∫0² ∫0² xyz dx dy dz + ∫0² ∫2² ∫0² xyz dx dy dz + ∫0² ∫0² ∫2² xyz dx dy dz = ∫0² ∫0² ∫0² xyz dx dy dz + 8∫0² ∫0¹ ∫0² xyz dx dy dz + 8∫0² ∫0² ∫0¹ xyz dx dy dz + 8∫0¹ ∫0² ∫0² xyz dx dy dz = 8/3 Portanto, a média de f(x,y,z) = xyz sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=2 e z=2 é 8/3.