Matemática - ESTATÍSTICA - Progressão Aritmética

Prévia do material em texto

ESTATÍSTICA
VIDEOAULA
PROF. FABRÍCIO BIAZOTTO
Progressão Aritmética
www.acasadoconcurseiro.com.br
http://www.acasadoconcurseiro.com.br
ESTATÍSTICA
3
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)
Observe a sequência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7, ...)
Observe que cada termo, exceto o primeiro, equivale ao anterior adicionado a um número fixo: 
2.
Sequências como essa são chamadas de progressões aritméticas.
Progressão aritmética (PA) é toda sequência numérica em que cada um de seus termos, a partir 
do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante r, denominada razão da progressão 
aritmética.
Exemplos
(2, 5, 8, 11, 14, ...) é uma PA de razão 3;
(10, 8, 6, 4, 2, 0, ...) é uma PA de razão -2.
Uma sequência (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) é uma PA quando:
a2 = a1 + r 
a3 = a2 + r 
a4 = a3 + r...
Assim:
an = an+ 1 + r
Note que em uma PA, subtraindo-se de cada termo o seu antecessor, obtemos a razão
r:
Genericamente:
Assim, para descobrimos qual é a razão de uma PA, basta subtrairmos um termo qualquer de 
seu antecessor.
Também, pelo simples fato de ser constante a razão da PA, pode-se dizer que em três termos 
consecutivos, o termo do meio é exatamente igual a média aritmética dos termos das pontas:
4
Classificação de uma PA
Uma PA pode ser:
Classificação Razão Exemplo
Crescente r > 0 (1, 5, 9, 13,17,...) r =4
Decrescente r < 0 (7, 4, 1, -2,-5,...) r =-3
Constante r = 0 (5, 5, 5, 5, 5,5,...) r =0
Fórmula do termo geral de uma PA
Note que podemos escrever todos os termos de uma PA em função de a1 e r:
a1 = primeiro termo 
an = enésimo termo 
r = razão
n = número de termos
Soma dos n termos de uma PA
Considere a PA finita:
(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19).
Note que:
5 e 19 são extremos;
7 e 17 são termos equidistantes dos extremos; 
9 e 15 são termos equidistantes dos extremos; 
11 e 13 são termos equidistantes dos extremos.
Observe:
5 + 19 = 24 → soma dos extremos
7 + 17 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos 
9 + 15 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos 
11 + 13 = 24 → soma de dois termos equidistantes dos extremos
Baseada nessa ideia, existe a seguinte propriedade:
Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dosextremos. 
Através dessa propriedade, podemos descobrir a fórmula para a soma dos n termos de uma PA:
Vamos considerar a PA finita (a1, a2, a3, a4, ..., an). Podemos representar por Sn a soma dos 
termos dessa PA.
ESTATÍSTICA | FABRÍCIO BIAZOTTO
5
Como a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual a soma dos extremos, a soma 
da PA é dada pela soma dos extremos vezes a metade do número de termos ( n/2), pois em cada 
soma estão envolvidos dois termos.
Sn= soma dos n termos 
a1= primeiro termo
an = enésimo termo
n = número de termos
Observação: Através dessa fórmula, podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma 
PA qualquer, basta determinarmos o número de termos que queremos somar.