Matemática/raciocínio Lógico - Condicional / Bicondicional

Prévia do material em texto

Raciocínio Lógico
Condicional / Bicondicional
Professor Fabrício Biazotto
www.acasadoconcurseiro.com.br
3www.acasadoconcurseiro.com.br
Raciocínio Lógico
CONECTIVOS LÓGICOS
6 – CONDICIONAL OU IMPLICAÇÃO (ENTÃO) (→ OU ⊂ )
A condicional é o conectivo lógico mais utilizado e é importante lembrar que o “se” não é 
conectivo lógico, o conectivo é exclusivamente o “então”, porém qualquer sentença lógica que 
iniciar com “se” só pode ser uma condicional.
Outra coisa importante que deve ser frisada é que de uma forma constante, o “então” é 
substituído simplesmente por uma vírgula (,), assim é necessário entender isso na sentença 
lógica.
O mais importante a entender na condicional é que a segunda proposição será sempre uma 
subconjunto da primeira proposição, por isso do símbolo “está contido” (⊂ ), então:
Se P, então Q = P → Q = Todo P é Q = P ⊂ Q = P está contido em Q
Ou seja, o seguinte exemplo: “Se é pescador, então é mentiroso”, é exatamente igual a “Todo 
pescador é mentiroso”, o que na teoria de conjuntos significa:
Logo, como se pode ver, o conjunto pescador está contido no conjunto mentiroso, assim todo 
pescador é mentiroso, porém a recíproca não é verdadeira, pois existem mentirosos que não 
são pescadores. Estes são todos os mentirosos que estão na coroa (setor circular) em vermelho.
Para que se possa entender melhor o que será explicado, o seguinte exemplo será utilizado: Se 
moro no estado do Rio de Janeiro, então moro no Brasil.
Simbolizando:
P: Moro no estado do Rio de Janeiro; Q: Moro no Brasil; Conectivo: então = →
P → Q
 
4 www.acasadoconcurseiro.com.br
Visualizando a sentença P → Q na teoria de conjunto:
Passa-se a possuir as seguintes possibilidade:
1º – Mora no RJ, necessariamente mora no Br. (1ª = V e 2ª = V);
2º – Mora no Brasil, não necessariamente mora no RJ, pode morar no RJ, mas também pode 
morar em outro estado. (1ª = V ou F e 2ª = V).
Ao entender a 1ª possibilidade e a 2ª possibilidade, o que é bem representado na teoria de 
conjuntos, fica fácil perceber o seguinte:
A 2ª sentença é condição necessária da 1ª sentença;
A 1ª sentença é condição suficiente da 2ª sentença.
3º – Não mora no Br., necessariamente não mora no RJ (1ª = F e 2ª = F);
4º – É impossível morar no Rio de Janeiro e não morar no Brasil! (1ª = V e 2ª = F).
Analisando as possibilidades, fica entendido que:
A 1ª é verdadeira (1ª = V e 2ª = V);
A 2ª é verdadeira (1ª = V ou F e 2ª = V).
A 3ª é verdadeira (1ª = F e 2ª = F);
A 4ª é a única possibilidade de uma condicional ser FALSA! logo a regra da condicional é:
Regra da Condicional: “SOMENTE SERÁ FALSO QUANDO A 1ª FOR VERDADEIRA E A 2ª FOR 
FALSA”.
V → F = F
Exemplo: Faça a tabela-verdade para a seguinte sentença: “Se Pedro é advogado, então é 
arquiteto”.
Também de forma lógica é possível perceber alguma observações:
Raciocínio Lógico – Condicional / Bicondicional – Prof. Fabrício Biazotto
5www.acasadoconcurseiro.com.br
OBS1.: Em uma condicional, se 1ª for FALSA, ou a 2ª for VERDADEIRA, ela sempre será 
verdadeira.
OBS2.: Simbolizando quando uma condicional é falsa, ou seja, quando não será uma condicional, 
entende-se que é a negação da condicional. Veja a sentença:
“Não será uma condicional quando a 1ª for V e a 2ª for F, ou seja, quando for uma e não for a 
outra”. (REGRA)
Simbolizando: ~ ( P → Q) = P ^ ~ Q (Lei de De Morgan).
OBS3.: A condicional é a única onde a ordem das proposições é importante!
P ^ Q = Q ^ P, ou seja, a ordem das proposições não altera a conjunção;
P v Q = Q v P, ou seja, a ordem das proposições não altera a disjunção;
P v Q = Q v P, ou seja, a ordem das proposições não altera a disjunção exclusiva;
P ↔ Q = Q ↔ P, ou seja, a ordem das proposições não altera a bicondicional;
Porém, muita atenção!!!
P → Q ≠ Q → P, ou seja, a ordem das proposição altera a condicional!
Exemplo: Faça a tabela-verdade para P → Q e Q → P
OBS4.: Nas tabelas-verdades:
A) A conjunção pode unir duas ou mais proposições ao mesmo tempo, desde que todas sejam 
conjunções, pois todas devem ser V.
B) A disjunção pode unir duas ou mais proposições ao mesmo tempo, desde que todas sejam 
disjunções, pois todas devem ser F.
C) A disjunção exclusiva pode unir duas ou mais proposições ao mesmo tempo, desde que 
todas sejam disjunções exclusivas, pois apenas uma deve ser V.
D) A bicondicional pode unir duas ou mais proposições ao mesmo tempo, desde que todas 
sejam bicondicionais, pois devem ser iguais.
E) A condicional é a única que deve ser resolvida apenas aos pares (de duas em duas), 
exclusivamente por conta de sua regra!
 
6 www.acasadoconcurseiro.com.br
OBS5.: A sentença lógica P → Q é lida como Se P, ENTÃO Q, porém existem outras formas de 
ser escrita:
P → Q = Se P, então Q;
 P, então Q,;
 quando P. Q,;
 Q quando P;
 No caso de P, Q;
 Q no caso de P;
 Q, contanto que P,;
 P é condição suficiente para Q;
 Q é condição necessária para P;
 Q, se P;
 P somente quando Q;
 P, só se Q;
 P só no caso de Q;
 P implica Q.
7 – BICONDICIONAL (... SE, E SOMENTE SE, ...) (↔)
A bicondicional, como a própria etimologia da palavra indica, é uma condicional duas vezes, 
logo é o momento onde P → Q = Q → P, e para que isto aconteça, é necessário que o conjunto 
P e o conjunto Q sejam exatamente iguais, assim tem-se que:
P → Q = Q → P = P ! Q = P ↔ Q, ou seja,
P está contido em Q e Q está contido em P:(P⊂Q)∧ (Q⊂P) , logo:
A primeira sentença é condição suficiente e necessária para segunda sentença e;
A segunda sentença é condição suficiente e necessária para primeira sentença.
Assim como na condicional, na bicondicional (condicional duas vezes) a regra é a mesma VF = 
F em ambos sentidos, porém como são conjuntos iguais, a regra da bicondicional fica definida 
como:
Regra da Bicondicional: “SERÁ VEDADEIRO QUANDO FOREM IGUAIS”.
Raciocínio Lógico – Condicional / Bicondicional – Prof. Fabrício Biazotto
7www.acasadoconcurseiro.com.br
Exemplo: Faça a tabela-verdade para a seguinte sentença: “Pedro é advogado se, e somente se, 
é arquiteto”.
Também de forma lógica é possível perceber alguma observações:
OBS1.: Em uma bicondicional se os valores lógicos das proposições forem diferentes, ela 
sempre será falsa.
OBS2.: Simbolizando quando uma bicondicional é falsa, ou seja, quando não será uma 
bicondicional, entende-se que é a negação da bicondicional. Veja a sentença:
“Não será uma bicondicional quando a 1ª for V e a 2ª for F e vice-versa, ou seja, quando for 
uma e não for a outra, ou quando não for uma e for a outra”. (OBS1)
Simbolizando: ~ (P ↔ Q) = (P ^ ~ Q ) v (~ P ^ Q) (Lei de De Morgan).
OBS3.: Em uma bicondicional de uma proposição e da negação dela mesma, sempre será uma 
contradição.
Exemplo: Na eleição para prefeitura o candidato A será se, e somente se, não será eleito.
Sentença simbolizada P ↔ ~ P (apenas uma letra, logo tabela-verdade de uma coluna)
Ao terminar a tabela-verdade, percebe-se que a última coluna é toda F, assim esta tabela é 
uma CONTRADIÇÃO!
OBS4.: A sentença lógica P ↔ Q é lida como P, SE, E SOMENTE SE Q, porém existem outra 
forma de ser escrita:
P ↔ Q = P, se, e somente se Q;
 P somente Q.
9www.acasadoconcurseiro.com.br
Questões
8 – EXERCÍCIOS:
1. (2014 – CESPE – TJ/SE – CESPE – 2014 – 
Técnico Judiciário)
Sabendo–se que para a proposição 
(P∨Q)↔ (Q∧R) , a tabela-verdade se faz 
necessário, é correto afirmar que, a partir 
da tabela, a coluna correspondente à pro-
posição (P∨Q)↔ (Q∧R) conterá, de cima 
para baixo e na sequência, os seguintes ele-
mentos: V F F F V F F F. 
( ) Certo   ( ) Errado
2. (2014 – CESPE – CEF – Técnico Bancário)
Considerando a proposição “Se Paulo não 
foi ao banco, ele está sem dinheiro", julgue 
os itens a seguintes.
Se as proposições “Paulo está sem dinheiro" 
e “Paulo foi ao banco" forem falsas, então a 
proposição considerada será verdadeira.
( ) Certo   ( ) Errado 
3. (2014 – CESPE – PF – Agente da PF)
A partir do preenchimento da tabela-verda-
de abaixo, é correto concluir que a proposi-
ção: P∧Q∧R→P∨Q, é uma tautologia.
( ) Certo   ( ) Errado
4. (2016 – CESPE – DPU – Analista)
Um estudante de direito, com o objetivo de 
sistematizar o seu estudo, criou sua própria 
legenda, na qual identificava, por letras, al-
gumas afirmações relevantes quanto à dis-
ciplina estudada e as vinculava por meio de 
sentenças (proposições). No seu vocabulá-
rio particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A. 
Q: Cometeu o crime B. 
R: Será punido, obrigatoriamente, com a 
pena de reclusão no regime fechado. 
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança. 
Ao revisar seus escritos, o estudante, ape-
sar de não recordar qual era o crime B, lem-
brou que ele era inafiançável.
Tendo como referência essa situação hipo-
tética, julgue o item que se segue.
A sentença (P→Q)↔ ((∼Q)→ (∼P)) será 
sempre verdadeira, independentemente 
das valorações de P e Q como verdadeiras 
ou falsas.
( ) Certo   ( ) Errado
 
10 www.acasadoconcurseiro.com.br
5. (FCC – ICMS/SP)
Na tabela-verdade abaixo, p e q são propo-
sições.
p q ?
V V F
V F V
F V F
F F F
A proposição composta que substitui corre-
tamente o ponto de interrogação é
a) q∧p
b) q→p
c) ¬(p→q)
d) p↔ q
e) ¬(p∨q)
Gabarito: 1. E 2. E 3. C 4. C 5. C