155. Qual é o valor de ∫[0, π/4] cos(x) / (1 + sin(x)) dx? a) ln(2) b) ln(3) c) ln((√2 + 1) / (√2 - 1)) d) ln((√2 - 1) / (√2 + 1))

Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição \( u = 1 + \sin(x) \). Assim, \( du = \cos(x) dx \). A integral se torna \( \int \frac{1}{u} du \), que é igual a \( \ln|u| + C \). Substituindo de volta \( u = 1 + \sin(x) \), obtemos \( \ln|1 + \sin(x)| + C \). Agora, para encontrar o valor da integral no intervalo de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{4} \), substituímos \( x = 0 \) e \( x = \frac{\pi}{4} \) na expressão \( \ln|1 + \sin(x)| \) e subtraímos os resultados. Ao fazer isso, obtemos \( \ln|1 + \sin(\frac{\pi}{4})| - \ln|1 + \sin(0)| \), que resulta em \( \ln(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}) - \ln(1) \), simplificando para \( \ln(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}) \). Portanto, a alternativa correta é: c) \( \ln(\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}) \)