35. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

Para determinar o volume do tetraedro, podemos utilizar a fórmula V = (1/3) * A_base * h, onde A_base é a área da base do tetraedro e h é a altura em relação à base. Primeiro, precisamos encontrar os vértices do tetraedro. A partir das equações dos planos, podemos obter: x + 2y + z = 2 => z = 2 - x - 2y x = 2y x = 0 z = 0 Substituindo x por 2y e z por 0 na primeira equação, temos: 2y + 2y = 2 y = 1/2 Portanto, os vértices do tetraedro são: (0, 0, 0), (1, 1/2, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 2). A base do tetraedro é um triângulo equilátero com lados de comprimento 1. Portanto, sua área é A_base = (sqrt(3)/4) * 1^2 = sqrt(3)/4. A altura do tetraedro em relação à base é a distância entre o ponto (0, 0, 2) e o plano que contém o triângulo equilátero. Essa distância é dada por: h = |(0 + 2(1/2) + 0 - 2)/sqrt(1^2 + 2^2 + 1^2)| = 2/sqrt(6) Assim, o volume do tetraedro é: V = (1/3) * A_base * h = (1/3) * (sqrt(3)/4) * (2/sqrt(6)) = sqrt(2)/12. Portanto, o volume do tetraedro é sqrt(2)/12.