4) Assuma que a probabilidade de nascimento de um menino seja de 0,51 e que o sexo dos filhos de um casal seja um evento independente. Qual a proba...

Para resolver esse problema, podemos usar a distribuição binomial. Vamos analisar cada parte: a) Para calcular a probabilidade de exatamente três meninos em uma família com cinco filhos, usamos a fórmula da distribuição binomial: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k} \] Substituindo os valores, temos: \[ P(X = 3) = \binom{5}{3} \times 0,51^3 \times (1-0,51)^{5-3} \] \[ P(X = 3) = 10 \times 0,51^3 \times 0,49^2 \] \[ P(X = 3) = 0,204 \] Portanto, a probabilidade de uma família com cinco filhos ter exatamente três meninos é de 20,4%. b) Para calcular a probabilidade de pelo menos um menino, podemos calcular a probabilidade complementar de nenhum menino (ou seja, todos meninas) e subtrair de 1: \[ P(\text{pelo menos um menino}) = 1 - P(\text{todos meninas}) \] \[ P(\text{pelo menos um menino}) = 1 - 0,49^5 \] \[ P(\text{pelo menos um menino}) = 1 - 0,0298 \] \[ P(\text{pelo menos um menino}) = 0,9702 \] Portanto, a probabilidade de uma família com cinco filhos ter pelo menos um menino é de 97,02%. c) A probabilidade de pelo menos uma menina é a mesma que a probabilidade de pelo menos um menino, pois são complementares. Portanto, a resposta é 97,02%. d) Para calcular a probabilidade de todos os filhos do mesmo sexo, podemos calcular a probabilidade de todos meninos e todos meninas separadamente: Probabilidade de todos meninos: \(0,51^5 = 0,0510\) Probabilidade de todos meninas: \(0,49^5 = 0,0298\) Portanto, a probabilidade de todos os filhos do mesmo sexo é a soma dessas duas probabilidades: \[0,0510 + 0,0298 = 0,0808\] Assim, a probabilidade de todos os filhos do mesmo sexo é de 8,08%.