SOMA DOS TERMOS DE UMA PA - QUESTÕES RESOLVIDAS - LISTA 2 - PROF ROBSON LIERS

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA – P.A. 
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. 
 
Soma dos n primeiros termos de uma PA 
Seja a PA genérica (a1, a2, a3,..., an-1, an). 
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an, pode ser deduzida a 
partir da propriedade 
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + a n-1 + an 
Aplicando a propriedade 
Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1) 
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo 
valor (são iguais à soma dos termos extremos a1 + an), de onde concluímos 
inevitavelmente que: 
 2.Sn = (a1 + an). n, onde n é o número de termos da PA. Daí então vem finalmente que: 
�� = 
��� + ��	. �
�
 
Exemplo: 
Calcular a soma dos dez primeiros termos da P.A(4,7,10,...). 
an = a1 + (n – 1) r 
a10 = 4 + 9 . 3 
a10 = 31 
�� = 
������	.�
�
  � �
 = 
��� ��	.�
�
  S10 = 175 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Qual é a soma dos 30 termos iniciais da progressão aritmética (2, 9, 16, …)? 
a) 205 
b) 3105 
c) 6210 
d) 207 
e) 203 
 
2) Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000? 
a) 249980 
b) 1010 
c) 249975 
d) 499950 
e) 999 
 
3) Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 25º 
elemento? 
a) 245 
b) 12250 
c) 13250 
d) 255 
e) 10 
 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO PASSO A PASSO: 
 
1) Qual é a soma dos 30 termos iniciais da progressão aritmética (2, 9, 16, …)? 
A soma dos termos de uma PA finita ou dos termos iniciais de uma PA infinita é dada 
por: 
S = n(a1 + an) 
 2 
Para usar essa fórmula, é necessário descobrir apenas o valor do trigésimo termo 
dessa PA. Isso pode ser feito pela fórmula do termo geral a seguir: 
an = a1 + (n – 1)r 
a30 = 2 + (30 – 1)7 
a30 = 2 + (29)7 
a30 = 2 + 203 
a30 = 205 
Substituindo os dados na expressão que soma os termos de uma PA, teremos: 
S = n(a1 + an) 
 2 
S = 30(2 + 205) 
 2 
S = 30(207) 
 2 
S = 6210 
 2 
S = 3105 
Assim, a soma dos 30 primeiros termos da PA é 3105. 
Gabarito: letra B. 
 
 
 
 
 
2) Qual é a soma dos números ímpares entre 10 e 1000? 
Para calcular essa soma, podemos usar a soma dos termos de uma PA. Para isso, basta 
saber o primeiro e o último número ímpar da sequência e a quantidade de números 
ímpares no intervalo. Para isso, observe que o primeiro número ímpar após 10 é 11, e o 
último número ímpar antes de 1000 é 999. 
Já a quantidade de números ímpares é a metade da quantidade total de números na 
sequência. Note apenas que a sequência começa e termina com um número par. Para 
que esse cálculo dê certo, ignoraremos um deles. 
Assim, são 990 números pares e ímpares de 11 a 1000 e, portanto, 495 números 
ímpares. 
Substituindo os dados na fórmula usada para soma dos termos de uma PA, teremos: 
S = n(a1 + an) 
 2 
S = 495(11 + 999) 
 2 
S = 495(1010) 
 2 
S = 495(1010) 
 2 
S = 499950 
 2 
S = 249975 
A soma dos números ímpares que vão de 10 a 1000 é igual a 249975. 
Gabarito: letra C. 
 
3) Em uma PA de razão 5, cuja soma dos 50 primeiros termos é 6625, qual é o 25º 
elemento? 
Primeiramente, precisamos relacionar o termo inicial e o final. Podemos fazer isso 
usando a fórmula do termo geral da PA. O objetivo dessa relação é usá-la na fórmula 
para a soma dos termos da PA, pois essa soma depende desses termos. Observe: 
an = a1 + (n – 1)r 
a50 = a1 + (50 – 1)5 
 
 
a50 = a1 + (49)5 
a50 = a1 + 245 
Agora, com a fórmula da soma dos termos de uma PA, substituiremos a50 por a1 + 245 
e S por 6625: 
S = n(a1 + an) 
 2 
S = 50(a1 + a50) 
 2 
6625 = 50(a1 + a1 + 245) 
 2 
2·6625 = 50(2a1 + 245) 
13250 = 100a1 + 12250 
13250 – 12250 = 100a1 
1000 = 100a1 
a1 = 10 
Conhecendo o valor de a1, podemos descobrir a50 voltando à fórmula do termo geral da 
PA: 
an = a1 + (n – 1)r 
a50 = a1 + (50 – 1)5 
a50 = a1 + (49)5 
a50 = a1 + 245 
a50 = 10 + 245 
a50 = 255 
Gabarito: letra D.