Ebook Teoria das estruturas Estudo 1

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TEORIA DAS ESTRUTURASTEORIA DAS ESTRUTURAS
INTRODUÇÃO À TEORIA DASINTRODUÇÃO À TEORIA DAS
ESTRUTURASESTRUTURAS
Autor: Me. Cleverson de Freitas
Revisor : Bruno Pere ira dos Santos
IN IC IAR
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introdução
Introdução
Caro aluno, você sabe projetar a estrutura de uma edi�cação? Por que é tão
importante o conhecimento do comportamento e dos conceitos que
envolvem as estruturas? E você já deve ter se questionado como cada vez
mais as estruturas estão mais esbeltas e ao mesmo tempo maiores, não?
O cálculo de uma estrutura parte do conhecimento das cargas atuantes
denominadas esforços externos ativos ou cargas; com os fundamentos da
Teoria das Estruturas, determinamos as reações dos apoios ou os esforços
externos reativos e os esforços que ocorrem nas seções transversais ao longo
das barras, tais como o momento �etor, o esforço cortante, o esforço normal,
dentre outros, que também denominamos esforços internos solicitantes.
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O estudo da forma (morphos + logia) das estruturas é imprescindível dentro
da engenharia civil.   Vamos, então, abordar os conceitos e as classi�cações
fundamentais das estruturas, objetivando a melhor compreensão da Teoria
das Estruturas.
Uma estrutura refere-se ao conjunto dos elementos resistentes de uma
construção convenientemente associados, isto é, são sistemas compostos de
uma ou mais peças ligadas entre si e ao meio exterior, de modo a formar um
conjunto estável capaz de receber solicitações externas, absorvê-las
internamente e transmiti-las até seus apoios, resultando no sistema estático
equilibrante.
Assim de�nimos, então, elementos resistentes de uma construção como
sendo as vigas, pilares, lajes, tirantes, escoras, arcos, dentre outros.
É fundamental que um engenheiro estrutural reconheça os vários elementos
que compõem a estrutura e seja capaz de classi�car as estruturas quanto à
sua forma e função.
Morfologia das EstruturasMorfologia das Estruturas
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Assim classi�camos as estruturas quanto à disposição dos elementos
resistentes e ao modo de agir dos esforços externos ativos (ou cargas) nas
categorias a seguir.
Estruturas lineares ou unidimensionais: estruturas compostas de
elementos estruturais denominados barras.
•      Barra é todo corpo alongado cujas dimensões transversais são
pequenas em relação ao seu comprimento e cujo eixo é uma linha
reta ou curva aberta contínua que passa pelo centro de gravidade da
seção transversal. Caso as estruturas lineares sejam formadas por
saiba mais
Saiba mais
Qual a diferença entre resistência e rigidez?
São propriedades conferidas a todas as
estruturas - de resistência e de rigidez, isto é,
são as propriedades que permitem às
estruturas resistirem às cargas dentro de
certos limites, sem colapsarem, ou seja,
ruírem ou sofrerem grandes deformações,
ou ainda, variações de suas dimensões
originais. A resistência é a capacidade de
transmitir as forças internamente, molécula
por molécula, dos pontos de aplicação aos
apoios, sem que ocorra a ruptura da peça.
Rigidez é a capacidade de não deformar
excessivamente para o carregamento
previsto, não comprometendo o
funcionamento e o aspecto da peça. Para
conhecer mais, sugiro que você leia o artigo
Contribuição para a Avaliação da Redução da
Rigidez de Elementos Estruturais de Concreto
Pré-moldado de Edifícios de Múltiplos
Pavimentos para Análise da Estabilidade
Global.
ACESSAR
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1983-41952012000300005&lng=en&nrm=iso&tlng=pt
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barras de eixo reto, recebem as seguintes denominações: tirantes,
vigas, treliças, pórticos, grelhas etc. Se apresentarem eixo curvo, são
denominadas arcos, redes, cabos, vigas, balcões etc.
•   Tirantes são elementos estruturais sujeitos a uma força de tração.
São ainda conhecidos como barras de contraventamento. Devido à
natureza da carga, esses elementos são delgados e frequentemente
escolhidos a partir de hastes, barras ou cantoneiras.
•  Vigas são elementos estruturais, em geral, horizontais retos,
empregados fundamentalmente para sustentar cargas verticais. Em
particular, quando a seção transversal varia, a viga é denominada de
inércia variável. As seções transversais das vigas ainda podem ser
reforçadas com o emprego de chapas ao longo do seu comprimento
na parte superior e inferior. As vigas são basicamente projetadas
para resistir ao momento �etor, entretanto, se elas são curtas e
suportam grandes cargas, a força de cisalhamento interna pode se
tornar muito grande e in�uenciar no projeto. O material de que é
feito uma viga pode ser aço, concreto ou madeira. Quando executada
em aço, a sua seção transversal pode ser e�ciente devido ao seu
formato. Quando executada em concreto, geralmente a sua seção
transversal é retangular devido à facilidade de execução. As vigas de
madeira podem ser executadas de uma única peça de madeira ou
laminadas (montadas com o emprego de colas de alta resistência).
•    Pilares são elementos estruturais, normalmente verticais, que
resistem a cargas de compressão axiais. Tubos e seções transversais
de abas largas são mais utilizados para pilares metálicos, enquanto
que seções transversais circulares e quadradas com armadura de aço
são mais utilizadas como pilares de concreto. Em alguns casos, os
pilares são sujeitos tanto a carga axial quanto ao momento �etor, e
nesse caso, são chamados de vigas-parede.  
•  Treliças consistem em elementos delgados, normalmente dispostos
de maneira triangular. As treliças planas são compostas de
elementos que se encontram no mesmo plano, muito utilizadas para
o suporte de pontes e coberturas. Já as treliças espaciais têm
estruturas em três dimensões, sendo mais utilizadas em guindastes e
torres. Devido ao arranjo geométrico de seus elementos, o
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carregamento que tende a curvar as treliças é convertido em forças
de tração ou compressão nos seus elementos. Daí, então, uma das
vantagens fundamentais de uma treliça, se comparada a uma viga, é
quanto ao consumo menor de materiais para sua execução. Ela ainda
é construída de elementos longos e delgados, que podem ser
arranjados de várias maneiras para suportar o carregamento.
•   Cabos e arcos são duas outras formas de estruturas destinadas a
cobrir vãos de grandes dimensões. Os cabos são normalmente
�exíveis e suportam suas cargas em tração. Muito utilizados em
pontes e coberturas. Como os cabos sempre estão tracionados, não
se tornarão instáveis a ponto de um colapso súbito, como pode
ocorrer com vigas ou treliças. Além disso, a treliça vai exigir mais
custos para sua construção e uma altura maior à medida que o vão
aumenta. Por outro lado, o uso de cabos é limitado apenas por sua
�echa, peso e métodos de ancoragem. O arco trabalha
fundamentalmente à compressão, tendo em vista que ele tem uma
curvatura inversa àquela do cabo. No entanto, o arco deve ser rígido,
a �m de manter a sua forma, e isto resulta em carregamentos
secundários envolvendo cisalhamento e momento, o que deve ser
considerado para �ns de projeto. Os arcos são frequentemente
usados em estruturas de pontes, tetos abobadados e para aberturas
em paredesde alvenaria.
Estruturas super�ciais ou bidimensionais: estruturas com duas
dimensões predominantes sobre a terceira.
•   Chapas e lâminas são estruturas bidimensionais formadas por dois
planos paralelos e próximos, estando as forças situadas no plano
médio. Citamos, por exemplo, a viga parede, seção transversal de
túnel e barragem etc.
•     Placas são estruturas super�ciais onde as cargas agem em plano
perpendicular ao plano médio, como por exemplo, as lajes.
•    Cascas são estruturas formadas por duas superfícies curvas
próximas com cargas atuando em qualquer plano, como por
exemplo, as cúpulas.
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•          Membranas são as placas ou cascas, porém sem resistência à
�exão.
Estruturas volumétricas ou tridimensionais: estruturas em que todas
as dimensões são relevantes, como por exemplo, os blocos de
fundações, blocos de coroamento de estacas e estruturas de
barragens.
praticar
Vamos Praticar
O engenheiro de estruturas é o pro�ssional especialista que graduou em
Engenharia Civil e se dedica ao estudo do cálculo estrutural das edi�cações,
barragens e tantas outras estruturas que demandam detalhamentos e análises
seguindo os conceitos, normas e especi�cações dentro da Engenharia.  O dia a dia
do engenheiro calculista deve seguir uma lista de precauções, tais como conhecer o
tipo de estrutura a ser desenvolvida, possuir visão global e crítica, aprendizado
contínuo, entre outras.  
OFICINA de textos. 10 dicas para um engenheiro estrutural. O�cina de Textos. [S.I.],
[2019?]. Disponível em: https://www.o�texto.com.br/comunitexto/10-dicas-para-um-
engenheiro-estrutural/. Acesso em: 18 jan. 2020.
Assim o projeto de uma estrutura processa-se em qual das seguintes fases? Assinale
a alternativa correta:
a) Segundo o desejo do contratante dos serviços de engenharia.
b) Anteriormente à determinação das cargas atuantes na estrutura.
c) Posteriormente à de�nição do problema e da concepção da estrutura.
d) Sem a necessidade da determinação dos esforços internos atuantes.
https://www.ofitexto.com.br/comunitexto/10-dicas-para-um-engenheiro-estrutural/
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e) No detalhamento do projeto, desde que seja um projeto complexo.
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Prezado aluno, olhando para um projeto ou até mesmo para uma edi�cação
na rua, você seria capaz de dizer que ela está corretamente dimensionada de
modo a resistir a todos os esforços, como por exemplo, a uma chuva intensa
acompanhada de muitos ventos? Ou ainda, se ela é corretamente utilizada?
Era um edifício residencial e passou a ser uma biblioteca. Está correta, do
ponto de vista estrutural, essa alteração? Neste tópico, apresentaremos a
classi�cação primordial dos esforços para a elaboração de um bom projeto
estrutural.  
Esforços Externos
As estruturas devem ser dimensionadas de modo que não colapsem e nem
deformem excessivamente sob a ação dos esforços. Assim sendo, o
engenheiro deve ter a cautela necessária ao prever as cargas prováveis que
atuarão na estrutura e como esta irá suportá-las.
Ativos (ou cargas)
Esforços SolicitantesEsforços Solicitantes
Externos Ativos e ReativosExternos Ativos e Reativos
e Esforços Solicitantese Esforços Solicitantes
InternosInternos
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As forças aplicadas às estruturas são também conhecidas como ações
solicitantes externas ativas, cargas externas, carregamentos ou ainda cargas
aplicadas. Para o engenheiro estrutural, as cargas a serem consideradas no
projeto de uma estrutura dependem da sua futura utilização, sendo, em geral,
regulamentadas por normatização.
Reativos (ou reações de apoio)
Conforme exposto por Almeida (2009), as reações de apoio são forças ou
momentos com pontos de aplicação e direção conhecidos e de intensidades e
sentidos, tais que equilibrem o sistema de forças ativas aplicado à estrutura.
Os sistemas de forças externas, formados pelas forças ativas e reativas, têm
de estar em equilíbrio.
Ativos (ou cargas)
As forças aplicadas às estruturas são também conhecidas como
ações solicitantes externas ativas, cargas externas, carregamentos ou
ainda cargas aplicadas. Para o engenheiro estrutural, as cargas a
serem consideradas no projeto de uma estrutura dependem da sua
futura utilização, sendo, em geral, regulamentadas por normatização.
Reativos (ou reações de apoio)
Conforme exposto por Almeida (2009), as reações de apoio são
forças ou momentos com pontos de aplicação e direção conhecidos e
de intensidades e sentidos, tais que equilibrem o sistema de forças
ativas aplicado à estrutura. Os sistemas de forças externas, formados
pelas forças ativas e reativas, têm de estar em equilíbrio.
Esforços Internos
De acordo com Martha (2010), os esforços internos em uma estrutura
caracterizam as ligações internas de tensões; em outras palavras, esforços
internos são integrais de tensões ao longo de uma seção transversal.
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Representam ainda o efeito de forças e momentos entre duas porções de
uma estrutura resultantes de um corte em uma seção transversal. Assim os
esforços internos correspondentes de cada lado da seção seccionada são
iguais e contrários, pois são a ação e a reação, conforme representados na
Figura 1.1.
Os esforços internos são divididos em solicitantes e resistentes.
Solicitantes (ou esforços simples ou seccionais):
•    forças normais (N) de tração ou de compressão;
•    forças cortantes (Q);
•    momentos �etores (M);
•    momentos torcedores (T).
Resistentes:
•    tensões normais (σ);
•    tensões tangenciais (τ).
Figura 1.1 – Representação esquemática dos esforços internos num corpo
genérico
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Vínculos Estruturais e Tipos de Apoio
A restrição aos movimentos de uma estrutura dá-se por meio dos apoios ou
vínculos. Os apoios ou vínculos são classi�cados em função do número de
graus de liberdade impedidos. Nos apoios, nas direções dos deslocamentos
impedidos, surgem as forças reativas ou reações de apoio.
Apoio do 1º Gênero, Articulado Móvel ou Pêndulo
O apoio do 1º gênero possui um vínculo externo (impede uma translação),
correspondendo a uma reação de apoio (força), conforme ilustra a Figura 1.2.
Figura 1.2 - Apoio do 1° gênero, articulado móvel ou pêndulo
Fonte: Adaptada de Borja (2019, on-line).
Apoio do 2º Gênero, Articulado Fixo ou Rótula
O apoio do 2° gênero possui dois vínculos externos (impede duas
translações), correspondendo a duas reações de apoio (forças): H e V,
conforme ilustrado na Figura 1.3.
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Apoio do 3º Gênero, Engastado ou Engastamento
Perfeito
O apoio do 3º gênero possui três vínculos externos (impede duas translações
e uma rotação), correspondendo a duas reações (forças) H e V e a uma reação
momento M, conforme ilustrado na Figura 1.4.
Figura 1.3 - Apoio do 2° gênero, articulado �xo ou rótula
Fonte: Adaptada de Borja (2019, on-line).
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Condições de Equilíbrio e Estaticidade das
Estruturas
Quando uma estrutura está em equilíbrio, os esforços externos ativos (cargas)
e os esforços internos reativos (reações de apoio) constituem um sistema de
forças em equilíbrio. De acordo com Hilbbeller (2013, p. 34), “O equilíbrio de
um sistema de forças quaisquer, coplanares, deve satisfazer as três Equações
Universais da Estática:  ∑F = 0, ∑F = 0 e ∑M = 0.”
Onde, ∑F e ∑F são, respectivamente, as somas algébricas dos componentes
x e y de todas as forças atuando sobre a estrutura ou uma de suas partes, e
∑M representa a soma algébrica dos momentos desses componentes de
força em torno de um eixo perpendicular ao plano x-y (ou eixo z) e passando
através do ponto O.
Figura 1.4 - Apoio do 3° gênero, engastado ou engastamento perfeito
Fonte: Adaptada de Borja (2019, on-line).
x y O
x y
O
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Dessa forma, no tópico anterior, veri�camos que a função dos apoios é limitar
os graus de liberdade de uma estrutura. Assim podemos constatar as
implicações seguintes.
Número de Apoios Impede todos os Movimentos
Possíveis de uma Estrutura
O número de reações de apoio a serem determinadas é igual ao número de
equações de equilíbrio, ou seja, temos um sistema de equações determinado
que resolverá o problema.
Temos, dessa maneira, uma estrutura conhecida como isostática, isto é, uma
situação de equilíbrio estável, conforme ilustra a Figura 1.5.
Número de Apoios Inferior ao Necessário para
Impedir todos os Movimentos Possíveis de uma
Figura 1.5 - Estrutura isostática
Fonte: Adaptada de Borja (2019, on-line).
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Estrutura
Estamos diante de um caso em que o número de equações é maior que o
número de incógnitas, ou seja, ter-se-á um sistema de equações impossível
nos casos gerais.  
Logo a estrutura será conhecida como hipostática, ou seja, uma estrutura
instável, de equilíbrio instável, conforme ilustra a Figura 1.6.
Número de Apoios Superior ao Necessário para
Impedir todos os Movimentos Possíveis de uma
Estrutura  
Aqui o número de equações é menor que o número de incógnitas,
conduzindo a um sistema indeterminado. Temos então que as equações
universais da Estática não serão su�cientes para a determinação das reações
de apoio.
Figura 1.6 - Estrutura hipostática
Fonte: Adaptada de Borja (2019, on-line).
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A estrutura será chamada de hiperestática, com equilíbrio estável,
conforme ilustra a Figura 1.7.
Reações de Apoio
Já sabemos que uma estrutura está em equilíbrio quando os esforços
externos ativos e os esforços internos reativos (reações de apoio) constituem
um sistema de forças em equilíbrio, dadas pelas três equações universais da
Estática.
Se a estrutura isostática possuir mais de três reações de apoio, as três
equações da Estática serão insu�cientes para a resolução do sistema,
havendo a necessidade de mais equações para sua solução. As equações
adicionais serão obtidas através da pesquisa dos vínculos internos (ligações).
O vínculo que liberar qualquer movimento relativo deverá ter o
correspondente esforço interno solicitante nulo.
Figura 1.7 - Estrutura hiperestática
Fonte: Adaptada de Borja (2019, on-line).
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Marcha para o Cálculo das Reações de Apoio
A. Adotamos um sentido para cada reação.
B. Montamos um sistema de equações de equilíbrio com as equações da
Estática e mais as complementares, obtidas dos esforços internos solicitantes
nulos, quando for o caso.
C. Resolvemos o sistema de equações. As reações que resultarem positivas
permanecem com o mesmo sentido arbitrado. Para as negativas, troca-se o
sentido arbitrado e também o seu sinal (trabalharemos, daqui em diante,
apenas com reações de sinal positivo).
Esforços Internos Solicitantes
Para Almeida (2009), o objetivo da análise estrutural é a determinação das
reações de apoio e dos esforços internos solicitantes, de modo que o
conhecimento das reações de apoio, no caso das estruturas isostáticas,
permita a determinação do comportamento interno da estrutura.  
A interação de um corpo com os de sua vizinhança, e que se localizam fora
dos seus limites, é caracterizada pelas forças externas. As forças externas
caracterizam-se pelo conjunto das forças ativas (aplicadas diretamente) e
pelas forças reativas.  As forças ativas podem ser de superfície (contato direto)
e de volume (ação remota), quando não existe o contato direto entre os
corpos. Mesmo que as forças de volume atuem sobre cada partícula que
compõe o corpo, elas geralmente são representadas por forças concentradas
ou distribuídas.  
A ação da gravidade atuando sobre os corpos (peso próprio) é um exemplo de
força de volume, considerada, muitas vezes, concentrada no centro de
gravidade. Assim o equilíbrio é determinante para que essas forças externas
formem um sistema em equilíbrio.  
Dado um corpo qualquer submetido a um sistema de forças externas em
equilíbrio, conforme mostra a Figura 1.8a, e seccionado em duas partes na
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seção S, como mostra a Figura 1.8b, surge a necessidade da ação de um
sistema de forças internas para que se mantenha o equilíbrio dessas partes.
Podemos notar ainda que há uma variação dessas forças internas, segundo o
posicionamento da seção S. Em conformidade com o princípio da ação e
reação, essas forças serão sempre recíprocas – mesma intensidade, direção e
ponto de aplicação, entretanto com sentidos opostos.
A distribuição das forças internas atuantes na seção S ocorre através das
tensões, conforme ilustra a Figura 1.8b. A representação dos esforços
internos dá-se por meio das resultantes das tensões que, como as estruturas
são representadas através de seus eixos, referem-se exatamente a estes
eixos.
Os esforços internos solicitantes são sempre relacionados aos sistemas locais
dos elementos que compõem as estruturas. Em relação à convenção dos
sinais, os esforços internos solicitantes seguem a convenção, conforme a
Figura 1.9 a seguir.
Figura 1.8 – (a) Corpo submetido a um sistema de forças externas em
equilíbrio; (b) Tensões internas na seção S
Fonte: Adaptada de Almeida (2009, p. 42).
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Figura 1.9 – Convenção de sinais para os esforços internos solicitantes
Fonte: Adaptada de Almeida (2009, p. 44).
Cálculo dos Esforços Internos em uma
Seção S de uma Viga Isostática (Método das
Seções)
De posse de todas as forças externas atuantes na estrutura, os esforços
internos solicitantes podem ser determinados através de um dos caminhos
descritos a seguir.
1. Considerando a ação das forças à direita ou à esquerda de S: é o
cálculo dos esforços internos solicitantes por meio da determinação
da ação do sistema de forças à esquerda ou à direita da seção S
diretamente sobre a seção ou um ponto sobre o eixo de S.
2. Considerando o equilíbrio das partes à esquerda ou à direita de S:
através da aplicação das equações de equilíbrio, seja a parte à
esquerda de S, seja a parte à direita de S.
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Os caminhos propostos conduzem à mesma solução de determinação dos
esforços internossolicitantes. A opção mais simples é sempre a melhor, pois
exigirá menos cálculos e, por consequência, reduzirá a chance de erros, além
de ser a mais rápida.
A Figura 1.10 é um exemplo que visa à determinação dos esforços internos
nas seções S e S , bem como ilustra o desenvolvimento do esquema de
cálculo e faz a comparação entre as seções S (onde não há descontinuidade)
e S (onde estão aplicadas duas cargas concentradas: uma de intensidade 3P
vertical e outra horizontal, de intensidade 2P).
Cálculo das reações de apoio:
•    de�nição de um sistema de eixos;
•        introdução das reações de apoio, conhecidos as direções e os
pontos de aplicação, e arbitrados os sentidos;
•    cálculo das reações através das equações do equilíbrio estático;
•    ∑F  = 0 ∴ −H + 2P = 0 ∴ H = 2P;  
•    ∑F = 0 ∴ V − 3P + V = 0 ∴ V + V = 3P;
1 2
1
2
Figura 1.10 – Convenção de sinais para os esforços internos solicitantes
Fonte: Adaptada de Almeida (2009, p. 46).
x A A
y A B A B
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•    ∑M = 0 ∴ −3P ∙ 2a + VB ∙ 3a = 0 ∴ VB = 3P ∙ 2a3a ∴ VB=2P;
•    V + 2P = 3P ∴ V = P.
Determinação dos esforços internos solicitantes:
Para o exemplo dado, a melhor opção na seção S é a consideração das
forças esquerda de S por conter um número menor de cargas.
Determinar a ação de um sistema de cargas sobre uma seção S nada mais é
do que reduzir este sistema de cargas ao ponto que representa a seção S no
eixo.
Esforços solicitantes internos em S (os sinais foram determinados pela
convenção de sinais conforme a Figura 1.9):
N = +2P (tração)
Q = +P (sentido horário)
M = +Pa (�bras inferiores tracionadas)
É importante destacar os seguintes aspectos.
1. Nas seções onde existirem cargas ou momentos concentrados,
haverá descontinuidade dos esforços internos solicitantes:
a.      carga concentrada axial ocasiona descontinuidade dos esforços
normais N;
b.      carga concentrada vertical ocasiona descontinuidade dos
esforços cortantes Q;
c.       momento concentrado ocasiona descontinuidade de momentos
�etores M.
2. Assim a determinação dos esforços internos solicitantes em S exige
a consideração de duas seções:
a.     uma imediatamente junto e anterior ao ponto de aplicação das
cargas concentradas, aqui denominada de S ou S ;
b.      outra imediatamente junto e após o ponto de aplicação das
cargas concentradas, aqui denominadas de S ou S .
A
A A
1
1
1
2
2
a
2
e
2
p
2
d
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Assim, no exemplo exposto da Figura 1.10, na seção S , temos
descontinuidades de esforços normais e de esforços cortantes. Para a
determinação dos esforços internos solicitantes na seção S , há a
necessidade de veri�carmos S e S .
Observando a seção S temos:
N = +2P
Q = +P
M = +2Pa
Em S , temos:
N = 0
Q = -2P
M = +2Pa (aqui não temos descontinuidade de momento, pois, em S , não há
a aplicação de um momento concentrado).
Nos nós, onde existe a mudança de direção dos elementos que neles
convergem, também é necessária a consideração de duas seções,
uma para cada elemento: S e S . Isso ocorre devido à mudança dos
eixos locais aos quais os esforços internos solicitantes se referem.
Nos nós, para onde convergem três ou mais elementos, será
necessária a consideração de três ou mais seções, uma para cada
elemento convergente no respectivo nó. Assim como no caso
anterior, o fato de cada elemento ter o seu próprio eixo local justi�ca
a necessidade, ou seja, para n elementos convergentes num nó,
existirão n seções para as quais deverão ser calculados os esforços
internos solicitantes.
Quando um dos sistemas de cargas (à esquerda ou à direita de S) não
existir cargas reativas, o cálculo das reações de apoio para a
determinação dos esforços internos solicitantes nesta seção não é
necessário, como por exemplo, nos elementos com bordos livres
(balanços).
Diagramas de Esforços e Momentos
2
2
2
a
2
p
2
a
2
p
2
a p
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Envoltória (ou linha de máximos) é o lugar geométrico dos esforços máximos
(de ambos os sinais) atuantes em cada seção da estrutura, quando esta é
submetida a ações acidentais móveis, além das seções permanentes.
A envoltória de um esforço interno solicitante é, pois, o diagrama que mostra,
em cada seção transversal do elemento estrutural, os valores máximos
positivo e negativo de um determinado esforço solicitante que se veri�cam na
envoltória.
Uma vez que a linha de in�uência de uma função seja estabelecida por um
ponto na estrutura, o efeito máximo causado por uma força concentrada
móvel é determinado multiplicando a ordenada do pico da linha de in�uência
pela magnitude da força. Em alguns casos, entretanto, diversas forças
concentradas têm de ser aplicadas à estrutura. Por exemplo, um caminhão ou
trem transitando sobre uma ponte. A �m de determinar o efeito máximo
neste caso, um procedimento de tentativa e erro pode ser usado ou um
método que seja baseado na mudança da função, que ocorre à medida que a
carga é deslocada ao longo da estrutura.
Além disso, um problema mais geral envolve a determinação tanto da
localização do ponto na viga quanto da posição da carga sobre a viga, de
maneira que você possa obter o cortante e o momento máximos absolutos
causados pelas cargas. Se a viga é em balanço ou com apoios simples, este
problema pode ser prontamente solucionado.
Cortante: para uma viga em balanço, o cortante máximo absoluto
ocorrerá em um ponto localizado bem próximo do apoio �xo. O
cortante máximo é encontrado pelo método das seções com as
cargas posicionadas em qualquer lugar no vão. Para vigas com
apoios simples, o cortante máximo absoluto ocorrerá bem próximo
de um dos apoios. Por exemplo, se as cargas são equivalentes, elas
são posicionadas em sequência, de maneira que a primeira seja
colocada próxima do apoio.
Momento: o momento máximo absoluto para uma viga em balanço
ocorre no mesmo ponto onde o cortante máximo absoluto ocorre,
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embora neste caso as cargas concentradas devam ser posicionadas
na extremidade mais distante da viga.
Para uma viga com apoios simples, a posição crítica das cargas e o momento
máximo absoluto associado não podem, em geral, ser determinados por meio
de um exame. Nós podemos, entretanto, determinar a posição
analiticamente.  
A conclusão a que se chega é que o momento máximo absoluto em uma viga
com apoio simples ocorre sob uma das forças concentradas, de tal maneira
que esta força esteja posicionada sobre a viga de forma que ela e a força
resultante do sistema estejam equidistantes da linha de centro da viga. Tendo
em vista que há uma série de cargas sobre o vão, este princípio terá de ser
aplicado a cada carga na série e calculado o momento máximo
correspondente. Por comparação, o maior momento é o máximo absoluto.
Como regra geral, no entanto, o momento máximo absoluto frequentemente
ocorre sob a maior força que se encontra mais próxima da força resultante do
sistema.
O cortante máximo absoluto em uma viga em balanço ou com apoios simples
ocorrerá em um suporte, quando uma das cargas for colocada próxima do
apoio.
O momento máximo absoluto em uma viga em balanço ocorre quando a série
de cargas concentradas é colocada no ponto mais distante do apoio �xo.
Para determinar o momento máximo absoluto em uma viga com apoios
simples, primeiro determina-se a resultante do sistema de forças. Então ela,
juntamente com uma das forças concentradas no sistema, é posicionada de
maneira que essasduas forças estejam equidistantes da linha de centro da
viga. O momento máximo ocorre sob a força selecionada. Dessa maneira, é
selecionada cada força no sistema e, por comparação, o maior de todos esses
casos é o momento máximo absoluto.
Obtenção dos Diagramas
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A obtenção do diagrama é feita registrando-se, em ordenadas, na escala
escolhida com a abscissa correspondente à seção onde dá o esforço
solicitante estudado, os valores extremos do esforço oriundos das ações
acidentais móveis, somados algebricamente com os valores provocados pelas
ações permanentes. Tais valores extremos são obtidos pela linha de
in�uência do esforço na seção considerada. Assim, para cada seção, obtém-se
a linha de in�uência do esforço, e a partir do carregamento, calcula-se seus
valores máximos.  
Regras ou fórmulas para determinar o cortante ou momento máximo
absolutos são difíceis de estabelecer para vigas suportadas de outras
maneiras que o balanço ou o apoio simples aqui discutidas. Uma maneira
elementar de conseguir solucionar esse problema, no entanto, exige a
construção de linhas de in�uência para o cortante ou momento em pontos
selecionados ao longo de todo o comprimento da viga e então calcular o
cortante ou momento máximos na viga para cada ponto usando os métodos
conhecidos. Esses valores, quando representados gra�camente, produzem a
envoltória de máximos, em que tanto o valor máximo absoluto de cortante
quanto do momento e sua localização podem ser encontrados. Obviamente
uma solução computacional para este problema é a mais indicada em
situações mais complicadas, tendo em vista que o trabalho pode ser bastante
tedioso e com certa probabilidade maior ao erro, se efetuado por meio de
cálculos à mão.
Em resumo, quando uma série de cargas concentradas passa sobre o
membro, então as várias posições da carga sobre o membro têm de ser
consideradas para determinar o maior cortante ou momento no membro. Em
geral, é preciso colocar as cargas de maneira que cada uma contribua com
sua in�uência máxima, como determinado ao multiplicar cada carga pela
ordenada da linha de in�uência. Esse processo de encontrar a posição real
pode ser feito usando um procedimento de tentativa e erro, ou encontrando
a mudança no cortante ou momento, quando as cargas são deslocadas de
uma posição para a outra. Cada momento é investigado até que um valor
negativo de cortante ou momento ocorra. Assim que isso acontecer, a posição
anterior de�nirá o carregamento crítico.
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Finalmente, para se obter o panorama dos esforços solicitantes numa
estrutura, vamos tomar como base o seguinte esquema.
Estrutura solicitada por:
ações permanentes e ações acidentais móveis → linhas de in�uência
→ envoltórias (linhas de estado);
ações permanentes e ações acidentais �xas → linhas de estado.
Convenção de Sinais
A convenção de sinais para o traçado das envoltórias estabelece as diretrizes
conforme a seguir.
Barra horizontal:
•   Envoltória M
Figura 1.11 – Envoltória de momento - barra horizontal
Fonte: Elaborada pelo autor.
         •   Envoltória Q
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Barra vertical:
•   Envoltória M ou Q
Figura 1.12 – Envoltória de cortante - barra horizontal
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Figura 1.13 – Envoltória de momento e cortante - barra vertical
Fonte: Elaborada pelo autor.
praticar
Vamos Praticar
A viga esquematizada na Figura 1.14 está sujeita a uma força concentrada de 8 kN e
um carregamento distribuído de 2 kN/m.
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Determine os componentes horizontal e vertical das reações de apoio em A e B.
Despreze o peso próprio e a espessura da viga, e assinale a alternativa correta:
a) H = 0; V = -13kN e V = -11kN.
b) H = 0; V = -8,75kN e V = -1,25kN.
c) H = 0; V = 8,75kN e V = 1,25kN.
d) H = 0; V = 13kN e V = 11kN.
e) H = 0; V = 13kN e V = 3kN.
Figura 1.14 - Viga submetida aos carregamentos
Fonte: Adaptada de Borja (2019, on-line).
A A B
A A B
A A B
A A B
A A A
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Ao longo do nosso estudo, vimos que a determinação dos esforços externos
reativos dá-se através das três equações universais da Estática, e tendo o
conhecimento desses esforços e dos esforços externos ativos (cargas),
desenvolvemos os diagramas de esforços (cortante e momento �etor).
Iniciamos agora o estudo das vigas isostáticas inclinadas a partir do
conhecimento dos esforços externos reativos e da construção dos diagramas
de esforços.
Esforços Simples -Esforços Simples -
Aplicações em EstruturasAplicações em Estruturas
IsostáticasIsostáticas
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reflita
Re�ita
O uso de softwares computacionais dentro da engenharia
estrutural aumenta diariamente. Mas todo o engenheiro de
estruturas está apto a operar adequadamente esses
softwares?
Fonte: Elaborado pelo autor.
Vigas Inclinadas
As vigas isostáticas inclinadas estão presentes no cotidiano dos engenheiros,
tais como na construção de escadas, rampas, passarelas ( ver Figura 1.15).
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O estudo das vigas inclinadas segue o mesmo roteiro do cálculo das
estruturas isostáticas, ou seja, o uso das três equações de equilíbrio e o
desenvolvimento dos diagramas de esforços. Entretanto, para determinar os
esforços externos reativos considerando os esforços externos ativos
perpendiculares ao eixo da viga, devemos decompor os esforços de forma
que atuem também perpendiculares à viga. Assim o cálculo e os diagramas de
esforços em vigas inclinadas resumem-se à rotação dos eixos x e y, conforme
ilustram as �guras de 1.16 a 1.19.
Figura 1.15 - Exemplos de uso das vigas inclinadas
Fonte: Elaborada pelo autor.
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Figura 1.16 - Carregamento distribuído ao longo da projeção horizontal
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 32).
Figura 1.17 - Carregamento distribuído ao longo da projeção vertical
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 33).
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Perceba que houve uma rotação nos eixos x e y em função de um ângulo α
que nos orienta a decompor o carregamento aplicado em componentes
paralelos aos eixos x e y. Assim, com as componentes decompostas, os
cálculos dos esforços externos reativos (reações de apoio) e o desenho dos
diagramas de esforços são realizados como já conhecemos.
Figura 1.18 - Carga concentrada vertical
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 33).
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Já a força normal que pode atuar nas vigas inclinadas está diretamente ligada
aos esforços internos do elemento, como tração e compressão. Na Figura 1.20
percebemos que, em função do carregamentoql atuante na viga, no apoio A,
temos a reação contrária à componente ao longo do eixo x e que, sendo
oposta no trecho a, origina uma tração.
Figura 1.19 - Carga concentrada horizontal
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 34).
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No entanto, no trecho b, a decomposição do carregamento ql provoca a
reação no mesmo sentido da componente do apoio B, originando a
compressão. Ou seja, os efeitos de tração e compressão do esforço normal
possuem o mesmo valor em módulo, de efeitos opostos, conforme o
diagrama de esforço normal.
praticar
Vamos Praticar
Ao calcular a viga de uma escada, conforme ilustrado na �gura a seguir, deparamo-
nos com uma viga inclinada onde temos os esforços externos reativos (reações de
Figura 1.20 - Carregamento normal atuante na viga inclinada
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 34).
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apoio) e os esforços externos ativos (cargas), que atuam perpendiculares ao eixo da
viga.
Fonte: SANTOS, J. C. Estruturas isostáticas. Londrina: Educacional, 2018.
Calcule as reações de apoio, trace os diagramas de esforços atuantes sobre a viga e
assinale a alternativa correta:
a) RA = 14,14 kN, RB = -14,14kN, VA = VB = 14,14kN; MA=MB=0;
NA=NB=28,28kN.
b) RA = RB = 14,14kN, VA = 14,14kN, VB = - 14,14kN; MA=MB=0kN; NA=
28,28kN, NB= -28,28kN.
c) RA = RB = 14,14kN, VA = VB = 14,14kN; MA=MB=25,03kN; NA=NB=28,28kN.
d) RA = RB = -14,14kN, VA = 14,14kN, VB = -14,14kN; MA=MB=0; NA=28,28kN,
NB=-28,28kN.
e) RA = RB = 20kN, VA = VB = 20kN; MA=MB=0kN; NA=NB=0kN.
Figura 1.21 - Esquema estrutural de uma viga de escada
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 35).
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Para Sussekind (1989), vigas Gerber são estruturas estaticamente
determinadas, constituídas de associação de vigas simples, com e sem
balanços, obtidas a partir de uma viga contínua pela introdução criteriosa de
articulações para torná-la isostática.  
São utilizadas quando se deseja evitar esforços adicionais provenientes de
recalques diferenciais dos apoios, variação térmica, retração, ou por razões
construtivas. A utilização das vigas Gerber é muito comum em pontes (Figura
1.22), passarelas, estruturas pré-moldadas, entre outras. Podemos também
evitar reações negativas em determinados apoios, equalizar ou limitar
momentos �etores por imposições construtivas ou razões técnico-
econômicas.
Vigas GerberVigas Gerber
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Figura 1.22 - Ponte com a utilização de viga Gerber
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 44).
As desvantagens no uso deste sistema estrutural são decorrentes dos
problemas que ocorrem nas articulações, tais como: desgastes devido ao
deslocamento contínuo da estrutura sob a ação das cargas, in�ltrações e
di�culdades de manutenção.
A Figura 1.23 representa o esquema estrutural de cálculo da viga Gerber
exposto na Figura 1.22.
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Perceba que existem trechos da viga denominados de tramos, que nada mais
são do que vigas apoiadas sobre dois apoios. Os tramos 1 e 3 são vigas em
balanço e estão apoiadas sobre um apoio �xo e outro apoio móvel. O tramo 2
é uma viga simples apoiada sobre os balanços dos tramos 1 e 3.
Para entendermos a viga Gerber, passamos ao estudo das reações de apoio.
A marcha de cálculo para as reações de apoio da viga Gerber indica que
devemos isolar os tramos, conforme a Figura 1.24; onde teremos a viga
isostática simples bi-apoiada (tramo 2). Em seguida, as reações obtidas serão
as cargas concentradas nos pontos C e D dos balanços. Lembre-se que os
cálculos das reações de apoio, tanto da viga simples como da viga com
balanço, devem partir das três equações de equilíbrio universal.
Figura 1.23 - Ponte com a utilização de viga Gerber
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 44).
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De posse das reações de apoio calculadas, passamos ao traçado dos
diagramas de esforços (força cortante e momento �etor) da viga Gerber,
conforme a Figura 1.25. Note que traçamos os diagramas dos esforços para
cada tramo em separado, e após, podemos uni-los conforme a Figura 1.25e e
a Figura 1.25f.
Figura 1.24 - Reações de apoio da viga Gerber
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 45).
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praticar
Vamos Praticar
O engenheiro-chefe da obra de uma ponte solicitou que você calcule as reações de
apoio da estrutura da Figura 1.25, onde há a presença de uma viga Gerber. Qual é o
cálculo correto? Assinale a alternativa correta:
a) R = R = R = R = 10kN.
b) R = 26,67kN; R = R =10kN;  R = 26,67kN.
c) R = 26,67kN; R = R = - 19,33kN;  R = 26,67kN.
d) R = - 26,67kN; R = R = -10kN;  R = - 26,67kN.
Figura 1.25 - Traçado dos diagramas de esforços da viga Gerber
Fonte: Adaptada de Santos (2018, p. 46).
A B C D
A B C D
A B C D
A B C D
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e) R = 26,67kN; R = R = 19,33kN;  R = 26,67kN.A B C D
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indicações
Material
Complementar
LIVRO
História da Engenharia no Brasil
Editora: LTC
Autor: Pedro Carlos da Silva Telles
ISBN: 8521603754
Comentário: O avanço da Engenharia Estrutural no
�nal do século 19, com a Revolução Industrial e o seu
grande desenvolvimento no Brasil nessa mesma época,
é descrito pelo autor com uma impressionante
quantidade de informações históricas.
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conclusão
Conclusão
Discutimos a importância da Teoria das Estruturas e apresentamos, dentro da
morfologia das estruturas, os principais componentes que compõem as
estruturas, bem como os esforços atuantes nas estruturas e sua classi�cação.
Por meio do estudo das condições de equilíbrio e estaticidade das estruturas,
entendemos as estruturas isostáticas, hiperestáticas e hipostáticas. A partir
da discussão dos principais tipos de carregamentos atuantes nas estruturas,
entendemos o processo de determinação das cargas atuantes, além dos seus
principais tipos de ações com o estudo dos diagramas de esforços. Ao �nal,
com a abordagem sobre uma das principais aplicações do nosso estudo, a
viga Gerber, demonstramos uma aplicação prática das estruturas isostáticas
na engenharia e no dia a dia do engenheiro.
referências
Referências
Bibliográ�cas
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas isostáticas. São Paulo: O�cina de Textos, 2009.
BORJA, E. Figura 65: aparelho de apoio do 1º gênero. 1 imagem. In: IFRN -
Instituto Federal de Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte.
05/03/24, 10:27 Ead.br
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wA64niBD%2bQVhZ%2bQUMklGCg%3d%3d&l=ZoJsRovD6D10Pqjpq5uvbg%3d%3d&cd… 47/47
Estabilidade das construções: tecnologia em construção de edifícios. Natal:
IFRN, [2019?]. Disponível em:
https://docente.ifrn.edu.br/edilbertoborja/estabilidade-das-
construcoes/estabilidade-das-construcoes-superior-2/apostila-completa-vigas-isostaticas/vigas-isostaticas-apostila-completa-em-pdf. Acesso em: 20 jan.
2020.
HIBBELER, R. C. Análise das estruturas. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2013.
MARIN, M. C.; EL DEBS, M. K. Contribuição para a avaliação da redução da
rigidez de elementos estruturais de concreto pré-moldado de edifícios de
múltiplos pavimentos para análise da estabilidade global. Rev. IBRACON
Estrut. Mater., São Paulo, v. 5, n. 3, jun. 2012. Disponível em:
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1983-
41952012000300005&lng=en&nrm=iso&tlng=pt. Acesso em: 30 dez. 2019.
MARTHA, L. M. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2010.
OFICINA de textos. 10 dicas para um engenheiro estrutural. O�cina de
Textos. [S.I.], [2019?]. Disponível em:
https://www.o�texto.com.br/comunitexto/10-dicas-para-um-engenheiro-
estrutural/. Acesso em: 18 jan. 2020.
PESSOA FILHO, P. M.; OGURA, S.; INOUE, M. H. Cadernos de estruturas:
isostática. Curitiba: UFPR, 1995.
SANTOS, J. C. Estruturas isostáticas. Londrina: Educacional, 2018.
SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. 9. ed. São Paulo: Globo, 1989.
v. 1.
https://docente.ifrn.edu.br/edilbertoborja/estabilidade-das-construcoes/estabilidade-das-construcoes-superior-2/apostila-completa-vigas-isostaticas/vigas-isostaticas-apostila-completa-em-pdf
https://docente.ifrn.edu.br/edilbertoborja/estabilidade-das-construcoes/estabilidade-das-construcoes-superior-2/apostila-completa-vigas-isostaticas/vigas-isostaticas-apostila-completa-em-pdf
https://docente.ifrn.edu.br/edilbertoborja/estabilidade-das-construcoes/estabilidade-das-construcoes-superior-2/apostila-completa-vigas-isostaticas/vigas-isostaticas-apostila-completa-em-pdf
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1983-41952012000300005&lng=en&nrm=iso&tlng=pt
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1983-41952012000300005&lng=en&nrm=iso&tlng=pt
https://www.ofitexto.com.br/comunitexto/10-dicas-para-um-engenheiro-estrutural/
https://www.ofitexto.com.br/comunitexto/10-dicas-para-um-engenheiro-estrutural/