Encontre o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelos planos x+z=1 e y+2z=2 . A ) -2/3 B ) -1/3 C ) 2/3 D )...

Para encontrar o volume da região no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelos planos x+z=1 e y+2z=2, podemos utilizar o método de integração por dupla. Primeiro, encontramos os pontos de interseção dos planos x+z=1 e y+2z=2 com os planos coordenados. Temos: x+z=1 -> z=1-x y+2z=2 -> z=(2-y)/2 Substituindo z em x+z=1, temos: x+1-x=1 x=0 Substituindo z em y+2z=2, temos: y+2(2-y)/2=2 y=0 Portanto, os pontos de interseção são (0,0,0), (1,0,0) e (0,2,0). Agora, podemos escrever as integrais para encontrar o volume: V = ∫∫R f(x,y) dA Onde R é a região no plano xy limitada pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,2), e f(x,y) é a altura da região em relação ao plano xy. Temos que f(x,y) é a distância entre o ponto (x,y,0) e o plano z=x+2y-2. Portanto: f(x,y) = x+2y-2 Assim, a integral dupla fica: V = ∫0² ∫0^(1-x) (x+2y-2) dy dx Resolvendo as integrais, temos: V = ∫0² [(x²/2) - x + 1] dx V = [x³/6 - x²/2 + x] de 0 a 2 V = 2/3 Portanto, o volume da região é 2/3. A alternativa correta é a letra C.