Estudo dirigido - Algebra Equação Diofantina

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Aluno: Rodrigo de Almeida Carvalho Curso: Matemática 
Disciplina: Álgebra Tutor: Fernando Geraldo Simão 
Quando uma equação diofantina possui solução? 
Uma equação diofantina possui solução se houver pelo menos uma 
combinação de inteiros x e y que satisfaça a equação. 
Caso a equação diofantina possua soluções, como são suas soluções? 
Se uma equação diofantina possui soluções, suas soluções podem ser 
expressas em termos de parâmetros, resultando em um conjunto infinito de soluções. 
Para uma equação diofantina linear na forma ax+by=c, onde a, b, e c são constantes 
inteiras, e x e y são as incógnitas que procuramos encontrar (números inteiros), suas 
soluções podem ser expressas de forma geral como: 
x = x0 +
b
mdc(a, b)
. t y = y0 +
a
mdc(a, b)
. t 
onde: 
• 𝑥0 𝑒𝑦0 são soluções particulares da equação (ou seja, uma solução 
específica que encontramos); 
• t é um parâmetro que pode variar sobre todos os inteiros; 
• mdc (a,b) é o máximo divisor comum de a e b. 
Essas fórmulas representam um conjunto infinito de soluções, pois, ao variar t 
sobre todos os inteiros, obtemos diferentes pares de x e y que satisfazem a equação. 
Cada valor de t resulta em uma nova solução diferente. 
Portanto, se uma equação diofantina tem solução, suas soluções são 
parametrizadas por um parâmetro t e formam um conjunto infinito de pares ordenados 
(x,y) que satisfazem a equação. 
De quantas maneiras posso pagar a quantia de 50 reais utilizando apenas 
notas de 10 e de 5 reais? 
Podemos simplificar essa equação dividindo ambos os lados por 5: 2x + y = 10 
Como x e y representam o número de notas de 10 e 5 reais, respectivamente, 
ambos devem ser inteiros não negativos. 
Então, há 6 maneiras diferentes de pagar 50 reais usando 
apenas notas de 10 e 5 reais. 
X 0 1 2 3 4 5 
Y 10 8 6 4 2 0 
Referencias 
 
HEFEZ, Abramo. Iniciação à Aritmética. 1. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2015. 66 p. 
Acesso em 30 de mar. 2024. 
 
LIMA, Ricardo Vieira. Equações Diofantinas. Orientador Prof. Dr. Ronaldo Ribeiro 
Alves. São João del-Rei. 2017. 53 f. Dissertação. Universidade Federal de São João 
del-Rei, UFSJ. São João del-Rei, 2017. Disponível em: 
https://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/comat/tcc_Ricardo.pdf. Acesso em 30 
de mar. 2024. 
 
FREITAS, Carlos Wagner Almeida. Equações Diofantinas. Orientador Prof. Dr. 
José Robério Rogério. Fortaleza. 2015. 201f. Dissertação. Universidade Federal do 
Ceará, UFC. Ceará, 2015. Disponível em: 
https://repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/12990/1/2015_dis_cwafreitas.pdf. Acesso em 
30 de mar. 2024.