Lista 6 – Vetores e Geometria Analítica 1. Determine a distância da reta ???? definida por (????, ????, ????) = (5,1,0) + ????(1, −1, 0), ???? ∈ ℝ, ao plano α...

Lista 6 – Vetores e Geometria Analítica

1. Determine a distância da reta ???? definida por (????, ????, ????) = (5,1,0) + ????(1, −1, 0), ???? ∈ ℝ, ao plano α de equação geral ???? + ???? + √2???? = 10.

2. Determine a distância
a) do ponto P à reta r, onde ???? = (1,−1, 0) e ????: (????, ????, ????) = (2, 2, 3) + ????(−1,−1, 0), ???? ∈ ℝ ;
b) da reta r à reta s, onde r é a reta definida no item anterior e s é a reta cujas equações paramétricas são {
???? = 1 + ????/2
???? = 5 + ????/2
???? = 0, ???? ∈ ℝ ;
c) da reta r à reta k, onde r é a reta definida no item a) e k é a reta definida pela equação vetorial (????, ????, ????) = (−1, 1, 5) + ????(2, 3, 1), ???? ∈ ℝ ;
d) do ponto Q ao plano π, onde ???? = (1, −1, 3) e π: 2???? − 2???? = −4.

3. Sejam A, B, C, D e E os vértices de uma pirâmide de base ABCD e vértice E. Determine a medida da altura da pirâmide em relação à base, sabendo que ???? = (1,−3,7), ???? = (1,3, −5), ???? = (5,1,3), ???? = (0, 3,−6) e ???? = (−1,2,1).

4. Dê uma equação geral para o plano que passa pelos pontos ???? = (1, 1,−1) e ???? = (2, 1, 1) e que dista 1 da reta ????: (????, ????, ????) = (1,0,2) + ????(1,0,2).


1) 2
2) a) √11
b) √17
c) 0
d) 2√2
3) √6
4) ???? = 1 ou −6???? + 2???? + 3???? = −7 (Solução: Sendo ???? ⃗⃗ ⃗ = (a, b, c) o vetor normal do plano procurado, como (a, b, c).(1, 0, 2) = 0, temos que ???? ⃗⃗ ⃗ = (-2c, b, c). Além disso, como A = (1,1, -1) é um ponto do plano e a distância do plano à reta deve ser 1, tomando P = (1, 0, 2) como sendo o ponto da reta, temos que ???????? ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = (0,−1, 3) e, consequentemente, 1 = |(0,−1, 3). (−2c, b, c)|/‖???? ⃗⃗ ⃗‖. Logo, |-b+3c|= ‖???? ⃗⃗ ⃗‖, isto é, 3bc = 2c2. Daí, temos duas possibilidades: c = 0 ou c ≠ 0. Se c = 0, então a princípio, qualquer valor real de b satisfaz 3bc = 2c2, mas lembrando que se c = 0, então ???? ⃗⃗ ⃗= (0, b, 0), temos que b não pode ser zero, pois neste caso, o vetor normal seria nulo, o que seria uma contradição. Logo, supondo c = 0, podemos admitir que b seja qualquer real não nulo, para encontrar o plano by = b, ou seja, y = 1. Se c ≠ 0, então b = 2c/3. Daí, ???? ⃗⃗ ⃗= (−2c, 2c/3, c) e substituindo um dos pontos por onde o plano passa na equação geral do plano, concluímos que a equação fica −2???????? + 2????????/3 + ???????? = −7????/3. Multiplicando os dois membros por 3/c, encontramos a equação particular −6???? + 2???? + 3???? = −7.)